MATEMÁTICA MÓDULO 9 FUNÇÃO MODULAR 1. DEFINIÇÃO OBSERVAÇÃO 2. PROPRIEDADES 3. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES. x,se x 0 x,se x 0

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Mateus Santarém Ferrão
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1 FUNÇÃO MODULAR 1. DEFINIÇÃO A função modular (ou valor absoluto) é tal que f,se 0,se 0.A notação utilizada é f. OBSERVAÇÃO Veja que f 0 para todo real.. PROPRIEDADES I) II) III) IV) (Esta propriedade é muito importante!), se 0 3. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES As equações e inequações modulares mais simples são resolvidas utilizando uma das propriedades a seguir. I) II) k k k (k 0) III) k k k (k 0) Quando não for possível utilizá-las, a ideia é retirar o módulo. Uma pergunta surge: como retirar o módulo? Basta dividir o problema em casos! EXEMPLOS: 1) Resolva a equação Nesse caso, basta termos ou ) Resolva a equação 3. 1

2 ,se Usaremos que.,se 5 1º caso ( ): 3. Veja que esse número não satisfaz, por isso não é solução! 3 º caso ( ): 3 1. Veja que esse número satisfaz Então, S 1., portanto é solução! 3) Resolva a inequação Basta que 17 Logo, S, ) Resolva a inequação Devemos dividir o problema em casos: 1º caso: Fazendo a interseção com a restrição, temos. º caso: 1: Fazendo a interseção com a restrição, não encontramos soluções. Juntando os dois casos, temos que S,. 4. COMO O MÓDULO ALTERA O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Há dois casos importantes a considerar, quando temos o gráfico de f : I) Como será o gráfico da função f? Neste caso, basta considerar os pedaços do gráfico de f que estão abaio do eio e refleti-los com relação ao eio. EXEMPLO: Construir o gráfico de 3. Inicialmente, construímos o gráfico de 3 :

3 Em seguida, refletimos, em relação ao eio, a parte do gráfico que está abaio do eio, obtendo: II) Como será o gráfico da função f? Neste caso, ignoramos a parte do gráfico que está à esquerda do eio. Refletimos, com relação ao eio, a parte do gráfico que está à direita do eio e então obtemos o gráfico da nova função. 3

4 EXEMPLO: Construir o gráfico de e. Inicialmente, construímos o gráfico de e : Em seguida, apagamos a parte do gráfico que está à direita do eio e então refletimos o gráfico restante com relação ao eio, obtendo: 4

5 EXERCÍCIOS DE COMBATE 1. (ITA 80) Considere a equação 6. Com respeito à solução real desta equação podemos afirmar que: a) a solução pertence ao intervalo 1, b) a solução pertence ao intervalo, 1 c) a solução pertence ao intervalo 1, 1 d) a solução pertence ao complementar da união dos intervalos anteriores e) a equação não tem solução. (ITA 88) Sabendo-se que as soluções da equação podemos afirmar que: a) a 1 e b 6 b) a 0 e b 6 c) a 1 e b 6 d) a 0 e b 9 e) não eistem a eb tais que 6 0 são raízes da equação a b 0 contenha todas as raízes da equação dada a b 0, 3. (ITA 00) Os valores de reais para os quais a função real dada por f está definida formam o conjunto a) 0,1 b) 5,6 c) 5,0 1, d),0 1,6 e) 5,0 1,6 4. (EN 1990) A equação + 3 = a + 1: a) não possui solução para a< -; b) possui duas soluções para a> ; c) possui solução única para a< 3 ; d) possui solução única para <a< 3 ; e) possui duas soluções para <a< 3. 5

6 5. Dadas as funções f : IR IR e g : IR IR definidas por f () = 1 - e g () =, o número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) e) (AFA) O gráfico que melhor representa a função f() é: a) b) c) d) 7. (AFA) Considere a função f() = 1,se 0. A função g() f() 1terá o seguinte gráfico:,se 0 a) b) c) d) 8. (EFOMM 013) Os valores de para os quais a função real dada por f está definida formam o conjunto a) b) c) d) e) 1 3, ,, ,, 5 7,0 0, ,, 6

7 9. (EFOMM 011) A área entre o gráfico de 3 3 e a reta 3, em unidades de área, vale: a) 6 b) 3 c) 1,5 d) e) 0,5 10. O produto das raízes reais da equação 3 3 é igual a: a) 5 b) 1 c) 1 d) e) Para, o conjunto solução de a) 0, 5, 3 b) 0,1,log é 1 1 c) 0, log5, log5 3,log5 d) 0,log5 5,log5 3,log5 3 e) A única solução é = 0 1. Sobre a equação na variável real, 1 3 0, podemos afirmar que a) ela não admite solução real b) a soma de todas as suas soluções é 6 c) ela admite apenas soluções positivas d) a soma de todas as soluções é 4 e) ela admite apenas duas soluções reais 7

8 13. (EN 013) A soma das raízes reais distintas da equação é igual a a) 0 b) c) 4 d) 6 e) (EN 01) Sejam A e B conjuntos de números reais tais que seus elementos constituem, respectivamente, o domínio da função f ln 3 1 afirmar que a) A = B b) AB c) A B d) AB e) AB e a imagem da função g. Pode-se 15. (EN 010) Considere a equação b c 0, onde c representa a quantidade de valores inteiros que satisfazem a inequação 3 4. Escolhendo-se o número b, ao acaso, no conjunto 4, 3,, 1,0,1,,3,4,5, qual é a probabilidade de a equação acima ter raízes reais? a) 0,50 b) 0,70 c) 0,75 d) 0,80 e) 1 8

9 GABARITO 1. RESPOSTA: E. RESPOSTA: D 3. RESPOSTA: E 4. RESPOSTA: D 5. RESPOSTA: B 6. RESPOSTA: B 7. RESPOSTA: A 8. RESPOSTA: E 9. RESPOSTA: A 10. RESPOSTA: A 11. RESPOSTA: D 1. RESPOSTA: D 13. RESPOSTA: D 14. RESPOSTA: C 15. RESPOSTA: A 9

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