Conceitos Básicos. Capítulo 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.

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1 Capítulo 1 Conceitos Básicos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Exemplo 1.1 Algumas equações diferenciais envolvendo a função incógnita y são apretadas a seguir. (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) Uma equação diferencial ordinária é aquela em que a função incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a função incógnita depender de duas ou mais variáveis independentes, temos uma equação diferencial parcial. Com exceção dos Capítulos 31 e 34, o foco principal deste livro se refere às equações diferenciais ordinárias. Exemplo 1.2 As equações (1.1) a (1.4) são exemplos de equações diferenciais ordinárias, pois a função incógnita y depende somente da variável x. A equação (1.5) é uma equação diferencial parcial, pois y depende de ambas as variáveis independentes t e x. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada desta equação.

2 16 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Exemplo 1.3 A equação (1.1) é uma equação diferencial de primeira ordem; as equações (1.2), (1.4) e (1.5) são equações diferenciais de segunda ordem. [Note que a derivada de maior ordem da equação (1.4) é dois.] A equação (1.3) é uma equação diferencial de terceira ordem. NOTAÇÃO As expressões y, y, y, y (4),..., y (n) geralmente são utilizadas para repretar as derivadas primeira, segunda, terceira, quarta,..., enésima de y em relação à variável independente considerada. Assim, y repreta d 2 y/dx 2 se a variável independente for x, mas repreta d 2 y/dp 2 se a variável independente for p. Observe o uso dos parênteses em y (n) para distingui-la da enésima potência, y n. Se a variável independente for o tempo, usualmente denotada por t, as linhas são, em geral, substituídas por pontos. Assim, y, ÿ e y repretam dy/dt, d 2 y/dt 2 e d 3 y/dt 3, respectivamente. SOLUÇÕES Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x no intervalo função y(x) que satisfaz a equação diferencial identicamente para todo x em. é uma Exemplo 1.4 y(x) = c 1 2x + c 2 cos 2x, com constantes arbitrárias c 1, é solução de y + 4y = 0? Diferenciando y, temos Logo, y =2c 1 cos 2x 2c 2 2 x e y = 4c 1 2x 4c 2 cos 2x y +4y = ( 4c 1 2x 4c 2 cos 2x) + 4(c 1 2x + c 2 cos 2x) = ( 4c 1 + 4c 1 ) 2x + ( 4c 2 + 4c 2 ) cos 2x = 0 Assim, y(x) = c 1 2x + c 2 cos 2x satisfaz a equação diferencial para todos os valores de x e é, conseqüentemente, uma solução no intervalo (, ). Exemplo 1.5 Determine se y = x 2 1 é solução de (y ) 4 + y 2 = 1. Note que o membro esquerdo da equação diferencial dever ser não-negativo para toda função real y(x) e todo x, pois é a soma de duas potências pares, enquanto o membro direito da equação é negativo. Como não há função y(x) que satisfaça esta equação, a equação diferencial dada não possui solução. Observamos que algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções (Exemplo 1.4), enquanto outras não apretam solução (Exemplo 1.5). Também é possível que uma equação diferencial possua exatamente uma solução. Consideremos (y ) 4 + y 2 = 0, que por motivos idênticos aos apretados no Exemplo 1.5, admite apenas uma solução y 0. Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução. Uma solução geral de uma equação diferencial é o conjunto de todas as soluções. Exemplo 1.6 Pode-se mostrar que a solução geral da equação diferencial do Exemplo 1.4 é y(x) = c 1 2x + c 2 cos 2x (ver Capítulos 8 e 9). Isto é, toda solução particular da equação diferencial possui essa forma geral. Algumas soluções particulares são: (a) y = 5 2x 3 cos 2x (adotando c 1 = 5 = 3), (b) y = 2x (adotando c 1 = 1 = 0) e (c) y 0 (adotando c 1 = c 2 = 0). Nem sempre se pode expressar a solução geral de uma equação diferencial por meio de uma fórmula única. Como exemplo, considere a equação diferencial y + y 2 = 0 que possui duas soluções particulares y = 1/x e y 0. PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS E DE VALORES DE CONTORNO Uma equação diferencial juntamente com condições auxiliares sobre a função incógnita e suas derivadas (todas especificadas para o mesmo valor da variável independente), constituem um problema de valores iniciais. As condições auxiliares são condições iniciais. Se as condições auxiliares são especificadas para mais de um

3 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 17 valor da variável independente, temos um problema de valores de contorno e as condições são condições de contorno. Exemplo 1.7 O problema y + 2y = e x ; y(π) = 1, y (π) = 2 é um problema de valores iniciais porque as duas condições auxiliares são especificadas para x = π. O problema y + 2y = e x ; y(0) = 1, y(1) = 1 é um problema de valores de contorno, pois ambas as condições auxiliares são especificadas para valores distintos x = 0 e x = 1. Uma solução de um problema de valores iniciais ou de valores de contorno é uma função y(x) que, simultaneamente, resolve a equação diferencial e satisfaz todas as condições auxiliares especificadas. Problemas Resolvidos 1.1 Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente em cada uma das seguintes equações diferenciais: (a) (b) (c) (d) (a) Terceira ordem, porque a derivada de maior ordem é a terceira. A função incógnita é y; a variável independente é x. (b) Segunda ordem, porque a derivada de maior ordem é a segunda. A função incógnita é y; a variável independente é t. (c) Segunda ordem, porque a derivada de maior ordem é a segunda. A função incógnita é t; a variável independente é s. (d) Quarta ordem, porque a derivada de maior ordem é a quarta. A elevação de derivadas à potências arbitrárias não modifica o número de derivadas envolvidas. A função incógnita é b; a variável independente é p. 1.2 Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente para cada uma das equações diferenciais seguintes. (a) (b) (c) (d), (a) Segunda ordem. A função incógnita é x; a variável independente é y. (b) Primeira ordem, porque a derivada de maior ordem é a primeira, embora esteja elevada à segunda potência. A função incógnita é x; a variável independente é y. (c) Terceira ordem. A função incógnita é x; a variável independente é t. (d) Quarta ordem. A função incógnita é y; a variável independente é t. Note a diferença de notação entre a derivada de ordem quatro y (4), com parênteses, e a quinta potência y 5, sem parênteses. 1.3 Determine se y(x) = 2e x + xe x é uma solução de y + 2y + y = 0. Diferenciando y(x), temos Substituindo esses valores na equação diferencial, obtemos Assim, y(x) é uma solução.

4 18 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.4 y(x) 1 é uma solução de y + 2y + y = x? De y(x) 1, temos y (x) 0 e y (x) 0. Substituindo esses valores na equação diferencial, obtemos Assim, y(x) 1 não é uma solução. 1.5 Mostre que y = ln x é solução de xy + y = 0 em = (0, ), mas não é solução em = (0, ). Em (0, ) temos y = 1/x e y = 1/x 2. Substituindo esses valores na equação diferencial, obtemos Assim, y = ln x é solução em (0, ). Note que y = ln x não pode ser solução em (, ), pois o logaritmo não é definido para números negativos e zero. 1.6 Mostre que y = 1/(x 2 1) é solução de y + 2xy 2 + = 0 em = ( 1, 1), mas não é solução em nenhum outro intervalo maior contendo. Em ( 1, 1), y = 1/(x 2 1) e sua derivada y = 2x / (x 2 1) 2 são funções bem definidas. Substituindo esses valores na equação diferencial, obtemos Assim, y = 1/(x 2 1) é solução em = ( 1, 1). Note, todavia, que y = 1/(x 2 1) não é definida em x ± 1 e, por isso, não pode ser solução em nenhum intervalo que contenha qualquer um desses dois pontos. 1.7 Determine se qualquer uma das funções (a) y 1 = 2x, (b) y 2 (x) = x ou (c) é solução do problema de valor inicial y + 4y = 0; y(0) = 0, y (0) = 1. (a) y 1 (x) é solução da equação diferencial e satisfaz a primeira condição inicial y(0) = 0. Todavia, y 1 (x) não satisfaz a segunda condição inicial (y 1 (x) = 2 cos 2x; y 1 (0) = 2 cos0 = 2 1); do assim, não é solução do problema de valor inicial. (b) y 2 (x) satisfaz ambas as condições iniciais, porém não satisfaz a equação diferencial; logo, y 2 (x) não é solução. (c) y 3 (x) satisfaz a equação diferencial e ambas as condições iniciais, do, portanto, solução do problema de valor inicial. 1.8 Especifique a solução do problema de valor inicial y + y = 0; y(3) = 2, sabendo (ver Capítulo 8) que a solução geral da equação diferencial é y(x) = c 1 e x, com c 1 do uma constante arbitrária. Como y(x) é solução da equação diferencial para qualquer valor de c 1, devemos calcular o valor de c 1 que também satisfaça a condição inicial. Observe que y(3) = c 1 e 3. Para satisfazer a condição inicial y(3) = 2, basta escolher c 1 de tal forma que c 1 e 3 = 2, isto é, c 1 = 2e 3. Substituindo este valor de c 1 em y(x), obtemos y(x) = 2e 3 e x = 2e 3 x como solução do problema de valor inicial. 1.9 Determine uma solução do problema de valor inicial y + 4y = 0; y(0) = 0, y (0) = 1, considerando a solução geral da equação diferencial como do (ver Capítulo 9) y(x) = c 1 2x + c 2 cos 2x. Como y(x) é solução da equação diferencial para todos os valores de c 1 (ver Exemplo 1.4), calcularemos os valores de c 1 que também satisfaçam as condições iniciais. Observe que y(0) = c 1 0 +c 2 cos 0 = c 2. Para satisfazer a primeira condição inicial, y(0) = 0, escolhemos c 2 = 0. Além disso, y (x) = 2 c 1 cos 2x 2 c 2 2x; assim, y (0) = 2 c 1 cos 0 2 c 2 0 = 2 c 1. Para satisfazer a segunda condição inicial, y (0) = 1, escolhemos 2 c 1 = 1

5 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 19 ou. Substituindo estes valores de c 1 em y(x), obtemos como solução do problema de valor inicial Determine uma solução para o problema de valores de contorno y + 4y = 0; y(π/8) = 0, y(π/6) = 1, considerando a solução geral da equação diferencial como do y(x) = c 1 2x +c 2 cos 2x. Observe que Para satisfazer a condição y(π/8) = 0, é necessário que (1) Além disso, Para satisfazer a segunda condição, y(π/6) = 1, é necessário que (2) Solucionando (1) e (2) simultaneamente, obtemos Substituindo esses valores em y(x), obtemos como solução do problema de valores de contorno Especifique uma solução para o problema de valores de contorno y + 4y = 0; y(0) = 1, y(π/2) = 2 considerando a solução geral da equação diferencial como do y(x) = c 1 2x + c 2 cos 2x. Como y(0) = c c 2 cos 0 = c 2, devemos escolher c 2 = 1 para satisfazer a condição y(0) = 1. Como y(π/2) = c 1 π + c 2 cos π = c 2, devemos escolher c 2 = 2 para satisfazer a segunda condição y(π/2) = 2. Assim, para que ambas as condições de contorno sejam simultaneamente satisfeitas, é necessário qu seja igual a 1 e 2, o que é impossível. Sendo assim, este problema não admite solução Determine c 1 de modo que y(x) = c 1 2x +c 2 cos 2x + 1 satisfaça as condições y(π/8) = 0,. Observe que Para satisfazer a condição y(π/8) = 0, é necessário que ou, de forma equivalente, (1)

6 20 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Como y (x) = 2c 1 cos 2x 2c 2 2x, Para satisfazer a condição, é necessário que ou, de forma equivalente, (2) Resolvendo (1) e (2) simultaneamente, obtemos e Determine c 1 de modo que y(x) = c 1 e 2x + c 2 e x + 2 x satisfaça as condições y(0) = 0 e y (0) = 1. Como 0 = 0, y(0) = c 1 + c 2. Para satisfazer a condição y(0) = 0, é necessário que (1) De temos y (0) = 2c 1 + c Para satisfazer a condição y (0) = 1, exige-se que 2c 1 + c = 1, ou (2) Resolvendo (1) e (2) simultaneamente, obtemos c 1 = 1 = 1. Problemas Complementares Nos Problemas 1.14 a 1.23, determine (a) a ordem, (b) a função incógnita e (c) a variável independente para cada uma das equações diferenciais dadas Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y 5y = 0? (a) y = 5, (b) y = 5x, (c) y = x 5, (d) y = e 5x, (e) y = 2e 5x, (f) y = 5e 2x 1.25 Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y 3y = 6? (a) y = 2, (b) y = 0, (c) y = e 3x 2, (d) y = e 2x 3, (e) y = 4e 3x 2

7 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial 2ty = t? (a) (b) (c) (d) (e) 1.27 Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial dy/dt = y/t? (a) y = 0, (b) y = 2, (c) y = 2t, (d) y = 3t, (e) y = t Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial (a) (b) (c) (d) y = (x 8 x 4 ) 1/ Dentre as funções abaixo, quais são soluções da equação diferencial y y = 0? (a) (b) (c) (d) (e) 1.30 Dentre as funções abaixo, quais são soluções da equação diferencial y xy + y = 0? (a) (b) (c) (d) (e) y = Dentre as funções abaixo, quais são soluções da equação diferencial? (a) x = e t, (b) x = e 2t, (c) x = e 2t + e t, (d) x = te 2t + e t, (e) x = e 2t + te t Nos Problemas 1.32 a 1.35, determine c de modo que x(t) = ce 2t satisfaça a condição inicial indicada x(0) = x(0) = x(1) = x(2) = 3 Nos Problemas 1.36 a 1.39, determine c de modo que y(x) = c (1 x 2 ) satisfaça a condição inicial indicada y(0) = y(1) = y(2) = y(1) = 2 Nos Problemas 1.40 a 1.49, especifique c 1 de modo que y(x) = c 1 x + c 2 cos x satisfaça as condições iniciais indicadas. Determine se tais condições são condições iniciais ou condições de contorno Nos Problemas 1.50 a 1.54, calcule os valores de c 1 de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais indicadas y(x) = c 1 e x + c 2 e x + 4 x; y(0) = 1, y (0) = 1

8 22 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.51 y(x) = c 1 x + c 2 + x 2 1; y(1) = 1, y (1) = y(x) = c 1 e x + c 2 e 2x + 3e 3x ; y(0) = 0, y (0) = y(x) = c 1 x + c 2 cos x + 1; y(π) = 0, y (π) = y(x) = c 1 e x + c 2 xe x + x 2 e x ; y(1) = 1, y (1) = 1