Erivaldo. UFSC Parte 02

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1 Erivaldo UFSC Parte 02

2 UFSC 2011 Análise Combinatória página ( ) O sangue humano pode ser classificado quanto ao sistema ABO e quanto ao fator Rh. Sobre uma determinada populac a o P, os tipos sangui neos se repartem de acordo com as seguintes tabelas: A B AB O 40% 10% 5% 45% Grupo A B AB O RH + 82% 81% 83% 80% RH - 18% 19% 17% 20% Um indivi duo classificado como O Rh negativo e chamado doador universal. Podemos dizer que a probabilidade de que um indivi duo, tomado ao acaso na populac a o P, seja doador universal e de 9%.

3 UFSC 2011 Análise Combinatória página 14 A B AB O 40% 10% 5% 45% Grupo A B AB O RH + 82% 81% 83% 80% RH - 18% 19% 17% 20% Um indivi duo classificado como O Rh negativo e chamado doador universal. Podemos dizer que a probabilidade de que um indivi duo, tomado ao acaso na populac a o P, seja doador universal e de 9%. Indivíduo doador universal: Sistema O e Fator RH - Item correto

4 UFSC 2011 Análise Combinatória página ( F ) Suponha que Chevalier de Me re, um jogador franceŝ do Se culo XVII, que ganhava a vida apostando seu dinheiro em jogos de dados, decidiu apostar que vai sair um 3 no lanc amento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1 a 6. Com relac a o a esse eperimento, ha dois resultados possi veis: ou sai 3 e Chevalier ganha, ou na o sai 3 e ele perde. Cada um destes resultados sai um 3 ou na o sai um 3 tem a mesma probabilidade de ocorrer. Resultados possíveis: Probabilidade de sair 3: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Probabilidade de não sair 3:

5 UFSC 2011 Análise Combinatória página ( V ) Se A e o nu mero de arranjos de 6 elementos tomados 2 a 2; B e o nu mero de permutac oẽs de 5 elementos e C e o nu mero de combinac oẽs de 5 elementos tomados 3 a 3, entaõ A + B C = 140. A + B C

6 UFSC 2011 Análise Combinatória página 13 V 30.( ) O termo independente de no desenvolvimento é p 4 10-p p 40-4p. -p = p = p = 0 p = 8

7 UFSC 2011 Função página ( ) Para a função, a área da região limitada pelos eios coordenados ( = 0 e y = 0) e pelo gráfico de f, é 8,5 unidades de área. y Gráfico: 5 f() = + 1 f(0) = A(0,1) f() = 5 f(2) = 5 2 B(2,3) f() = + 1 f(2) = B(2,3) f() = 5 f(5) = 5 5 B(5,0)

8 UFSC 2011 Função página 18 y Área: Área Total: A 1 + A 2 = 8,5 u.a. Item correto Geometria Analítica:

9 UFSC 2011 Função página ( F ) Dois automo veis, A e B, deslocam-se no mesmo sentido com movimento uniforme em uma mesma estrada, que e reta. No instante t = 0, A se encontra no quilo metro zero e B no quilo metro 60. Se, no intervalo de t = 0 a t = 1 h, A percorreu 60 km e B percorreu 30 km, enta o A alcanc a B no instante t = 2 h ao passarem pelo marco de 90 km. Automo vel A Automo vel B t s t s Lei de formação: s = a.t + b s = a.t + b s = 60.t + 0 s = 30.t + 60

10 UFSC 2011 Função página ( F ) Se a receita mensal de uma loja de boneś e representada por R() = 200( 10)( 15) reais, na qual e o prec o de venda de cada bone (10 15), enta o a receita ma ima sera de R$ 2.500,00. R() = 200( 10)( 15) Raízes: 200( 10)( 15) = 0 R() = 200( 10)( 15) y V = 200(12,5 10)(12,5 15) 1 = 10 ou 2 = 15 y V = R má. = R$ 1.250,00

11 UFSC 2009 Funções página ( V ) Se o gráfico da função f 1 () = 2 sofrer uma translação horizontal de 4 unidades para a direita, então a função correspondente ao novo gráfico será f 2 () = f 1 () = 2 f 2 () = ( 4) 2 Translação de 4 unidades para direita

12 UFSC 2009 Funções página ( F ) O gráfico abaio representa o custo de produção de certo produto. Custo (R$) Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que o custo para a produção de 20 unidades é de R$ 2.500, Unidades A cada 10 unidades há um aumento de: R$ 250,00 Lei de formação: y = Para 20 unidades tem-se um custo de: R$ 1250,00 + R$ 250,00 R$ 1500,00

13 UFSC 2010 Eponencial e Logaritmo página ( F ) A razaõ da progressaõ aritme tica (log 10, log 100, log 1000) e igual a 10. ( log 10, log 100, log 1000 ) ( 1, 2, 3 ) P.A. de razão r = 1

14 UFSC 2010 Eponencial e Logaritmo página ( V ) O valor de e igual a 9.

15 UFSC 2011 Eponencial e Logaritmo página ( ) Suponha que a decomposic a o de uma substa ncia siga a lei dada por Q(t) = k.2-0,2.t, em que k e uma constante positiva e Q(t) e a quantidade da substa ncia (em gramas) no instante t (em minutos). O valor de t 0, em minutos, considerando os dados desse processo de decomposic a o mostrados no gra fico a seguir, e 15. Q(t) = k.2-0,2.t Q(0) = 8 Q(0) = k.2-0,2.0 = 8 k.2 0 = 8 Q(t 0 ) = 1 k = 8

16 UFSC 2011 Eponencial e Logaritmo página ( V ) Suponha que a decomposic a o de uma substa ncia siga a lei dada por Q(t) = k.2-0,2.t, em que k e uma constante positiva e Q(t) e a quantidade da substa ncia (em gramas) no instante t (em minutos). O valor de t 0, em minutos, considerando os dados desse processo de decomposic a o mostrados no gra fico a seguir, e 15. Q(t) = 8.2-0,2.t Q(t 0 ) = 8.2-0,2.t = 1 2-0,2.t = 1/8 Q(t 0 ) = 1 2-0,2.t = ,2.t = -3 t = 15 min.

17 UFSC 2011 Eponencial e Logaritmo página ( F ) Os valores reais de que satisfazem a equac aõ = 5.2 pertencem ao intervalo (2, 4] = 5.2 (2 2 ) = 0 (2 ) 2 5.(2 ) + 4 = 0 2 = y (y) 2 5.(y) + 4 = 0 y 2 5.y + 4 = 0 y = 4 ou y = 1 2 = 2 2 ou 2 = 2 0 = 2 ou = 0 S = { 0, 2 }

18 UFSC 2011 Eponencial e Logaritmo página ( V ) Se 3 n = 5, entaõ 3 n = 5 log 3 5 = n log = log = log log n n log = log 3 ( ) log = 2.log log 3 5 log = 2.( 1 ) + 2.( n ) log = 2 + 2n

19 UFSC 2012 Análise Combinatória página ( ) A Figura 5 representa o mapa de uma cidade fictćia na qual ha nove ruas na direc a o vertical e cinco ruas na direc a o horizontal. Para ir do ponto A ate o ponto B, os deslocamentos permitidos sa o sempre no sentido Oeste-Leste (D) e/ou Sul- Norte (C), como eemplificado na Figura 5, respectivamente, pelas letras D (direita) e C (para cima). Nestas condic oẽs eistem 495 caminhos diferentes para ir do ponto A ate o ponto B.

20 UFSC 2012 Análise Combinatória página 15 Caminhos possíveis: D D C D D D C C D C D D C C D D D D D D D D C C CORRETO

21 UFSC 2006 Geometria Analítica Determine o número de pontos de intersecção dos gráficos das equações 2 + y 2 = 9 e 2 3 = 0 no plano cartesiano. Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. y 2 + y 2 = 9 C(0,0) e r = = 0 Quatro pontos de intersecção. Gabarito: 04

22 UFSC 2012 Função página ( ) A função g: [-1, + ) [0, + ) dada por g() = é inversível. Gráfico de g() = y V = (1) 2 2.(1) +1 Raízes: = 0 1 = 1 ou 2 = 1 y V = 0 Vértice: V( 1, 0 ) 1

23 UFSC 2012 Função página ( F ) A função g: [-1, + ) [0, + ) dada por g() = é inversível. y Gráfico de g() = Vértice: V( 1, 0 ) Não é Injetora 1 É Sobrejetora Não é Bijetora -1 Não é inversível 1 INCORRETO

24 UFSC 2012 Função página ( V ) Sejam f e g funções reais definidas por f() = sen e g() = Então (fog)() = (fog)(-) para todo real. f() = sen e g() = (fog)() = f(g()) (fog)() = sen ( 2 + 1) (fog)() = sen ( 2 + 1) (fog)(-) = sen [(-) 2 + 1] (fog)(-) = sen ( 2 + 1) CORRETO

25 UFSC 2012 Função página ( ) O conjunto solução da inequação no conjunto R é S = (-, 0). f = g =

26 UFSC 2012 Função página 19 f = g = f() = g() = f/g INCORRETO

27 UFSC 2012 Função página ( F ) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 20-3(2 + 15) < 0 é (2 + 15) < < < 0 6 < 25 : ( 6) INCORRETO

28 UFSC 2012 Função página ( V ) A reta r de equação y = 5-3 intercepta o gráfico da função real definida por f() = em um único ponto. CORRETO

29 UFSC 2009 Polinômio página ( V ) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de R em R, dada por f() = y Forma fatorada: y = a.( 1 ).( 2 ).( 3 ).( 4 ) y = a.( +2).( +1).( 1).( 2) (0,4) 4 = a.(0 +2).(0 +1).(0 1).(0 2) 4.a = 4 a = Função: y = 1.( +2).( +1).( 1).( 2) f() =

30 UFSC 2009 Análise Combinatória página ( V ) Há 648 números de três algarismos distintos compreendidos entre 100 e p. 9p. 8p = 648 C D U CORRETO

31 UFSC 2009 Análise Combinatória página ( F ) O número de anagramas da palavra SINTOMA que começam por SI e terminam por MA é 480. N T O S. I.... M. A P 3 = 3! P 3 = 6 INCORRETO

32 UFSC 2009 Análise Combinatória página ( F ) Um casal pretende ter 3 filhos. A probabilidade de serem dois meninos e uma menina é de 33,33%. e e H,H,M H,M,H M,H,H Portanto: 37,5% INCORRETO

33 UFSC 2006 Questão 02 Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eio. Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. f é uma função polinomial do primeiro grau f() = a + b f(3) = 2 f(3) = a.(3) + b = 2 b = 2 3a (I) f(1) = a.(1) + b f(1) = a + b f(f(1)) = 1 f(a+b) = a.(a+b) + b = 1 a 2 + ab + b = 1 (II) Substituindo (I) em (II), tem-se: a 2 + ab + b = 1 a 2 + a.(2 3a) + (2 3a) = 1 2a 2 + a 1 = 0 Fazendo f()=0 em III, vem que: a = 1 ou a = ½(não serve) b = 5 f() = (III) 0 = = 5 Gabarito: 05

34 UFSC 2009 Análise Combinatória página 24 V 19.( ) Considere que log 2 = 0,301 e que = 2 30, então é correto afirmar que é maior do que um bilhão, porém menor do que um trilhão. 1 bilhão : = 2 log = 9,03 1 trilhão : log = log2 10, 03 9 = log = 30.log < < log = 30.(0,301) CORRETO

35 UFSC 2009 Logaritmo página ( ) Para todo real diferente de zero vale ln < e. 1º método (Gráfico) : Considere f() = ln e g() = e. f() = ln = 1 f(1) = ln 1 (1,0) y g() = e = -1 f(1) = ln -1 (-1,0) = e f(e) = ln e (e,1) 1 = -e f(-e) = ln -e (-e,1) -e e 2º método (tentativa): Faça = -e. ln < e ln -e < e -e log e e < 1/e e 1 < 1/(2,7) (2,7) 1 < 1/14,61 (Falso) Para < 0 tem-se: f() > g(). INCORRETO

36 UFSC 2005 Questão 03 Qualquer que seja o número real, ele obedece à relação n < < n + 1, sendo n um número inteiro. Diz-se que n é a parte inteira de e é denotada por E() = n. A partir dessa definição de E, calcular Y na epressão: Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. Y = 4E ( 299 ) + 2E ( 2 ) E() = n, onde n < < n + 1 com n um número inteiro e um número real. E ( 299 ) = E(17,29) 17 < 17,29 < E ( 299 ) = 17 E 7 8 log E E sen233 o E log 127 = E(3,...) 5 3 < 3,... < E log 127 = 3 5

37 E E() = n, onde n < < n + 1 com n um número inteiro e um número real. sen233 o = E( 0,...) 0-1 < - 0,... < E sen233 = E = E( 0,875 ) 7 0 < 0,875 < E = 0 8 E ( 2 ) = E(1,41) 1 < 1,414 < E ( 2 ) = 1 Substituindo-se os valores encontrados na epressão Y, tem-se: Y = 4E ( 299 ) + 2E E 7 8 log E ( 2 ) E sen233 o Y = 4.(17) + 2.(3) ( 1) Y = Y = 75 Gabarito: 75

38 UFSC 2005 Questão 01 Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível?

39 A Área hachurada: A = 2.A A 2 A = 2..(56-2) + 2..(32-2) A = A = A Raízes: (A=0) = 0 1 = 0 ou 2 = 22 V V V Vértice: 1 + = = 2 = 11cm 2

40 Área máima: A = y V = A má = 176.(11) 8.(11) 2 A 968 Gráfico: y V = A má = 968cm Gabarito: 11

41 UFSC 2005 Questão 02 Em cada item a seguir, f() e g() representam leis de formação de funções reais f e g, respectivamente. O domínio de f deve ser considerado como o conjunto de todos os valores de para os quais f() é real. Da mesma forma, no caso de g considera-se o seu domínio todos os valores de para os quais g() é real. Verifique a seguir o(s) caso(s) em que f e g são iguais e assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). Obs. : Sendo que uma função é um conjunto de pares ordenados, então duas funções serão iguais se possuírem a mesma lei de formação, o mesmo domínio e a mesma imagem. 01. f() = 2 e g() = Mesma lei de formação,pois: 2 = Mesma Imagem: Im = R + Mesmo Domínio: D = R CORRETO

42 1 02. f () = e g() = Mesma lei de formação,pois: 1 1 =. = Mesmo Domínio: D = R * + Mesma Imagem: Im = R * + CORRETO 04. f() = 2 e g() = leis de formação diferentes: Mesmo Domínio: D = R 2 Imagens diferentes: Im f = R + e Im g = R INCORRETO

43 08. f() = ( ) 2 e g() = Mesma lei de formação,pois: 16. f() = ( ) 2 = Mesma lei de formação,pois: = 1 1 Gabarito: 03 e 1 g() = 1 Domínios diferentes: D f = R + e D g = R Imagens diferentes: Im f = R + e Im g = R Domínios Diferentes: 0 e 1> 0 f > 0 D = 1 INCORRETO D = { R / 1} { R / 0 ou 1} g > Imagens diferentes: Im f = {y R/y>1 } e Im g ={ R/y 0 e y 1} INCORRETO

44 Professor: Erivaldo FIM