Inequações Exponenciais. 1 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

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1 Função Exponencial Inequações Exponenciais 1 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

2 Função Exponencial Inequações Exponenciais 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. a) x > 16. b) 5 x 15. c) 9 x < 7 x. d) e) ( ) x 5 < 8 7. ( ) 1 x+ 9. Exercício. Exercício. a) (0, 57) > (0, 57). b) (0, 57) 7 < (0, 57) 8. c) (0, 57) 4 > (0, 57). Resolva as inequações abaixo. Resolva a inequação d) (0, 57) 0,57 > (0, 57) 0,50. e) (0, 57) < 1. ( ) 1 4x Assinale a afirmação correta. ( ) 1 x 1. 8 Exercício 4. Determine o conjunto solução, em R, da inequação (0, 4) x 1 > 1. Exercício 5. Para quais valores de x é válida a inequação x 1 x 1 81? Exercício 6. Qual é a condição necessária e suficiente que o número real k deve satisfazer para que a equação x = 4 k admita solução real? Exercício 7. Seja uma função f : R R, definida por f (x) = x 5x. Determine os valores de x tais que f (x) seja menor que 7. Exercício 8. Determine o maior conjunto dos valores reais de x para os quais as funções abaixo estejam definidas. a) y = x 1 x. b) y = (0, ) x 5x (0, ) 4. Exercícios de Fixação Exercício 9. Determine o maior conjunto possível, em R, dos valores de x que definem as funções: a) f (x) = x 1. b) g(x) = 1 5 x ( ). 1 x Exercício 10. Resolva a inequação 4 x 10 x + 16 < 0. Exercício 11. Resolva a inequação: x x+1 x+ x+ + x+4 < 4. Exercício 1. Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada por q(t) = q o 0.,t, sendo q o a quantidade inicial de água no reservatório após t meses. Determine a quantidade de meses para que a água do reservatório seja inferior a 5% do que era no início. ( ) ( ) Exercício 1. Dada a inequação x x 1 x, o conjunto verdade V, considerando o conjunto universo como 9 sendo o dos reais, é dado por: a) V = {x R, x ou x }. b) V = {x R, x e x }. c) V = {x R, x. d) V = {x R, x. e) V = {x R, x }. Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 14. O conjunto solução, em R, da inequação M x 1 M x 1, com M real e M > 1, é: a) ], 1]. b) [1, + [. c) [0, 1]. d) [ 1, + [. e) [0, + [. Dê o conjunto verdade da inequação exponen- Exercício 15. cial: Exercício 16. a) [, 1]. b) [0, 1]. 5 x + x +1 8 x < 0. O conjunto solução da inequação: ( ) 1 x 4 ( ) x 1 7 x 7 7 x +1 0, é: c) ], ] [ 1, 0] [1, + ]. d) [0, + [. 1 matematica@obmep.org.br

3 e) [, 1] [0, 1]. Exercício 17. O conjunto solução da inequação x x x x+, em que x > 0 e x = 1, é: a) (0, 1) [, + ). b) {x R, 0 < x < 1}. c) [, + ). d) R. e). Exercício 18. Se a x + 4 a+1 x + 8 > 0, para todo x R, é correto afirmar que: a) a 1. b) a < 1. c) a 1. d) a < 0. e) a > 1. Exercício 19. Seja α um número real, com 0 < α < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x, tais que: α x ( 1 α ) x < 1. a) ], 0] [, + [. b) ], 0[ ], + [. c) ]0, [. d) ], 0[. e) ], + [. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com matematica@obmep.org.br

4 1. a) b) c) d) e). Respostas e Soluções. x > 16 x > 4 x > 4. 5 x 15 5 x 5 x. 9 x < 7 x (x ) < 4x 6 < x < 9 4. ( ) x 5 < 8 7 ( ) x 5 ( < x 5 > x > 8. ( ) 1 x+ 9 ( ) 1 x+ ( 1 x + x 5 x 5. ) ) 4. Portanto, S = 5. (0, 4) x 1 > 1 (0, 4) x 1 > (0, 4) 0 x 1 < 0 { x R, x < 1 }. x < 1. x 1 x 1 81 x 1+x 4 x 4 x 1 x (Extraído da Vídeo Aula) Sabemos que x é sempre positivo qualquer que seja x real. Então 4 k > 0, segue que k <. 7. (Extraído da Vídeo Aula) x 5x < 7 x 5x < x 5x < x 5x 6 < 0. Assim, temos que 1 < x < a) x 1 x 0 x 1 x x 1 x x 1 x 1. ( ) 1 4x ( 1 8 ( ) 1 4x ( 1 4x x x 1.. (Extraído da FGV) A. ) x 1 ) (x 1) b) (0, ) x 5x (0, ) 4 0 (0, ) x 5x (0, ) 4 x 5x 4 x 5x Assim, temos 1 x 4. matematica@obmep.org.br

5 9. (Extraído da Vídeo Aula) a) Seja D este conjunto, então, como se trata de uma raiz quadrada, devemos ter x 1 ( 0, segue ] que [ x ) ou x. Portanto, D =,, + b) No numerador não há restrição, mas o denominador é uma raiz quadrada, então temos que: ( ) 1 x 1 > 0 ( ) 1 x > 1 ( ) 1 x < 1 ( ) 1 x ( 1 < x > 0. Portanto, se D é o maior conjunto dos valores de x, então D = R (Extraído da Vídeo Aula) Seja x = y e, por consequência, 4 x = y, temos y 10y + 16 < 0, donde < y < 8. Assim, < x < e concluímos que 1 < x <. 11. ) 0 1. (Extraído da Unesp) ( x ) x 1 ( ) x 9 x x x+ x x x + x x + x 6 0 x + x 6 0. Temos, portanto, x ou x. Resposta A. 14. (Extraído da Mackenzie - 015) Como M > 1, temos: M x 1 M x 1 x 1 x 1 x x 0 x (x 1) 0. Como x 0, então x 1 0, segue que x 1. Resposta A. 15. (Extraído do ITA - adaptada) 5 x + x +1 8 x < 0 5 x + x 8 x < 0 5 x 5 x < 0 5 x < 5 x 5 x 1 < x 1 x x+1 x+ x+ + x+4 < 4 x x 4 x 8 x + 16 x < 4 x ( ) < 4 x < 4 1. (Extraído da Unifor-CE adaptada) 5% q o > q o 0,t 1 4 > 0,t > 0,t > 0, t t > 10. x < 1 4 x < x <. Portanto, depois de 10 meses a quantidade de água no reservatório será inferior a 5% do que era no início. Para que seja válida a desigualdade acima, devemos ter x 1 < 0, segue que 1 < x < (Extraído da UDESC - 016) ( ) 1 x 4 7 x 7 (7 ) x 1 x +1 ( ) 1 x 4 7 x 0 7 (7 ) x 1 x +1 7 x4 +4x 7 7 x x +x 1 7 x4 +4x 7 x x +x x 4 + 4x x x + x x 4 + x x x 0 x(x + x x ) 0 x[x (x + ) (x + )] 0 x(x + )(x 1) 0 x(x + )(x 1)(x + 1) 0. Analisando os sinais de cada um dos fatores da inequação, temos: 4 matematica@obmep.org.br

6 Resposta B. 19. (Extraído do ITA) α x ( 1 α ) x < 1 α x α x < 1 α x +x < 1 x + x > 0. Portanto, temos 0 < x <. Resposta C. Como queremos os valores negativos do produto, x pertence à união dos conjuntos [, 1] e [0, 1]. Resposta E. 17. (Extraído da UNIRIO) Vamos dividir o problema em dois casos: i. 0 < x < 1: x x x x+ x x + x. Como o intervalo deste caso é 0 < x < 1, qualquer valor de x deste intervalo vale para a solução. ii. x > 1: x x x x+ x x + x. Como o intervalo deste caso é x > 1, então a solução é x. Sendo assim, a solução da inequação é a união dos conjuntos solução dos dois casos, ou seja, (0, 1) [, + ). Resposta A. 18. (Extraído da UFV - MG) Seja a função f (x) = a x + 4 a+1 x + 8. Se queremos f (x) > 0 para qualquer x R, então o gráfico de f (x) não deve interceptar o eixo x, ou seja, f (x) não deve ter raiz real e, além disso, sua concavidade deve estar voltada para cima, o que ocorre para qualquer a R, já que a > 0. Assim, temos: ( 4 a+1) 4 a 8 < 0 4(a+1) a < a a < 0 4a a < 0 a ( a ) < 0. Chegamos a um produto negativo. Se um dos fatores, a, é positivo, então o outro, a, deve ser negativo. Temos, portanto: a < 0 a < a < 1 a < 1. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 5 matematica@obmep.org.br