Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES

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1 FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA... MÓDULO... 6 PROPRIEDADES DO MÓDULO... 6 FUNÇÃO MODULAR... 9 GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR... 9 EQUAÇÕES MODULARES... 7 INEQUAÇÕES MODULARES... 3 RESPOSTAS REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No final das séries de eercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a eercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio Todos os eercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES

2 FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA Já vimos, em apostilas anteriores, como tratar com funções definidas por mais de uma epressão e agora vamos usar aqueles conceitos. Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma delas está associada à um subdomínio D1, D, D3,... Dn e a união destes n subconjuntos forma o domínio D da função original, ou seja, cada domínio Di é um subconjunto de D. Vamos ver alguns eemplos de funções definidas por mais de uma sentença e seus respectivos gráficos. E. : Veja o gráfico de se 1 1 se 1 f E.1: Seja a função f 1 se 0 1 se 0 3 se O seu gráfico é dado por: E. 3: Seja a função f 1se 1se 1 1se 1 o gráfico é: CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 01) Construa o gráfico de cada uma das funções abaio: 1se 0 a) f se 0 b) f se se se MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES

4 CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO c) 1 se 1 1 se f d) 1 se 1 1 se 1 f

5 se 0) Dada f 1 se a) Construa seu gráfico. 03) Quais valores de tem imagem 7 na função 5 1 se 0 f se 0 b) Encontre os valores de que admitem 4 como imagem. MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES

6 04) Construa o gráfico de se 0 f se 0 É interessante associar a idéia de valor absoluto a distância, assim, o módulo de um número é a distância do afio de até a origem do sistema. Este conceito voltará a ser usado quando você estiver estudando Números Compleos no 3º ano PROPRIEDADES DO MÓDULO MÓDULO Sendo um número real, definimos MÓDULO ou VALOR ABSOLUTO que se representa por através da epressão: se se 0 0 Da definição de módulo, decorrem algumas propriedades que veremos a seguir: I 0, II 0 0 III IV V VI VII VIII y y y y,, y, y,, y y,, y a e a 0 a a a e a 0 a ou a Da epressão acima, podemos tirar duas conclusões: 1. Se é zero ou um número positivo, então o módulo de é o próprio.. Se é um número negativo, então o módulo de é o oposto aditivo de. 05) Aplicando o conceito de módulo, calcule: a) 4 b) 18 c) 9 4 CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 d) 5 1 c) 1 1 e) 7 f) ) Para que valores reais de é válida cada uma das igualdades a seguir? a) ) O módulo de um número real também pode ser definido desta forma:. Assim, calcule: a) 3 b) 1 1 b) 3 1 c) 5 MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES

8 08) Considere, na reta real, os pontos A(a) e B(b). A a B b 09) Uma partícula desloca-se sobre uma reta real. Inicialmente ela se encontra no ponto A(-5), em seguida vai até B(7) e depois até C(-). a) Qual a distância total percorrida pela partícula. O conceito de módulo pode ser usado para o cálculo da distância AB entre os pontos A e B, a partir de suas coordenadas. Assim, por definição, AB a b b a b) Qual seu deslocamento final. Desta forma, calcule a distância AB quando: a) a = -3 e b = 4 10) Verifique se cada uma das afirmativas a seguir é VERDADEIRA ou FALSA. a) b) 0 b) a = -5 e b = -8 c) y y,, y d) c) a = 3 e b = 5 e) a a f) 0 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 19 Eercícios 1 a 4 CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 FUNÇÃO MODULAR A função que associa a cada número real o seu valor absoluto é chamada FUNÇÃO MODULAR e representamos; f Utilizando o conceito de módulo de número real apresentado na página 6 desta apostila, a função modular também pode ser definida da seguinte forma: f se se 0 0 Vamos, a partir de agora, desenvolver algumas técnicas para construção de gráficos de função modular. Em cada eemplo a seguir vamos aprender um tipo de gráfico e, a seguir, construiremos um semelhante. Vamos construir o gráfico de Resolução: f. Quando nos deparamos com uma função elementar como esta, em princípio, construímos o gráfico de g() =. GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR Na questão 04 (Pág. 06) desta apostila, você construiu o gráfico da f porém apresentada sob função a forma de duas sentenças. Observe lá o que você fez. O gráfico da função modular é a reunião de duas semirretas de origem em (0, 0) que são as bissetrizes do 1º e º quadrantes. y D = e Im = + A seguir devemos fazer f() = g(), ou seja devemos rebater a parte do gráfico que se encontra abaio do eio horizontal, desta forma: MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES

10 a) f() = Então, o gráfico de f() = é. b) f() = 3 Agora é sua vez: D = e Im = + 11) Construa, nas malhas quadriculadas de cada item, o gráfico que se pede. Em todas as malhas, está tracejado o gráfico da função f()=. Aproveite para comparar o gráfico que vc construiu com este.. CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 c) f() = Este é o gráfico da função f() = + e podemos observar o domínio e a imagem da função olhando para o gráfico: D = R e Im = R +. Vamos aproveitar este gráfico para fazer outra observação. Na figura abaio está o gráfico de f() = + e, tracejado em verde, o gráfico da função f() =. Construir o gráfico da função f() = +. Resolução: Assim como fizemos antes, vamos construir o gráfico de g() = + Agora, vamos rebater o que estiver abaio do eio das abscissas. Comparando os dois gráficos, podemos dizer que o gráfico de f foi obtido a partir do deslocamento do gráfico de g em duas unidades para a esquerda. A seguir, você pode observar uma família de gráficos do tipo f() = a. Note cada gráfico é deslocado, em relação do gráfico de f() = em a unidades. MATEMÁTICA I 11 RELAÇÕES

12 Construir o gráfico da função f. Resolução: Da mesma forma que já fizemos, construiremos o gráfico de g() = + e rebateremos o que está abaio do eio pois f() não admite valor negativo. Tente associar esta ideia com o que você viu quando estudou os deslocamentos laterais do gráfico da função quadrática. 1) Construa o gráfico de f 1 D = R e Im = R + Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 13 a 19.. CÁSSIO VIDIGAL 1 IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 13) f 1 14) f 3 MATEMÁTICA I 13 RELAÇÕES

14 15) f 3 16) f 4 CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 17) f 4 18) f 3 MATEMÁTICA I 15 RELAÇÕES

16 19) f 3 Construir o gráfico da função definida em todo o capo dos reais dada por f() = Resolução: Em princípio, vamos construir o gráfico de g() = + 1 como vimos nos eemplos anteriores. Agora devemos deslocar o gráfico duas unidades para baio pois f() = g() - Podemos ver que o DOMÍNIO desta função são todos os números reais. Observando o gráfico, qual é a IMAGEM desta função? CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 0 a 4. 1) f 1 3 0) f 3 MATEMÁTICA I 17 RELAÇÕES

18 ) f 4 3 3) f CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 4) f 1 4 Agora vamos começar a tratar com funções que apresentam incógnitas dentro e fora do módulo e outras com soma de módulos. E1.: Construir o gráfico da função f. 1 Resolução: Vamos dividir a função em duas partes. A primeira é o que está no módulo: e a segunda parte será 1. De, temos: se se De 1 temos que, independente do valor de, seu valor será 1. Vamos agora dispor estas situações num quadro. O que vai separar uma coluna de outra será o - que é o valor que faz mudar a epressão na primeira parte da função Note que a terceira linha é a soma das duas anteriores. A função que dividimos em duas partes era formada pela soma dessas. Assim, a função que trabalharemos agora será: f 1 se 3 se MATEMÁTICA I 19 RELAÇÕES

20 Vamos agora construir o gráfico desta função definida por partes. Assim, a função de que devemos construir o gráfico será: f 1 3 se 1 se 1 se 1 E1.: Construir o gráfico da função f 1. 1 Resolução: Assim como fizemos antes, vamos dividir a função em duas partes e, a seguir, formaremos o quadro. Veja. 1 1 se se 1 se se Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 5 a CÁSSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 5) f 6) f MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES

22 7) f 3 81) f 1 3 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 9) f 1 30) f 3 3 MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES

24 31) f 4 3 3) f 1 4 CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 33 a ) f ) f 1 1 MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES

26 35) f ) f 4 CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

27 37) f 1 3 No link abaio, você tem acesso a uma vídeo-aula de cerca de 30 minutos que abrange tudo que vimos até aqui sobre função modular. EQUAÇÕES MODULARES Para resolver equações modulares, devemos lembrar de duas propriedades de módulo: P1: k k ou k P: y y ou y Utilizando estas duas propriedades e a condição de que 0, vamos resolver algumas equações modulares. MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES

28 Como previmos anteriormente, a solução = 3 não convém, neste caso, E.1: Resolver 1 7 Resolução: ou S S 4; 3 E.: Resolver Resolução: ou S 4; 5 Faça agora os eercícios referentes a este assunto. E.: Resolver 1 8 Resolução: Em princípio devemos lembrar que Deste forma só serão convenientes aquelas soluções maiores ou iguais a ou CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

29 38) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais. a) 3 e) b) 3 1 f) c) g) 4 5 d)\ 3 1 MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES

30 39) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais. a) 3 1 c) d) 1 b) CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO

31 40) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais. a) 1 d) b) 3 3 e) 3 3 c) 5 1 f) MATEMÁTICA I 31 RELAÇÕES

32 Equações Modulares Parte 4 Eistem outras situações envolvendo equações modulares que não trataremos aqui mas você pode ver nas vídeo-aulas acessíveis pelos links abaio: Equações Modulares Parte 5 Equações Modulares Parte 3 INEQUAÇÕES MODULARES A idéia de módulo está ligada ao conceito de distância, como foi dito no início desta apostila. Assim, temos que: a a a a a ou a CÁSSIO VIDIGAL 3 IFMG CAMPUS OURO PRETO

33 Utilizando estas propriedades, podemos resolver as equações que envolvem módulo. E.1: Resolver a inequação ) Resolva, no campo dos números reais, cada uma das cinco inequações a seguir: a) 3 4 Resolução: Aplicando a primeira propriedade acima, encontramos Resolvendo o sistema de inequações temos: b) Logo: S 5 E.: Resolver a inequação ou 3 1 c) Resolvendo as equações acima, temos: 1 3 ou 1 Assim: 1 S ou 1 3 MATEMÁTICA I 33 RELAÇÕES

34 d) b) 4 e) 1 3 4) Resolver em R as quatro inequações a seguir. a) c) 5 6 CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG CAMPUS OURO PRETO

35 d) ) Resolver em R a inequação (Esta questão está resolvida na seção RESPOSTAS) MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES

36 44) Resolver em R a inequação ) Resolver em a inequação CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG CAMPUS OURO PRETO

37 RESPOSTAS 01) a) a) b) c) b) Para encontrar os pontos de imagem 4, devemos resolver as equações: (1) De (1), temos 1 = -3 e = Mas -3 não convém De () temos = -6. Assim e -6 tem imagem 4. d) 03) 4 04) 05) a) 4 d) 1-5 b) 18 e) 7 c) 9-4 f) 3 5 0) Resolução MATEMÁTICA I 37 RELAÇÕES

38 06) a) 3 c) b) 1 1 1) 07) a) 3 c) 5 se 5 5 se 5 b) 3 1 D = e Im = + 08) a) 7 c) 3 1 b) 3 13) 09) a) 1 c) 3 10) Verdadeiras: a, b, d, f Falsa: c, e 11) a) D = e Im = + b) D = e Im = + c) D = e Im = + D = e Im = - CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG CAMPUS OURO PRETO

39 14) 17) D = e Im = + 15) D = e Im = + 18) D = e Im = + 16) 19) D = e Im = + D = e Im = + D = e Im = + MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES

40 0) 3) D = e Im = [-3; ) D = e Im = [-3; ) 1) 4) D = e Im = [-3; ) 5) D = e Im = [3; ) ) D = e Im = + 6) D = e Im = [-3; ) D = e Im = + CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG CAMPUS OURO PRETO

41 7) 30) 13 D = e Im = [ ; ) 3 D = e Im = [-1; ) 31) 8) D = e Im = [-1; ) 3) D = e Im = [4; ) 9) D = e Im = + 33) 3 D = e Im = [ ; ) D = e Im = [; ) 34) MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES

42 35) D = e Im = [-; ] 38) a) S 1, 5 1 b) S 1, 3 5 c) S 4 d) S S 1, 1,, e) f) S,,, 3 S 1, 3 g) 36) D = e Im = [-1; ) 39) 3 1 a) S, 4 1 b) S, 3 S 6, 1, 1, c) 4 d) 3 1 S,, ) D = e Im = + 40) 1 a) S 3 b) S S, 4 S 13, c) d) 6 e) S ; 3 4 f) S ; 3 D = e Im = [; ) 41) a) S 3 S 1 b) CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

43 1 c) S d) S 3 S 1 ou e) Portanto, a solução da inequação proposta será: S S 1 S Ou seja: S 4) a) S b) S c) S d) S 1 ou 3 4 ou 1 ou 3 1 ou 3 ou 6 1 ou 5 44) S 3 45) S 5 43) (Resolução) 1 se 1 Sabendo que 1, 1 se 1 devemos considerar duas situações: 1ª situação: Assim, a solução desta primeira parte é S 1 1 ª situação: Logo, temos como S, 1 8 S MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES

44 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição, RUBIÓ, Angel Pandés; Matemática e suas tecnologias; Volume 1. São Paulo, IBEP, 005. PAIVA, Manoel; Matemática; Volume 1. São Paulo, Moderna, Links dos vídeos sugeridos Pág. 7: vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/funcaomodular/ Pág. 8 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoesmodulares-p1/ Pág. 3 parte 3 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoesmodulares-p3/ parte 4 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoesmodulares-p4/ parte 5 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoesmodulares-p5/ CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG CAMPUS OURO PRETO