Matemática A Extensivo V. 1

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1 Etensivo V Eercícios 0) a) b) c) d) e) Indeterminação f) g) 6 h) 6 i) 6 a) b) c) () ( )( )( ) ( ) vezes d) (00) 0 e) 0 0 Indeterminação f) g) ² 6 h) ()² ()() 6 i) ² 6 0) a) Verdadeiro b) Falso c) Verdadeiro d) Falso e) Verdadeiro f) Falso g) Falso h) Verdadeiro a) Verdadeiro a a³ a a a a b) Falso ( )² 0 Logo, ( )² c) Verdadeiro(²)³ (³) d) Falso Tome ² + ³ ² + ³ Logo, e) Verdadeiro(²y )³ ³(²)³ (y )³ 6 y f) Falso ³ 0 0 (²) 0 0 Logo, 0 g) Falso h) Verdadeiro 0) A 0 a + a b + a + a a b ) E + + 0, M M 0) E 06) D + M + M + M M I Verdadeira Por definição: + II Verdadeiro () ( ) III Falso + + Por eemplo, para : n + n n n + n n n ( ) n

2 0) D 0) E 0) E a b a b a a m b b n ou m n I Falso 0 0,0 II Falso Tome n () n n ()² ² (Absurdo) III Falso ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) a + + a 6 ( a ) ( a ) ( a ) a + a 6 a 6 a 6 + y, y y y 0, +, + 0,, 0,, 0,, 0,, 0, + 0,, 0, +, (, )( 0, ) 0,, (, ) ( 0, ) + (, )( 0, ) (, )( 0, ) (, ) ( 0, ) (, )( 0, ), (, ) ( 0, ) 0) D A a b a b a b ( )( ) a b( a b )( a b) A a b a b a b a b a b a b A a + b + a + + a b a A a b a b A a + b A a 0 b A b A ( 0 ) A 0 6 ) E b b + y e y + y + y y +, elevando-se ao y quadrado ambos os membros da equação, temos: y + y ² 6y² + ( y) y + y 6y² + + y (y)² + y (y)² + y y ² + y ) a), 0 km b), 0 0 kg c),6 0 C d),0 0 m/s e),0 0 mm ) C ) D a) km, 0 km b) kg, 0 0 kg c) 0, ,6 0 C d) m/s,0 0 m/s e) 0, mm,0 0 mm 00 bilhões ,0% 0,000 0,0% de 00 bilhões 0, A capacidade do reservatório: 0 m³ de água, ou 0 0 m³ 0 litros Vazão do Rio Amazonas: 0 milhões de litros por segundo, ou / s Dividindo a capacidade do reservatório pela vazão, obteremos a quantidade de segundos necessária para que o Rio Amazonas lance no oceano um volume equivalente à capacidade do reservatório 0 0, 0 0 s, ou segundos 0 Como uma hora possui 600 segundos, basta dividir por 600: 0 000, 600 ) B Logo, o tempo necessário será pouco mais do que horas Errata Considere que é preciso calcular o peso em toneladas, não em quilogramas trilhão toneladas reais Basta aplicar a regra de três: 0 0 0

3 6) D , T K 0 n, com K 0: Primeiro podemos trabalhar o lado esquerdo da equação: 6 ( ) 6 ( ) 0 Observe que necessitamos que o lado esquerdo da equação tenha a forma k 0 n com sim, ainda precisamos trabalhar 0 Observe: ( ) Logo, k 0 K 0 n n 0 0 n ) A ) B litro dm litro dm 0 6 mm mm³ milhões de glóbulos vermelhos 0 6 dm glóbulos vermelhos por litro de sangue Como são ao todo, litros, logo:, 0, 0, 0 glóbulos vermelhos,, 0 α 0 k α, e k α + k, +, a) ( ) 6 b) [ ] 6 c) ( ) [ ] 6 d) [ ] [ ] 6 e) [ ] 6 ) 0 0) C a (0,0) (0 ) 0 0 b (0,) 0 (0 ) c (0,00) (0 ) 0 a b 0 0 c Utilizando as propriedades com bases diferentes: Observação: + y Considere y: 6 y y ) D ) C a b 0 0 km 0 6 mm segundos ) A ) D , 0 + 0, 0 + 0,0 0, 0, 0,0 00 a + a 0 a + 0 a a + a + a a 0 a + + a 00 a + a 00 a + a

4 ) A 6) E a) ( ) b) 6 ( ) c) d) 6 ( ) e) 0 ( ) Para calcular o algarismo das unidades de identificamos primeiro: 6 ( 0 ) unidade unidade Algarismo da unidade de 0 O mesmo é válido para : é 6, pois, 6, 6, 0 e os algarismos das unidades são para epoente par e 6 para epoente ímpar Logo, o algarismo das unidades de é 6 6 ) a) V b) V c) F d) V e) F f) V a) Verdadeira b) Verdadeira c) Falso 6 6 d) Verdadeira e) Falso f) Verdadeira ( ) ( ) ) C ) B + 0, + + n n n ) B m, ( ) 6, 0 Obs:, 0 0 m m ) C ) ( ) ( ) 0 ( ) ) D 0) D 0, 0, 06 : 00, + 0, 0, 0, , 0,0 + 0, 0, ( )

5 ) C 6) E 0 ( + ) ( 0 + 6) ) a) b) c) d) a) E 6 E ( ) E 0 + E b) E E E + + E E ( ) + 6 c) E E E + E + E ) D ) 0 d) E E 0 ( ) ( ) E E ( + ) 0 0 Incorreto 6 ( + 6)( 6) Correto ( + ) ( ) ( + ) ( + )( ) 0 Incorreto Suponha que a igualdade abaio seja verdadeira + (elevando ambos os lados ao quadrado) ( + )² ( )² (Absurdo) Portanto, + 0 Correto Correto () + 6 Incorreto Correto 6 0, 6 0, 6 6 6

6 0) Falso Suponha que < + (elevando ambos os lados ao quadrado) ( )² < ( + )² < + + < < < (elevando ambos os lados ao quadrado) ()² < ( )² 6 < 6 6 < (Absurdo) ) a) b) b b c) ) E a) b) b b b b b b b b b b b b 6 6 c) ( ) + + ( ) 6( ) ( + )( ) 6 ( ) ( ) ) B ( + ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ) D? ) B ) E ( ) ) E ( ) ( + ) ( + )( ) + ( + + ) ( + )( ) + ( + )( ) ( + ) ( + ) ( ) Como a + b c

7 ) 0 Falso + + ( ) Verdadeiro 0 ( ) 0 Verdadeiro, 0, 0,, a b Falso Trabalhe os números negativos: a b Obviamente que a > b, pois > Mas observe o que acontece quando elevamos esses números ao quadrado ( ) ( ) Logo, >, isto é, b > a 6 Verdadeiro ( ) + ( ) ) B A B C A B 0 6 A+ C AC a + b a, b Portanto, a + b 0) E I + + : Verdadeiro + + A B C A B C C C II + + : Verdadeiro A + B C A B + + A+ C AC III + + : Falso A + B C A B A+ C AC ) a) S { } b) S {} c) S {} d) S e) S

8 f) S {} g) S {(, )} h) S, i) S, j) S {, } a) ( + ) S { } b) ( ) 6 ( ) S {} c) { [ ( )]} { [ + ]} { + 6 } S {} d) + 6( ) + ( ) S e) + 0( ) ( + ) 6 ( ) S f) ( ) + ( ) S {} g) y 0 + y () y 0 (+) + y y 0 y 0 y S {(, )} + y h) y 6 + y / + y / y y 6 y S {(, )} (+) i) + y () 6 + y 6 y y (+) y y + y + S,

9 ) B + y j) + y 6y + 6y +y ( ) + y + y y 6 y S {(, )} +,0,0, km ( ) ( ) (+) ) D ( 0,) + +,0 0, + 0 +,0,0 + 0,0, 0 0,6 6) Feijão armazém: 0,6,0 : quantidade de objeto, +,,,,,,,,, peças ) B ) D ) D ( + 6) ( + ) Se k : a) k ( ) b) k ( ) c) k d) k ( ) e) k ) E + Igualmente verdadeira para qualquer S R 0, 0, 000,, 0, 0, 0, 00 0, 0,00 0, ) B caneta: 00 n lapiseira: 00 n + 00 // 00 // n n+ n n + n n + n Canetas: Lapiseiras: + 6

10 60) E Torneiras: A enche do tanque de minuto B enche do tanque de minuto B + : + A minutos: min 6) E Tempo total: minutos + y ( ) + y y y y y ( ) + y + y (+) y y 0 y y 0 y 0 y y 6) E y ( ) 0 + y ( ) 0 6y 0 + 6y (+) y 0 y 0 y y y y / / y 6) pontos Seja a: total de pontos da equipe A b: total de pontos da equipe B a b a + b () i a () ii b Portanto, + y 0 0 Substitiunodo (i) em (ii), obtemos: + b b ( + b) b 6 + b b 6 b b 0

11 6 b b 6 b pontos Substituindo b em (i), temos: a + a 6) anos 6) E Seja: : idade do filho y: idade do pai + y y i () y+ ( + ) () ii Substituindo (i) em (ii), temos: y + ( y + ) y + ( y) y + y y + y y y y Logo, o pai terá + anos a + b 0 a 0 b (a )(b ) Ab a b + 6 Ab a b 6 (0 b) b (0 b) b 6 0b b 0 + b b 6 b 0b + 0 b' b'' 6 Logo, o mais velho tem 6 anos 66) Total de questões 00 Pontuação estudante 0 Questões certas: Questões erradas: 00 Ganha dois pontos se acerta, e perde um ponto se erra (00 ) ) Número de espigas sertanejo Número de espigas burro y + y y ( ) + 6 y+ y+ y ( ) y 6 + y (+) y y 0 y 0 y y 6 6) a) A confeitaria não é capaz de produzir kg de bolo do tipo A e kg de bolo do tipo B b) Devem ser produzidos, kg de bolo do tipo A e kg de bolo do tipo B Dados: Total: 0 kg de açúcar + 6 kg de farinha kg A 0, kg de açúcar e 0, kg de farinha kg B 0, kg de açúcar e 0, kg de farinha a) kg A 0, kg açúcar kg A A açúcar, kg kg A 0, kg farinha kg A A farinha, kg kg B 0, kg açúcar kg B B açúcar,6 kg kg B 0, kg farinha kg B A farinha, kg Portanto, Total açúcar, +,6 6, < 0 kg Total farinha, +, 6, > 6 kg Logo, não é possível produzir kg do bolo A e kg do bolo B 0, A + 0, B 0 ( ) b) 0, A + 0, B 6 ( ), A 06, B 0 + 0, A 06, B (+) 0,A A, kg

12 6) E 0) B 0,A + 0,B 0 0,(,) + 0,B 0 + 0,B 0 0,B B kg Portanto, serão produzidos, kg do bolo A e kg do bolo B Filho: Filha: y y ( y ) () ( ) Substituindo() em (): y + y y y + + Total: + kg P 0, kg Q 0, y + y 000 g ( kg) y 000 0, + y 0,, 00 0, + 0, (000 ),00 0, + 0,00 0,,00 0,0 00 g P 00 g Portanto, P 00 g ) B p vendedores c número de cidades c p 6 c p ( ) c p 6 c + p (+) 0 + p p p ) a) S {, } b) S {, 6} c) S {, } d) S, e) S {} f) S g) S {, } h) S 0, i) S {0} j) S, k) S l) S, a) 6 0 b± b ac a ( ) ± ( ) ( 6) ± + ± ± ' " S {, } b) + 0 b± b ac a ( ) ± ( ) ( ) ± ± ± 6 ' " S {,6} c) b± b ac a ( ) ± ( ) 6 6 6± ± 6 ± ' " S {,}

13 d) + 0 b± b ac a ( ) ± ( ) ± 6 6 ± 6 6 ± ' 6 " S, e) + 0 b± b ac a ( ) ± ( ) ± ± 0 ' " S {} f) + 0 b± b ac a ( ) ± ( ) ± 60 ± 0 0 Como não eiste, S ϕ (conjunto vazio) g) 0 ± S {, } h) 0 ( ) S {0, } i) S {0} ) A ) E j) b± b ac a ( ) ± ( ) 6 6 ± 6 ± ' " S, k) + 0 b± b ac a ( ) ± ( ) ± 6 6 ± 0 S l) 0 ± ± S, + b + c 0 Soma b b Produto c c Logo: b + C p + (q ) e O valor de q é: Produto 6 p P

14 Soma: ( q) p q + p q + 6 q 6 q ) B q (k ) k + 0 Soma Produto k k k K 6) Equação: ² a b 6 c b ± a b ac Δ (6)² Δ 6 Δ ( 6 ) ± 6 ± ± + 0 Correta 0 Correta + ( + )( ) ) B 0 Correta ( + + ) 0 Correta Soma dos inversos: S i S P S b a ( 6) 6 P c a Segue, S i 6 6 Incorreta Raízes: + + b + 0 Produto ' " Como as raízes são múltiplos de, só eiste a possibilidade de serem e Logo, a soma é b b ) 0, k + k 0 a + b, a + b (a + b) ab, (k) k k k / /k k k 0, ( ) ( ) 0,

15 ) D + a + 0, em que raízes ' e " ' " (' + ) e (" + ) raízes de + p + 0 (' + ) (" + ) ' " + ' + " + + ' + " + (' + ") (' + ") De + a + 0, temos: 0) Soma: a ' + " a 0 Correta a b m c m Δ b² ac Δ (m)² m 0 m² m 0 m(m ) 0 m 0 ou m 0 m 0 Correta Equação: ² + 0 a b c b ± a b ac Δ ()² Δ Δ ( ) ± ± Maior raiz é 0 Incorreta Equação: ² + 0 a b c b ± a b ac Δ ()² Δ 6 0 Δ < 0 Não possui raiz real ) C 0 Correta Equação: ² ( + ) + 0 Substituindo na equação, temos: ² ( + ) Portanto, é raiz Substituindo na equação, temos: ( )² ( + ) Portanto, é raiz 6 Incorreta Equação: ² + a b c Δ b² ac Δ ()² Δ 6 Δ > 0 Logo, possui raiz real a² + b + c 0 Δ 0 (b) ac 0 / b² / ac b b ac b a ) C ) C c b + (a ) 0 ( + (a )) a 0 a m + a + b 0 m 0 Δ 0 raízes reais e iguais b² ac 0 a² mb 0 mb a² mb a bm a

16 ) A ² 0 S b ( ) a P c a S P ) B (k ) + k + (k + ) 0 Δ 0 raízes reais e iguais b ac 0 k (k )(k + ) 0 k (k + k k ) 0 k k + 0 k k K ± ± ± 6) C ) C K ² a + 0 b² ac 0 (a)² 0 a² 0 a² a ± ou K ² b± b ac a ± ( 0) ± + 0 ± ± ' ( B) " ( A) ( AB) ( ( ) ) ( + ) ) A ² m + 0 Raízes: A e B AB ) B ² p + q 0 Raízes: A + e B + B A q A + B B + A q A B AB q + + q + q + q Equação original: a² + b + c 0, temos: + b a c a º colega a² + k + c 0 Raízes e Então, c a c a 6 º colega a² + b + n 0 Raízes: e b a + b a + i () 6 ( ii) Substituindo (i) em (ii), temos: ( ) () Resolvendo a equação, obtemos: ( ) ou ( ) 6 6

17 0) B Para ( ), temos: 6 (não serve, pois > ) Para ( ) 6, temos: 6 (ok!) Segue, 6 6, 0 Valor para cada pessoa: 0,0 Cada homem pagou,00 a mais, ou seja, 0,0 +,0 Logo,,0 para cada homem:, 0 homens, 0 pessoas homens mulheres Havia um homem a menos que a quantidade de mulheres na mesa ) A alunos: para cada ( ) alunos: para cada + ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) + ( ) 0 ± 06 ± 6 No dia da distribuição: 6 ) C ) C a quantidade de metros de tecido b valor do metro a b ( a+ )( b ) 0 ab a + b 0 a + b 0 b a a b a(a ) a a² a 0 a" Total de tecido: a + (a + ) + ( + ) números de homens Gasto de cada homem 00 Número de mulheres 0 Gasto de cada mulher (00 6)(0 )