Estimação de Variáveis Instrumentais e Mínimos Quadrados de Dois Estágios. Wooldridge, Cápítulo 15

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1 Estimação de Variáveis Instrumentais e Mínimos Quadrados de Dois Estágios Wooldridge, Cápítulo 5

2 Variáveis Instrumentais () 2

3 Variáveis Instrumentais Considere o seguinte modelo de regressão linear múltipla y i = 0 + x i + 2 x 2i k x ki + e i 3

4 Variáveis Instrumentais Suposições a) Modelo é linear nos parâmetros e a matriz X é de b) posto completo. plim n 'X X Q c) X X admite inversa d) e) E e Var e X E e 0 X 2 I n 4

5 Variáveis Instrumentais As suposições (a), (b), (c) e (d) são necessárias para demonstrar a consistência do vetor de estimadores 5

6 Variáveis Instrumentais Hipótese Crucial E e X E e 0 Ou seja, todos os fatores contidos em e devem ser não correlacionados com as variáveis explicativas e deve ter sido usada a forma funcional correta. 6

7 Variáveis Instrumentais y i = 0 + x i + 2 x 2i k x ki + e i Suposição: E(e i x, x 2,..., x k ) = E(e i ) = 0 Como pode falhar? Omissão de Variáveis (Ignorar o problema? Usar proxy? Dados em Painel?) Erro nas Variáveis Endogeneidade 7

8 Variáveis Instrumentais y i = 0 + x i + 2 x 2i k x ki + e i Endogeneidade Uma variável explicativa, num modelo de regressão linear, que é correlacionada com o termo de erro é dita variável explicativa endógena. Problema: plim n X'e 0 8

9 Variáveis Instrumentais y i = 0 + x i + 2 x 2i k x ki + e i Dessa forma, se estimarmos o modelo de regressão linear por mínimos quadrados teremos estimadores viesados e inconsistentes para os parâmetros do modelo. 9

10 Variáveis Instrumentais Exemplo Considere o seguinte modelo de regressão I h = 0 + educ h + 2 filhos h + 3 renda h + e i I h indicador de saúde do h-ésimo domicílio educ h educação do chefe da família do h-ésimo domicílio filhos h número de filhos no h-ésimo domicílio renda h renda do h-ésimo domicílio número de filhos é uma decisão endógena, pode depender de diversos fatores 0

11 Variáveis Instrumentais Exemplo 2 Considere o seguinte modelo de regressão salário i = 0 + educ i + 2 x 2i k x ki + e i plim educ'e n 0 Quais seriam os motivos desta violação? Possíveis soluções?

12 Variáveis Instrumentais y i = 0 + x i + 2 x 2i k x ki + e i Solução Uso de variáveis instrumentais 2

13 Variáveis Instrumentais Considere o modelo y i = 0 + x i + e i () com Cov(x, e) 0 3

14 Variáveis Instrumentais Mas, suponha que tenha sido observada uma variável z que satisfaça a duas suposições: (a) z é não-correlacionada com e, isto é, Cov(z, e) = 0 z é exógena em () (b) z é correlacionada com x, isto é, Cov(z, x ) 0 Como testar tais suposições? 4

15 Variáveis Instrumentais Do exposto, chamaremos z de variável instrumental para x. 5

16 Variáveis Instrumentais Em termos matriciais: (a.) plim n Z' e 0 (b.) plim n Z'X Q ZX Z X - Matriz de Instrumentos - Matriz de Explicação 6

17 Variáveis Instrumentais Voltando ao Exemplo 2 Considere o seguinte modelo de regressão salário i = 0 + educ i + 2 x 2i k x ki + e i Devemos procurar uma variável correlacionada com educ e não-correlacionada com habilidade (que está no termo de erro e é correlacionada com educ) Possíveis instrumentos? 7

18 Variáveis Instrumentais O método de estimação com o uso de variáveis instrumentais () é mais geral do que OLS; OLS é um caso particular de, uso as variáveis explicativas como instrumentos delas mesmas. 8

19 Variáveis Instrumentais Considere o modelo de regressão linear geral y X e Pré multiplicando a equação anterior pela transposta da matriz de instrumentos, temos que: Z'y Z'X Z'e 9

20 Variáveis Instrumentais Multiplicando a equação anterior por n -, vem que: n Z'y Z'X n n Z'e e tomando o limite de probabilidade em ambos os lados da igualdade, temos que: plim n Z'y plim n Z'X n Z'e plim n Z'y plim n Z'X plim n Z'e 20

21 2 Variáveis Instrumentais (cont.) Z'y Z'X Z'y Z'X Z'y Z'X Z'e Z'X Z'y plim plim plim plim plim plim plim plim n n n n n n n

22 Variáveis Instrumentais Assim, Z'X Z' y Que é um estimador consistente! 22

23 Variáveis Instrumentais Observações (i) Admitindo a validade das suposições (a.) e (b.), o vetor de estimadores gerado com o uso de variáveis instrumentais é consistente. (ii) Para estimar o vetor de parâmetros, precisamos garantir que a matriz Z X admite inversa. Logo, se Z for uma matriz de dimensão n x L e X for uma matriz de dimensão n x (k + ), precisaremos que L = k +. (neste caso, obtenho os estimadores diretamente) 23

24 Variáveis Instrumentais Observações (cont.) iii. Faremos, ainda, uma suposição adicional de que a variável instrumental z seja fortemente correlacionada com a variável endógena x. (suposição ligada ao fato do uso de instrumentos fracos) iv. De (iii) conseguimos garantir que o método de estimação proposto apresenta bom desempenho com amostras finitas. Leitura: Wooldridge (2003, p ) 24

25 25 Variáveis Instrumentais ' E Var Z'e Z'X Z'e Z'X Z'e Z'X Z'X Z'X e X Z' Z'X Z'y Z'X Mas,

26 26 Variáveis Instrumentais ' E Var Z X Z ee Z' Z'X Z X Z Z'ee Z'X ' ' E Var ' ' E Var ' E Var Logo,

27 27 Variáveis Instrumentais ' E Var 2 Z Z'Z X Z'X ' Var Se a suposição de homocedasticidade for válida, então, e 2 Z Z'Z X Z'X ' Var X y X y 'e e ' n n 2 com

28 28 Variáveis Instrumentais ' E Var Caso contrário, 2 Z Z'Ω Z X Z'X ' Var

29 Variáveis Instrumentais É possível provar que n a N 0 2, Q ZX Q ZZ Q XZ 29

30 Variáveis Instrumentais Exemplo Considere o modelo de regressão linear geral y X e em que X i x x 2 x 3... x k Desconfia-se que as variáveis x e x 2 sejam endógenas. 30

31 Perguntas: Variáveis Instrumentais Exemplo (cont.) (a) Poderíamos propor o mesmo instrumento para ambas as variáveis? Discuta as implicações no método de estimação. (b) Haveria algum problema no caso em que fossem propostos exatamente um instrumento diferente para cada variável? (c) Poderíamos propor mais de um instrumento para cada variável endógena? (d) De acordo com o enunciado de (c), como ficariam as dimensões das matrizes Z e X? (e) Admitindo a validade de (c), seria possível gerar diretamente o vetor de estimadores? 3

32 Variáveis Instrumentais Exemplo (cont.) Solução para o que foi discutido em (c), (d) e (e): 2SLS (mínimos quadrados em dois estágios) 32

33 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Inicialmente devemos construir a matriz de instrumentos Z. As variáveis que são exógenas serão consideradas instrumentos delas mesmas. Isso feito, o. Estágio: Regredir cada variável explicativa do modelo original em função dos instrumentos (estimação das formas reduzidas) e gerar uma matriz de valores ajustados em cada um das regressões; 2o. Estágio: Estimar o modelo para a variável resposta em função dos valores estimados para as variáveis explicativas. 33

34 Mínimos Quadrados em Dois Estágios o. Estágio: X Z π υ Obter Onde X π Z π Z' Z ' Z X 2o. Estágio: y X e 34

35 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Temos que no primeiro estágio que: π Z' Z ' Z X Assim, Z π Z Z Z X ' Z' X HZ X 35

36 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Sabemos, do 2o. estágio, que: Mas, Logo, X'X 2SLS Z π Z Z Z X X'y X'X 2SLS X'H Z X'y ' Z' X H 'H Z X X'H Z 'y Z X X'H Z X X'H Z 36 'y

37 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Do exposto, 2SLS X'H Z X X'H Z 'y Mas, 2SLS X'H Z X X'H Z ' X e X'H Z X X'H Z 'e Logo, 2SLS X'H Z X X'H Z 'e 37

38 38 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Z Z Z Z X X'H X H ee X'H X X'H 2SLS ' E Var Assim, Pode ser expressa como, ' 2SLS 2SLS 2SLS E Var

39 39 Mínimos Quadrados em Dois Estágios 2 2 Z X X'H SLS Var Se a suposição de homocedasticidade for válida, então, e 2 2 Z X X'H Var SLS 2SLS 2SLS X y X y 'e e ' n n 2 com

40 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Caso contrário, Var 2 SLS X'H Z X X'H Z Ω H Z X X'H Z X 40

41 Mínimos Quadrados em Dois Estágios É possível provar que a 2SLS 2SLS N, Var 4

42 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Problemas Mesmo quando Corr(z,e) = 0, onde é consistente, ainda podemos ter problemas: ) pode ser bem mais ineficiente que OLS; 2) A distribuição de probabilidades do estimador usando, no caso de amostras finitas, pode ser bem diferente da distribuição de probabilidades assintótica. 42

43 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Teste de Endogeneidade O estimador de 2SLS é menos eficiente que o de OLS quando as variáveis explicativas são exógenas. Assim sendo, se torna útil fazer um teste de endogeneidade de uma variável explicativa que mostre se a utilização de 2SLS é necessária. 43

44 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Considere o modelo Teste de Endogeneidade y = 0 + y z + 3 z 2 + e () em que y 2 variável endógena z e z 2 variáveis exógenas 44

45 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Teste de Endogeneidade Fatos. Se y 2 for não correlacionada com e, então, devemos estimar os parâmetros do modelo por OLS (mais eficiente). 2. OLS e 2SLS fornecem estimadores consistentes se a condição de exogeneidade estiver satisfeita. 45

46 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Teste de Endogeneidade HAUSMAN (978), sugeriu fazer uma comparação direta das estimativas de OLS e 2SLS e determinar se as diferenças são estatisticamente significantes. Se as estimativas geradas por OLS e 2SLS diferirem de forma significante, concluímos que y 2 deve ser endógena (supondo z e z 2 exógenas). 46

47 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Teste de Endogeneidade ) Estime a forma reduzida de y 2, regredindo y 2 sobre todas as variáveis exógenas (inclusive aquelas da equação estrutural e as s adicionais). 2) Obtenha os resíduos. 3) Estime a equação estrutural, por OLS, utilizando os resíduos, obtidos em (2), como variável explicativa. Se o parâmetro associado ao resíduo for estatisticamente significante, concluiremos que y 2 é endógena. 47

48 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Teste de Restrições Sobreidentificadoras Suponha que em nosso modelo apareça somente uma variável explicativa endógena: Se tivermos somente uma única, não teremos restrições sobreidentificadoras. Neste caso, não haverá nada que possa ser testado Se tivermos somente duas s, teremos uma restrição sobreidentificadora. Se tivermos três s, teremos duas restrições sobreidentificadoras, e assim por diante. 48

49 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Teste de Restrições Sobreidentificadoras ) Estime a equação estrutural por 2SLS 2) Obtenha os resíduos. 3) Regrida os resíduos em função de todas as variáveis exógenas. 4) Obtenha o R 2 (coeficiente de explicação). 5) Sob a hipótese nula de que todas as s são não correlacionadas com o erro, nr 2 2 q q número de variáveis endógenas. 49

50 Mínimos Quadrados em Dois Estágios Teste de Restrições Sobreidentificadoras Rejeitar a hipótese nula significa que pelo menos uma das s não é exógena. 50