Econometria para Avaliação de Políticas Públicas

Transcrição

1 Aula 3: LATE Itaú Social 13/01/2016

2 Auto-seleção nos não-observáveis. Como estimar o ATE quando Pr [T = 1jY (1), Y (0), X ] 6= Pr [T = 1jX ] = p (X ) Na literatura econométrica, tem-se um problema equivalente: Y i = α + β T i + ɛ i T i = 1 fγ + δ Z i + η i 0g Cov (η i, ɛ i ) 6= 0, Cov (Z i, ɛ i ) = 0

3 A principal diferença está em que o modelo anterior impõe efeitos constantes β i = β 8i e single-index model no primeiro estágio. Mostraremos aqui como interpretar e identi car β como sendo ATE para uma subpopulação particular. Precisamente, β será o ATE para aqueles indivíduos para quem um instrumento Z afeta apenas numa direção a probabilidade de tratamento. Esse parâmetro é chamado de LATE (local average treatment e ects).

4 Objetivos Como interpretar os estimadores de variáveis instrumentais permitindo que o efeito da variável endógena seja heterogêneo? Idéia: Os estimadores de variáveis instrumentais geralmente estimam o efeito médio do tratamento, com a média dependendo da escolha do instrumento. Por que estimar um efeito heterôgeneo é importante?

5 Validade de uma estratégia empírica (research design) Validade Interna: se dada estratégia conseguiu obter (identi car e estimar) os efeitos causais de interesse para certa população. : Boa variável instrumental ou um experimento aleatório Validade Externa: se o valor encontrado para o efeito é válido em contextos diferentes daquele estudo Exemplo: experimentos aleatórios tem geralmente pequena validade externa. Um instrumental econometrico com efeito heterôgeneo nos ajuda a ter uma idéia da validade interna e externa das estimativas baseadas em variáveis instrumentais.

6 A questão da identi cação Com efeitos de tratamento heterogêneos, endogeneidade cria graves problemas para a identi cação de média populacionais. Para estimar o efeito populacional médio causal, precisamos de hipóteses fortes sob o efeito do instrumento na variável endógena: do efeito do tratamento é constante. Sem esta hipóteses, só identi camos efeitos médios para subpopulações que são induzidas pelo instrumento a ter uma mudança no valor das variáveis endógenas.

7 Terminologia Compliers: subpopulações que são induzidas pelo instrumento a ter uma mudança de comportamento na variável endógena. Efeito local médio do tratamento (LATE): efeito médio do tratamento que é pontualmente identi cado para esta subpopulação de compliers. Idéia: Como se uma subpopulação fosse alocada ao tratamento, mas somente uma parte dos indivíduos de fato participam do programa. Para sabermos o efeito médio do tratamento para outras populações, temos que extrapolar.

8 Terminologia Compliers: subpopulações que são induzidas pelo instrumento a ter uma mudança de comportamento na variável endógena. Efeito local médio do tratamento (LATE): efeito médio do tratamento que é pontualmente identi cado para esta subpopulação de compliers. Idéia: Como se uma subpopulação fosse alocada ao tratamento, mas somente uma parte dos indivíduos de fato participam do programa. Para sabermos o efeito médio do tratamento para outras populações, temos que extrapolar. Com o LATE, podemos separar quais são as hipóteses necessárias para fazer a extrapolação para outras subpopulações. Aprender sobre a validade externa vs validade interna das estimativas.

9 O que zeram até o momento.. Vamos começar com o caso em que a variável endógena é binária (o efeito de ser veterano sob a renda). A relação causal que gostaríamos de estimar é: Y i = β 0 + β 1 D i + ε i D i : variável endógena Y i : variável explicativa Z i : vetor de instrumentos Assumimos que Z i é relacionado com D i e satisfaz a hipótese de identi cação, E [ε i Z i ] = 0. D i = π 0 + π 1 Z i + ν i Para entender o LATE, vamos usar uma notação um pouco diferente.

10 Resultados Potenciais: Y i (0): resultado se a pessoa i não serviu o exército, independente se a pessoa serviu ou não. Y i (1): resultado se a pessoa i serviu o exército, independente se a pessoa serviu ou não. D i : valor realizado para a variável endógena, 0 ou 1. Observamos D i e Y i = Y i (D i ) = Yi (1) se D i = 1 Y i (0) se D i = 0

11 Z i : variável instrumental binária (ex: se a pessoa teve um número baixo na loteria) D i (0) : o valor da variável endógena se a pessoa teve o número alto na loteria, independente dela ter tido ou não. D i (1) : o valor da variável endógena se a pessoa teve o número baixo na loteria, independente dela ter tido ou não. O valor realizado da variável endógena: Di (1) se Z i = 1 D i = D i (Z i ) = D i (0) se Z i = 0

12 Na nossa base de dados, observamos a tríplice: Z i D i (Z i ) Y i = Y i (D i (Z i ))

13 Hipótese 1: Indepência Interpretação: Z i? (Y i (0), Y i (1), D i (0), D i (1)) O instrumento é tão bom quanto se eles fossem aleatoriamente alocado, i.e, ele é independente do vetor de resultados potenciais e do vetor de tratamentos potenciais. O instrumento não tem um efeito direto no resultado de interesse. Esta hipótese não é consequência de Z ser aleatoriamente alocado. Por que?

14 Existem 4 resultados potenciais Y i (z, d) que é o resultado potencial que seria observado se o instrumento fosse Z i = z e o tratamento D i = d. Podemos reescrever esta hipótese de independência como a combinação de duas outras hipóteses.

15 Hipótese 2: Alocação Aleatória Z i? (Y i (0, 0), Y i (0, 1), Y i (1, 0), Y i (1, 1), D i (0), D i (1)) Hipótese 3: Restrição de Exclusão Y i (d, z) = Y i (d, z ) para todo z, z, d

16 Hipótese 2 Esta hipótese vem da variável instrumental ser alocada de forma aleatória. Ela é su ciente para uma interpretação causal de Z i em D i : E [D i j Z i = 1] E [D i j Z i = 0] = E [D i (1)j Z i = 1] E [D i (0)j Z i = 0] = E [D i (1) D i (0)]

17 Hipótese 3 Não é consequência de Z i ser alocada de forma aleatória. Implica que o instrumento só opera atravé de um canal conhecido que chamamos de restrição de exclusão. De outra forma, controlando por d, Y (d, z) não é uma função de z, somente de d. Como expresamos esta hipótese anteriormente no modelo linear com efeito constante?

18 Devido a esta restrição de exclusão, podemos de nir os resultados potenciais baseados somente no status do tratamento: Y 1i Y i (1, 1) = Y i (1, 0) Y 0i Y i (0, 1) = Y i (0, 0) Neste caso, o resultado potencial pode ser escito como: Y i = Y i (0, Z i ) + [Y i (1, Z i ) Y i (0, Z i )] D i De outra forma, Y i = α 0 + ρ i D i + ε i onde α 0 E [Y 0i j D i ] e ρ i E [Y 1i Y 0i j D i ].

19 Para entender a próxima hipótese, temos que pensar no comportamento induzido pelo instrumento para cada um dos indivíduos. Como cada indivíduo responde a diferentes valores do instrumento em termos de tratamento recebido. Tipos de "compliance": D i (0) 0 1 D i (1) 0 never-taker de er 1 complier always-taker

20 Problema: Não podemos estabelecer o tipo da unidade observacional baseado no que estamos observando dado que só observamos o par (D i, Z i ) e não (D i (0), D i (1)). A informação que obtemos sobre status de tratamento/instrumento é a seguinte: Z i 0 1 D i 0 complier/never-taker never-taker/de er 1 always-taker/de er complier/always-taker

21 Hipótese 4: Monotonicidade D i (1) D i (0) para todo i Interpretação: Todas as pessoas afetadas pelo instrumento são afetadas da mesma maneira. Existem poucos indivíduos que farão o oposto do que foi alocado a eles. Sem esta hipótese, não temos garantia que os estimadores de variável instrumental estão estimando a média ponderada do efeito causal, Y 1i Y 0i.

22 Dado a hipótese de monotonicidade, a informação que podemos extrair do comportamento dos indivíduos aumenta: Z i 0 1 D i 0 complier/never-taker never-taker 1 always-taker complier/always-taker

23 π c : proporção de complies π n : proporção de never-takers π a : proporção de always-takers Podemos estimar da distribuição populacional do status do tratamento e do instrumento E [D i j Z i = 0] = π a e E [D i j Z i = 1] = π a + π c Podemos obter a proporção na população dos diferentes tipos: π a = E [D i j Z i = 0], π c = E [D i j Z i = 1] E [D i j Z i = 0] π n = 1 E [D i j Z i = 1]

24 Considere o resultado médio para cada um dos status do instrumento e do tratamento: E [Y i j D i = 0, Z i = 0] = π c E [Y i (0)j complier] π c + π n + π n π c + π n E [Y i (0)j never-taker] E [Y i j D i = 0, Z i = 1] = E [Y i (0)j never-taker] E [Y i j D i = 1, Z i = 0] = E [Y i (1)j always-taker] E [Y i j D i = 1, Z i = 1] = π c π c + π n E [Y i (1)j complier] + π a π c + π a E [Y i (1)j always-taker]

25 Destas relações, obtemos o resultado médio para os complier: E [Y i (1)j complier] e E [Y i (0)j complier]. E obtemos o efeito médio do tratamento para os compliers: β IV = E [Y i (1) Y i (0)j complier] = E [Y i (1) Y i (0)j D i (1) > D i (0)] = E [Y i (1)j complier] E [Y i (0)j complier] = E [Y i j Z i = 1] E [Y i j Z i = 0] E [D i j Z i = 1] E [D i j Z i = 0] A nossa base de dados é informativa somente para o efeito médio dos compliers. Por que a base de dados não é informativa sobre o efeito médio para os never-takers e always-takers?

26 Bloom (1984) Suponha que D i (0) = 0. Quando isso acontece? Depois somente dois tipos: compliers e always-takers. A hipótese de monotonicidade é automaticamente satisfeita. E [Y i (1) Y i (0)j complier] = E [Y i (1) Y i (0)j D i = 1] Qual é este estimador?

27 β IV = p lim b β 2SLS onde bβ 2SLS é o estimador de dois estágios. No caso de instrumentos binários, bβ 2SLS é chamado de estimador de Wald: bβ 2SLS = Y 1 Y 0 1 = T b bt bt Y T 1 T 0

28 Hipótese de Independência Condicional: Z i? (Y i (0), Y i (1), D i (0), D i (1))j X i Simplesmente para diminuir a variabilidade da variável dependente

29 Abordagem 1: MQO em dois estágios D i = π 0 + π 1 Z i + π 2 X i + ω i Y i = β 0 + β 1 D i + β 2 X i + ε i Abordagem 2: Normalidade (Heckman) Vamos pensar no modelo em duas equações: D i (z) = I fπ 0 + π 1 z + π 2 X i + ν i 0g Y i (w) = β 0 + β 1 w + β 2 X i + ε i onde (ν i, ε i ) são normalmente distribuídos. Como de nimos os quatro grupos nesta abordagem?

30 Abordagem 3: Modelar a distribuição como um todo f Y (d )jx,z (y (d)j x, z) = f (yj x, θ dz ) para (d, z) = (0, n), (0, c), (1, c), (1, d). Um modelo natural para a distribuição dos tipos é um modelo trinomial logit. Com estas duas distribuições, montamos a função de log-verossimilhança.

31 Exemplo: Efeito do serviço militar na renda Angrist (1989) Regressão Simples:

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35 MQO em dois estágios:

36 Múltiplos Instrumentos Consideres um par de instrumentos binários: Z 1i e Z 2i. Suponha que a hipótese de monotonicidade é satisfeita para cada uma destas variáveis binárias. O LATE será uma média ponderada dos estimadores de variáveis instrumentais usando Z 1i e Z 2i separadamente. Usamos um estimador de MQO em dois estágios. Primeiro Estágio: bd i = bπ 11 Z 1i + bπ 12 Z 2i

37 Múltiplos Instrumentos Segundo Estágio: Y ρ 2SLS = Cov i, bd i Cov D i, bd i = bπ 11 Cov (Y i, Z 1i ) + bπ 12 Cov (Y i, Z 2i ) Cov D i, bd i Cov D i, bd i

38 Múltiplos Instrumentos = bπ 11 Cov (D i, Z 1i ) Cov (Y i, Z 1i ) Cov D i, bd Cov i (D i, Z 1i ) {z } ρ 1 +bπ 12 Cov (D i, Z 2i ) Cov (Y i, Z 2i ) Cov D i, bd Cov i (D i, Z 2i ) {z } ρ 2 = λρ 1 + (1 λ) ρ 2 onde λ = bπ 11 Cov (D i, Z 1i ) bπ 11 Cov (D i, Z 1i ) + bπ 12 Cov (D i, Z 2i )

39 Exemplo: Retornos da Educação Angrist e Krueger (1991) Usam as regras de entrada na escola. Usam os trimestres de nascimento como vetor de instrumentos.

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41 Formas Reduzidas:

42 bβ IV = 0, , 011 = 0, 1020