Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 7

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1 em Econometria Departamento de Economia Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 7

2 O Modelo Estrutural Identificação Seja z t = (z 1t,...,z mt ) R m um vetor composto das variáveis de interesse. Considere o seguinte modelo estrutural (SVAR): Bz t = A 0 +A 1 z t A p z t p +u t, Bz t = A 0 +A(L)z t +u t, onde: B (m m), A 0 (m 1), A 1 (m m),...,a p (m m) são parâmetros; u t = (u 1,t,...,u m,t ) é um vetor composto pelos choques estruturais e A(L) = A 1 L+A 2 L 2 + +A p L p. Os elementos da diagonal principal de B são todos iguais a 1.

3 O Modelo Estrutural Identificação Sabemos que os parâmetros B,A 0,A 1,...,A p não podem ser estimados por MQO (equação por equação) ou MV. Viés de Simultaneidade! Por outro lado, os parâmetros da forma reduzida (VAR) z t = B 1 A 0 +B 1 A 1 z t B 1 A p z t p +B 1 u t, z t = C 0 +C 1 z t C p z t p +v t, z t = C 0 +C(L)z t +v t, podem ser estimados por MQO (equação por equação) ou MV (condicional às condições iniciais).

4 Exemplo: Oferta e Demanda Vamos considerar o seguinte sistema de equações: p t = βq t +u t (oferta) q t = αp t +v t (demanda), onde p t e q t são, respectivamente, preço e quantidade de um determinado produto, α 1 β, α 0, β 0 e ( ut v t ) [( ) ( )] 0 σ 2 NID, u σv 2.

5 Exemplo: Oferta e Demanda Podemos escrever o sistema anterior da seguinte forma: 1 p t = 1 αβ (u t +βv t ) 1 q t = 1 αβ (αu t +v t ). Pelas equações acima, fica claro que E(q t u t ) 0e E(p t v t ) 0.

6 Exemplo: Oferta e Demanda Qual é o limite em probabilidade do estimador T t=1 β = p tq t T? t=1 q2 t Pelas equações anteriores, podemos mostrar que E(p t q t ) = 1 ( ασ 2 (1 αβ) 2 u +βσv 2 ). Portanto, pela Lei dos Grandes Números (LGN), plim T 1 T T p t q t = t=1 1 ( ασ 2 (1 αβ) 2 u +βσv 2 ).

7 Exemplo: Oferta e Demanda Da mesma forma, e, também pela LGN, E ( qt 2 ) 1 ( = α 2 (1 αβ) 2 σu 2 +σv 2 ) plim T 1 T T qt 2 = t=1 1 ( α 2 (1 αβ) 2 σu 2 +σv 2 ). Portanto, β p ασ2 u +βσv 2 α 2 σu 2. +σ2 v O estimador de MQO não é consistente para β!

8 Exemplo: Oferta e Demanda Sabemos também que ( ) ( ) pt NID 0, 0 q t σu 2+β2 σv 2 (1 αβ) 2 ασu+βσ 2 v 2 (1 αβ) 2 ασu 2+βσ2 v (1 αβ) 2 α 2 σu+σ 2 v 2 (1 αβ) 2 Sendo ρ a correlação entre p t e q t, podemos mostrar que E(p t q t ) = E(p t )+ρ σ p[q t E(q t )] σ q = E(p tq t ) σ p q t = E(p tq t ) σ q σ p σ q = ασ2 u +βσ2 v α 2 σu 2 +σv 2 q t. σ 2 q q t

9 Exemplo: Oferta e Demanda Também podemos mostrar que q t não é uma variável fracamente exógena para β! Da mesma forma, p t não é fracamente exógena para α.

10 Forma Estrutural versus Forma Reduzida Será possível recuperar (identificar) os parâmetros estruturais a partir dos parâmetros da forma reduzida? Sabemos que C 0 =B 1 A 0, C 1 =B 1 A 1,. C p =B 1 A p, e Σ v =B 1 Σ u ( B 1 ).

11 Forma Estrutural versus Forma Reduzida Precisamos encontrar B! Número de parâmetros na forma reduzida: m(1+pm)+ m(m+1). 2 Número de parâmetros na forma estrutural: A forma estrutural tem parâmetros a mais. m(m 1)+m(1+pm)+m. m(m 1) 2

12 Restrições Identificação Precisamos impor m(m 1) 2 restrições. Algumas alternativas: 1 B é uma matriz triangular inferior (superior): Decomposição de Cholesky ou identificação recursiva. 2 Restrições de longo-prazo: alguns choques não tem impacto no longo-prazo em algumas variáveis (). 3 Variáveis instrumentais. 4 Outras possibilidades: restrições de sinal, teoria (DSGE), etc...

13 Decomposição de Cholesky Para toda matriz simétrica e positiva definida Ω, há uma única matriz triangular P, tal que Ω = PP. Os elementos da diagonal principal de P são todos positivos.

14 Pela Decomposição de Cholesky, Σ u = PP. Entretanto, podemos escrever P = AD 1/2, onde A é uma matriz triangular com os elementos da diagonal principal iguais a 1 e D é uma matriz diagonal com elementos positivos. Portanto, Σ u = ADA.

15 Vamos lembrar que Podemos escrever então, Σ v = B 1 Σ u ( B 1 ). A B 1 e Σ u D. B também será uma matriz triangular. A inversa de uma matriz triangular também é triangular! O sistema está unicamente identificado. Foram impostas m(m 1) 2 restrições.

16 é uma Boa Escolha? Resposta: Carlstrom, Fuerst e Paustian (Journal of Monetary Economics, 2009). Considere o seguinte modelo estrutural: R t E t (π t+1 ) = σ[e t (y t+1 ) y t ]+P(ρ a 1)a t π t (1+β) = βe t (π t+1 )+π t 1 +κy t +ε π t R t = (1 ρ i )(τπ t +τ y y t )+ρ i R t 1 +ε R t, onde: a t : choque de produtividade (autocorrelacionado); y t : hiato do produto; π t : inflação; R t : taxa de juros nominal e ε π t e ε R t : choques estruturais.

17 é uma Boa Escolha? Os choques exógenos possuem a seguinte estrutural: ε π t ε π t 1 u π t ρ π 0 0 a t = F a t 1 + u a ε R t ε R t, F = 0 ρ a 0. t 1 ut R 0 0 ρ R Caso τ > 1, é possível mostrar que π t π t 1 ε π t a 1 0 e 1 y t = Γ y t 1 +B a t, Γ = a 2 0 e 2, R t R t 1 ε R t a 3 0 e 3 b 1 c 1 d 1 B = b 2 c 2 d 2. b 3 c 3 d 3

18 é uma Boa Escolha? O sistema de equações anterior pode ser escrito como um VAR de segunda ordem: π t π t 1 π t 2 u π t y t = A 1 y t 1 +A 2 +B, R t R t 1 onde: A 1 = Γ+BFB 1 e A 2 = BFB 1 Γ. Decomposição de Cholesky: π t y t = A 1 R t π t 1 y t 1 R t 1 +A 2 π t 2 y t 2 R t 2 y t 2 R t 2 u a t u R t b 1e b 2e c 2e 0 b 3e c 3e d 3e }{{} B ϕ π t ϕ a t ϕ R t.

19 é uma Boa Escolha? Resultado Suponha que os choques estruturais tenham variância unitária. A decomposição de Cholesky identifica os choques monetários como uma combinação linear dos três choques estruturais: onde: α 1 = c1d1 c1d2 Φ ; Φ ; ϕ R t = α 1 u π t +α 2u a t +α 3u R t, α 2 = d2b1 d1b2 α 3 = b2c1 b1c2 Φ e Φ = (c 2 d 1 c 1 d 2 ) 2 +(d 2 b 1 d 1 b 2 ) 2 +(b 2 c 1 b 1 c2 2).

20 é uma Boa Escolha? Resultado II Suponha que 1 ρ a = ρ i e ρ R = 0 ou 2 ρ a = ρ R e ρ i = 0. Logo: 1 a inflação e o hiato não respondem às taxas de juros defasadas; 2 a inflação e o hiato não respondem contemporaneamente ao choque monetário identificado; 3 sob a decomposição de Cholesky, as FRIs da inflação e do hiato para um choque monetário são zero para todos os instantes de tempo!

21 é uma Boa Escolha? Exemplo numérico: β = 0.99, κ = , σ = ν = 1, τ = 1.5 e τ y = 0.5. Fig. 1. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rr=0, rp=0. The dashed line is the IRF identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays. Fig. 2. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.9, ri=0.8, rr=0, rp=0. The dashed line is the IRF identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.

22 é uma Boa Escolha? Fig. 3. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rr=0.4, rp=0. The dashed line is the IRF identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays. Fig. 4. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and r a=0.9, r i=0.8, r R=0.4, rp=0. The dashed line is the IRF identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays. Fig. 5. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and r a=0.7, r i=0.8, r R=0, rp=0.95. The dashed line is the IRF identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.

23 O Modelo-AB Identificação Vamos escrever o modelo estrutural da seguinte forma: Bz t = A 0 +A 1 z t A p z t p +u t, Bz t = A 0 +A 1 z t A p z t p +Ae t, onde E(e t e t) = Σ e = I m. Agora A pode não ser mais diagonal. No entanto, precisamos restrições em A e/ou B de forma a identificar os parâmetros do modelo estrutural.

24 O Modelo-A Identificação Vamos escrever os erros da forma reduzida em função dos erros do modelo estrutural: v t = Ae t, B = I m. Os erros de previsão são combinações lineares dos erros estruturais. Portanto, Σ v = AΣ e A = AA. Devemos lembrar que o número de equações é m(m+1)/2 e o número de parâmetros é m 2. A solução usual é escolher A pela decomposição de Cholesky.

25 O Modelo-A Identificação As restrições podem ser escritas da seguinte forma: R A vec(a) = 0, onde R A (N m 2 ) é uma matriz de seleção e N é o número de restrições. No nosso caso N = m(m 1)/2.

26 O Modelo-A Identificação Teorema: Identificação Local do Modelo-A Seja A uma matriz (m m) não-singular. Então, para uma determinada matriz (m m) Σ v, simétrica e positiva definida, e uma outra matriz (N m 2 ) R A, o sistema Σ v = AΣ ua R A vec(a) = 0, possui uma solução única local se, e somente se, [ ] 2D + posto m (A I m) = m 2. D + m = (D md m) 1 D m e D m é uma matriz de duplicação (Duplication Matrix). R A

27 O Modelo-A Identificação Matriz de Duplicação ( ) Uma matriz de duplicação D m é a única matriz m 2 m(m+1) 2 que, para qualquer matriz (m m) A simétrica, transforma vech(a) em vec(a). Exemplo: Seja Logo, A = ( ) a b. b d a a b = b b. d d

28 O Modelo-A Identificação Uma condição necessária para que a condição de posto seja válida é que N = m(m 1)/2. Por que a solução é local? Porque para toda solução A, A também será solução! No caso da Decomposição de Cholesky este problema está resolvido pois os elementos da diagonal principal são positivos.

29 O Modelo-A Identificação A prova do teorema anterior pode ser feita a partir dos resultados de Rothenberg (1971, Teorema 6 - Econometrica, 39, ). Basicamente, para uma função m-dimensional ϕ(x), o sistema ϕ(x) = 0 terá solução local única se, e somente se, [ ] ϕ(x) posto x = m. x=x0

30 O Modelo-B Identificação Vamos escrever os erros da forma estrutural em função dos erros da forma reduzida: Portanto, u t = Bv t. Σ u = BΣ v B. Vamos supor que Σ u seja diagonal e os elementos da diagonal de B sejam todos iguais a 1. As restrições podem ser escritas da seguinte forma: R B vec(b) = r B, onde R B (N m 2 ) e N é o número de restrições. No nosso caso N = m(m 1)/2.

31 O Modelo-B Identificação Identificação Global do Modelo-B Seja Σ u uma matriz (m m) positiva definida e diagonal. Seja B uma matriz (m m) não-singular. Então, para uma determinada matriz (m m) Σ v, simétrica e positiva definida, uma outra matriz (N m 2 ) R B, e um vetor (N 1) r B, o sistema B 1 Σ u(b ) 1 = Σ v R B vec(b) = r B, possui uma solução única global se, e somente se, ( 2D + posto m Σ u B 1) ( D + m B 1 B 1) D m R B 0 = m m(m + 1). 2 0 D σ D + m = ( D ) 1 m Dm D m, D m é uma matriz de duplicação (m 2 ) 1 2 m(m + 1) e D σ é uma matriz ( ) 12 m(m 1) 2 1m(m + 1) que seleciona os elementos de vech(σ u) abaixo da diagonal principal.

32 O Modelo-AB Identificação Para duas matrizes A e B, vamos definir o seguinte sistema: Ae t = Bv t, e t (0,I m ). Dois conjuntos de restrições: R A vec(a) = r A e R B vec(b) = r B.

33 O Modelo-AB Identificação Identificação Local do Modelo-AB Sejam A e B duas matrizes (m m) não-singulares. Então, para uma determinada matriz (m m) Σ v, simétrica e positiva definida, o sistema vech(σ v) = vech [B 1 AA ( B ) ] 1 R A vec(a) = r A er B vec(b) = r B possui uma solução única local se, e somente se, ( 2D + m Σu B 1) ( 2D + m B 1 A B 1) posto R B 0 = 2m 2. 0 R A D + m = (D md m) 1 D m e D m é uma matriz de duplicação.

34 Restrições de Longo Prazo Forma reduzida: z t = C 0 +C 1 z t C p z t p +v t. Impacto de longo-prazo: Λ = (I m C 1 C 2 C p ) 1 B 1 A. Idéia: restrições em Λ. Alguns choques não possuem impacto no longo-prazo.

35 Restrições de Longo Prazo Neste arcabouço é comum restringirmos B tal que B = I m Modelo-B. Exemplo: m = 2 As restrições podem ser escritas da seguinte forma: [ ] (0,0,1,0)vec (I 2 C 1 C 2 C p ) 1 A = [ (0,0,1,0) I 2 (I 2 C 1 C 2 C p ) 1] vec(a) = 0.

36 Estimação do Modelo Estrutural Vamos escrever o modelo estrutural tal que: Bz t = BCZ t 1 +Ae t, onde Z t 1 = (z t 1,...,z t p) e C = (C 1,...,C p ).

37 Estimação do Modelo Estrutural Função de (quase)-verossimilhança: logl(b,a,c) = mt 2 log(2π) T B 2 log 1 AA ( B ) 1 1 {(Z CX) 2 tr [ B 1 AA ( B ) ] } 1 (Z CX) = constant+ T 2 log B 2 T 2 log A tr [B ( A ) 1 A 1 B(Z CX)(Z CX) ], onde Z = (z 1,...,z T ), X = (Z 0,...,Z T 1 ). Na derivação acima utilizamos B 1 AA ( B ) 1 = B 1 2 A 2 = B 2 A 2 e tr(vw) = tr(wv).

38 Estimação do Modelo Estrutural Estimação em dois estágios: 1 estimar C e Σ v por Ĉ = ZX ( XX ) 1 e Σ v = T 1 ( Z ĈX )(Z ĈX ) ; 2 estimar A e B por (quase)-máxima-verossimilhança concentrada, isto é, (Â, B) = argmaxlogl c (A,B) A,B onde s.a. restrições de identificação, logl c (A,B) = constante+ T 2 log B 2 T 2 log A 2 T 2 tr [ B ( A ) 1 A 1 B Σ v ].

39 Estimação Caso Λ seja triangular, a estimação do modelo fica fácil. Podemos escrever ΛΛ = (I m C 1 C 2 C p ) 1 Σ v ( Im C 1 C 2 C p e a matriz A pode ser estimada por ( Â = I m Ĉ1 Ĉ2 Ĉp) P, onde P é a matriz obtida a partir da Decomposição de Cholesky de ( ) 1 ( 1. I m Ĉ1 Ĉ2 Ĉp Σv I m Ĉ 1 Ĉ 2 p) Ĉ Só funciona se o VAR for estacionário! ) 1