Estimação de Efeito Causal

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1 Estimação de Efeito Causal Rafael Borges June 4, 2012

2 Outline Resultados Potenciais Aleatorização Seleção em observáveis Seleção em não-observáveis: Variáveis Instrumentais Seleção em não-observáveis: Dif-in-Dif Seleção em não-observáveis: Regressão Descontínua

3 Tratamento em hospitais melhora a saúde das pessoas? Pensemos em pacientes admitidos na emergência de hospitais. Primeira maneira de responder a pergunta: comparar o estado saúde entre pessoas internadas e não internadas. Estado de saúde dos internados será, na média, pior que o dos não internados. Hospitais pioram a saúde? Provavelmente não. Essas pessoas já eram menos saudáveis antes da internação. Problema similar: pessoas que passam por programas de treinamento para reinserção no mercado de trabalho aumentam seus salários? Simples comparação diria que o programa reduz salários.

4 Resultados Potenciais Considere uma variável de tratamento binária: D i = {0, 1}. O resultado de interesse: Y i = {Y 0i, Y 1i }. A pergunta que queremos responder é se Y i é afetado por D i. Pensemos em alguns contra-factuais: o que teria acontecido com a pessoa que foi internada caso ela não tivesse sido? o que teria acontecido com a pessoa que não foi internada, caso ela tivesse sido?

5 Resultados Potenciais Para cada indivíduo, teremos dois resultados potenciais (RP): { Y 1i se D i = 1 RP = Y 0i se D i = 0 Y 1i é a sáude do indivíduo i caso seja internado e Y 0i é sua sáude caso não seja internado. Apenas um resultado é de fato observado: Y i = Y 0i + (Y 1i Y 0i ) D i quando D i = 1, temos Y i = Y 1i. quando D i = 0, temos Y i = Y 01i. Para cada indivíduo i, o efeito causal de tratamento está dado por: ρ i = Y 1i Y 0i

6 Resultados Potenciais Na prática, nunca observamos o indivíduo i em ambas as situações D i = 1 e D i = 0 Problema Fundamental da Inferência Causal. Não observamos ρ i. Por isso, teremos de construir uma distribuição contra-factual. A validade deste contra-factual é a chave para a validade da inferência causal crível.

7 Parâmetro de Interesse Efeito de Tratamento Médio (ETM, ATE): E [Y 1i Y 0i ] = E [ρ i ]. Efeito esperado do tratamento para uma pessoa escolhida de forma aleatória na população. Em alguns casos, o ETM não é o parâmetro de interesse. Em programas de treinamento, não gostaríamos de usar como grupo de comparação indivíduos ricos que nunca passariam por tal programa. Efeito de Tratamento Médio nos Tratados (ETT, ATT): E [Y 1i Y 0i D i = 1] = E [ρ i D i = 1]. Efeito médio do programa para aquelas pessoas que receberam o programa.

8 Resultados Potenciais e Viés de Seleção Com os dados de que dispomos, o que podemos calcular? Média de saúde dos tratados: E [Y i D i = 1] = E [Y 1i D i = 1] Média de saúde dos não tratados: E [Y i D i = 0] = E [Y 0i D i = 1] O viés de seleção está dado pela diferença média em Y 0i entre os que receberam e os que não receberam o tratamento. Exemplo: pessoas mais doentes, com pior saúde na ausência do tratamento (pior Y 0i ) tem maior chance de se internar. Viés de seleção será negativo.

9 Como criar contra-factuais? Aleatorização: a probabilidade de ser alocado ao grupo de tratamento ou controle é independente do resultado potencial. D i (Y 0i,Y 1i ) Seleção em observáveis: a probabilidade de tratamento é independente do resultado potencial, após condicionarmos em um grupo de características observáveis X i. D i (Y 0i,Y 1i ) X i Seleção em não-observáveis (IV, RD, Dif-in-Dif)

10 Aleatorização e viés de seleção Ao aleatorizarmos, garantimos que D i (Y 0i,Y 1i ). Aleatorização do tratamento resolve o problema de seleção. Por quê? D i passa a ser independente dos resultados potenciais. E [Y0i D i = 0] = E [Y 0i D i = 1] = E [Y 0i ] Média de saúde observada dos não tratados é um bom contra-factual para a média de sáude dos tratados caso não tivessem sido tratados. E [Y i D i = 1] E [Y i D i = 0] = E [Y 1i D i = 1] E [Y 0i D i = 0] = E [Y 1i Y 0i D i = 1] = E [Y 1i Y 0i ] = E [ρ i ] Recuperamos o Efeito de Tratamento Médio.

11 Estimando o ETM através de regressão Considere o seguinte modelo: Y i = α + ρd i + η i E [Y i D i = 1] = α + ρ + E [η i D i = 1] = α + ρ E [Y i D i = 0] = α + E [η i D i = 0] = α ρ = E [Y i D i = 1] E [Y i D i = 0] = E [Y 1i Y 0i ] quando assumimos D i (Y 0i,Y 1i ). Aleatorização garante que o termo de erro é não correlacionado com o tratamento, e o ETM é estimado corretamente pelo parâmetro ρ. Se o tratamento é de fato aleatorizado, incluir controles X i não afetará a estimativa pontual de ρ. Por quê incluir X i na regressão? Se X i tem poder preditivo sobre Y i, então aumentamos a precisão do estimador devido à redução da variância residual e erro padrão da regressão. Assim, podemos estimar: Y i = α + δd i + X i γ + η i

12 Avaliando o Progresa

13 Avaliando o Progresa

14 Avaliando o Project STAR

15 Avaliando o Project STAR

16 Avaliando o Project STAR

17 Seleção em observáveis Seleção em observáveis: D i (Y 0i,Y 1i ) X i Permitimos a correlação entre o tratamento e os resultados potenciais, mas não condicionando em X i. Nosso intuito é comparar indivíduos com as mesmas características, portanto precisamos do suporte comum: 0 < pr (D i = 1 X i = x) < 1, para todo x Suponha que nossa única covariada seja gênero. Devemos ter mulheres no grupo de tratamento e no grupo controle. Média de saúde observada das mulheres não tratadas será um bom contra-factual para a média de sáude das mulheres tratadas caso não tivessem sido tratadas.

18 Matching A idéia básica do matching é imputar um valor para o resultado potencial utilizando o resultado Y de indivíduos "parecidos" no grupo de tratamento oposto. Geralmente, há duas escolhas a serem feitas: a métrica de distância e o número de vizinhos que serão usados. Exemplo: One-to-one matching, onde para cada indivíduo tratado em uma célula, escolhemos um não-tratado para formar o grupo controle. Haverá um trade-o entre viés e precisão. Se utilizarmos somente uma observação para parear, teremos pouco viés, mas sacricaremos em precisão (maior variância). Com matching, identicamos o Efeito de Tratamento nos Tratados.

19 Matching no caso discreto Seja δ X = E [Y i X i, D i = 1] E [Y i X i, D i = 0] o estimador "ingênuo" do efeito de tratamento. δ FEM = E [Y i X i = FEM, D i = 1] E [Y i X i = FEM, D i = 0] seria a diferença de média de saúde entre as mulheres tratadas e não tratadas. O estimador pode ser implementado como: E [Y 1i Y 0i D i = 1] = x δ x P (X i = x D i = 1)

20 Matching no caso discreto É uma média ponderada das diferenças de médias entre grupos de tratamento e controle, onde os pesos dependem da distribuição empírica das covariadas entre os tratados. Maior peso é dado para aquelas células que são mais representativas do grupo de tratamento. Comparação é feita entre células. Quando, em uma célula, só temos tratamento ou controle, jogamos fora estas células. Quando temos muitas covariadas ou uma covariada contínua, temos o problema de dimensionalidade. Não é possível fazer estas comparações de maneira não paramétrica.

21 Regressão no lugar do matching Podemos estimar um modelo onde controlamos pela mesma série de covariadas usadas para fazer o matching: Y i = x d ix β x + δ R D i + ε i onde d ix é uma dummy que indica X i = x e δ R é o coeciente de interesse. Podemos mostrar que o modelo de regressão difere do modelo de matching somente nos pesos usados para ponderar os efeitos de tratamento de cada célula. Matching: usa a distribuição de covariadas entre os tratados para dar peso às diferentes estimações. Regressão: média ponderada pela variância (maior peso para as células com proporções semelhantes de tratados e não tratados).

22 Escore de propensão Se estamos dispostos a assumir seleção em observáveis, a independência dos resultados potenciais também se dará em relação a qualquer função das covariáveis, e em particular do escore de propensão p (x) = pr (D i = 1 X i = x) O uso do escore de propensão reduz a dimensionalidade do nosso problema. Estimamos o escore de propensão através de um probit ou logit. Podemos estimar o efeito de tratamento fazendo matching no escore de propensão.

23 Escore de propensão

24 Variáveis Instrumentais Suponha que estejamos interessados em estimar o efeito de servir ao exército sobre salários. Poderíamos pensar em uma regressão do tipo y i = θd i + X i β + u i. É possivel que indivíduos mais habilidosos escolham não servir o exército, indo direto para o mercado de trabalho. O modelo correto a ser estimado seria: Y i = α + ρd i + A iγ + ν i Como não observamos a habilidade A i, resta-nos um modelo no qual a variável de tratamento D i é correlacionada com o termo de erro u i = A γ + ν i i. Dizemos que D i é uma variável endógena. A estimação desta regressão por OLS nos fornece estimativas incosistentes do efeito de tratamento.

25 Efeito de serviço militar sobre salários (Angrist 1990) Parte da variação que observamos em D i tem como fonte variações nas habilidades não observadas. Para estimar corretamente o efeito de tratamento, precisamos de uma fonte de variação exógena sobre D i. Nos anos 60 e início dos 70, jovens americanos corriam o risco de serem convocados a servir na guerra do Vietnam. Em 1970, institui-se uma loteria baseada em data de nascimento para denir quem deveria, obrigatoriamente, se apresentar. Muitos homens sorteados não serviram devido a problemas de saúde ou outros motivos, e muitos homens não sorteados serviram como voluntários. Ainda assim, a loteria apresenta uma alta correlação com o serviço militar.

26 Efeito de serviço militar sobre salários (Angrist 1990) Uma variável dummy para a loteria, devido à aleatorização, é independente da habilidade não-observada dos indivíduos. É a fonte de variação externa de que necessitávamos. A estimação do efeito de tratamento por IV consiste em retermos, da variável D i, apenas aquela variação explicada pela loteria, obtendo ˆDi. estimar a regressão de salários sobre esta variável ˆDi, obtendo o efeito de tratamento.

27 Efeito de serviço militar sobre salários (Angrist 1990) Que efeito de tratamento conseguimos estimar? Efeito de tratamento sobre os compliers. A loteria se relaciona com a decisão dos indivíduos de 3 formas: always-takers: indivíduos que serviriam ao exército, sorteados ou não. never-takers: indivíduos que não serviriam ao exército, sorteados ou não. compliers: indivíduos que somente serviriam ao exército se sorteados. Note que ao instituirmos a loteria, fomos capazes de gerar variação apenas sobre os compliers. Portanto, o efeito de tratamento que estimamos é especíco a este grupo de indivíduos.

28 Variáveis Instrumentais: Teoria y i = θd i + X i β + u i D i = X i π 1 + w i π 2 + v i Viés de variável omitida porque E [D i u i ] 0. Podemos pensar como D i não sendo independente de (y 0i, y 1i ). w i será um instrumento válido se: For independente de (y 0i, y 1i ), ou seja, E [w i u i ] = 0. Manipular o tratamento: E [w i D i ] 0. Estimamos o efeito de tratamento sobre os compliers através de: ˆDi = X i ˆπ 1 + w i ˆπ 2 y i = θ ˆDi + X i β + u i

29 Diferenças em Diferenças Suponha um grupo controle e um grupo de tratamento (s {0, 1}) e dois momentos no tempo (t {1, 2}). Não são necessários dados sobre os mesmos indivíduos, mas sim de amostras representativas das populações de cada grupo. Admita que, na ausência do programa, o resultado é determinado por um termo que é xo no tempo e outra que varia, mas comum aos dois grupos: Podemos escrever: E [Y 0ist ] = γ s + λ t Y ist = α + γ s + λ t + δd st + ε ist onde γ s é uma dummy indicando grupo de tratamento, λ t é uma dummy indicando t = 2 e D st é uma dummy para grupo de tratamento e t = 2.

30 Diferenças em Diferenças Note que E [Y ist s = 0, t = 2] E [Y ist s = 0, t = 1] = α + λ t α = λ t E [Y ist s = 1, t = 2] E [Y ist s = 1, t = 1] = α + γ s + λ t + δ (α + γ s ) = λ t + δ {E [Y ist s = 0, t = 2] E [Y ist s = 0, t = 1]} {E [Y ist s = 1, t = 2] E [Y ist s = 1, t = 1]} = δ Quando estamos dispostos a assumir o pressuposto de que, na ausência do tratamento, ambos os grupos apresentariam a mesma tendência, conseguimos estimar o efeito de tratamento sobre os tratados.

31 Diferenças em Diferenças

32 Diferenças em Diferenças

33 Diferenças em Diferenças

34 Diferenças em Diferenças

35 Regressão Descontínua Pode ser utilizado quando conhecemos o processo que gera a seleção em observáveis. Introduzido por Thistlewaite e Campbell (1960) para avaliar o efeito da obtenção de uma bolsa de estudos no desempenho acadêmico futuro. Imaginamos duas distribuições: E [Y 0i X i ] e E [Y 1i X i ]. à direita de um valor de corte X i = c, todos os indivíduos são tratados. à esquerda, nenhum é tratado.

36 Regressão Descontínua

37 Regressão Descontínua Estimamos o parâmetro τ = lim x c E [Y i X i = x] lim E [Y i X i = x] x c Este parêmetro é igual ao efeito médio de tratamento no corte c. τ = E [Y 1i Y 0i X i = c] Usamos a média das observações à direita como contrafactual para as observaçòes à esquerda. É crucial a continuidade de E [Y 0i X i ] e E [Y 1i X i ] no corte c.

38 Regressão Descontínua

39 Regressão Descontínua Podemos pensar no modelo de RD como: Y = Dτ + W γ 1 + U D = 1 [X > c] X = W γ 2 + V É crucial que os agentes tenham controle impreciso sobre X em torno de X = c, de forma que não seja possível manipulação.

40 Regressão Descontínua

41 Regressão Descontínua Uma maneira simples de implementar o RD é estimar uma regressão à esquerda e outra à direita da discontinuidade. Podemos subtrair o valor de corte c da variável X para que o intercepto seja o valor da regressão no corte c. Y = α e + f e (X c) + ε e Y = α d + f d (X c) + ε d O efeito de tratamento será dado por τ = α d α e