Antes de resolvermos a)-c), vamos relembrar a diferença entre esperança (variância) conditional e esperança (variância) incondicional.

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Giuliana Azenha Alves
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1 Econometria Avançada SOLUÇÃO Terceira lista de exercícios Problema 1. Seja r t os retornos (ou log-retornos) diários de um ativo financeiros (por exemplo, S&P500 ou Petrobrás ON) tal que r t = σ t ε t, onde ε t e σ t são independentes e ε t NID(0, 1). Portanto r t também é normal com E(r t ) = 0 e V (r t ) = E(rt ) = E(σt ). Ou seja, apesar da média condicional de r t ser zero, sua variância condicional é σ t e pode variar no tempo, um fato comumente observado em séries temporais financeiras. A curtose de r t, denotada aqui por K rt, mede o peso das caudas da distributição de r t e é dada por K rt = E(rt 4 )/{E(rt )}. Obtenha K rt para os modelos: a) ARCH(1): σt = α 0 + α 1 rt 1; b) GARCH(1,1): σt = α 0 + α 1 rt 1 + β 1 σt 1; e c) SV-AR(1): log σt = µ + φ(log σt 1 µ) + u t, onde u t N(0, τ ). Antes de resolvermos a)-c), vamos relembrar a diferença entre esperança (variância) conditional e esperança (variância) incondicional. É fácil ver que E(r t σ t ) = E(σ t ε t σ t ) σt εt == E(σ t σ t )E(ε t σ t ) = σ t 0 = 0, onde σ t ε t denota que σ t é independente de ε t. Segue, de um resultado básico de probabilidade 1, que V (r t σ ) = E(r t σ ). Portanto V (r t σ t ) = E(rt σ t ) = E(σt ε t σ t ) σt εt == E(σt σ t )E(ε t σ t ) = σt 1 = σt, pois E(ε t σ t ) = E(ε t ) = 1. Perceba que a suposição de normalidade para ε t não foi usada em nenhum momento até aqui. Usando dois resultados básicos de probabilidade, segue imediatamente que E(r t ) = E{E(r t σ t )} = E{0} = 0 V (r t ) = E{V (r t σ t )} + V {E(r t σ t )} = E{σ t } + V {0} = E(σ t ). Somente nesse momento é necessário se utilizar as estruturas ARCH, GARCH e SV. ARCH(1): V (r t ) = E(r t ) = E(σ t ) = E(α 0 + α 1 r t 1) = α 0 + α 1 E(r t 1). Como E(r t ) = E(r t 1) (esperanças incondicionais), segue que V (r t ) = α 0 1 α 1. GARCH(1,1): V (r t ) = E(r t ) = E(σ t ) = E(α 0 + α 1 r t 1 + β 1 σ t 1) = α 0 + α 1 E(r t 1) + β 1 E(σ t 1). Como E(r t ) = E(r t 1) = E(σ t ) = E(σ t 1), segue que V (r t ) = α 0 1 α 1 β 1. 1 V (X) = E(X ) {E(X)}. Portanto, quando E(X) = 0, segue que V (X) = E(X ). E(X) = E{E(X Y )} e V (X) = E{V (X Y )} + V {E(X Y )}. 1

2 Só nos resta obter E(r 4 t ): E(r 4 t ) = E{E(r 4 t σ t )} = E{E(σ 4 t ε 4 t σ t )} = E{σ 4 t E(ε 4 t )} = 3E(σ 4 t ), pois a curtose da distribuição normal padrão é igual a 3. ARCH(1): 1 3 E(r4 t ) = E(σt 4 ) = E{(α 0 + α 1 rt 1) } = α0 + α 0 α 1 E(rt 1) + α1e(r t 1) 4 ( ) = α0 α α 1 + α 1 α 1E(rt 1) 4 = α0 α1 + α 1 1 α 1E(r t 1) 4 1 logo e E(r 4 t ) = 3 α 0(1 + α 1 )/(1 α 1 ) 1 3α 1 K rt = E(r4 t ) {E(rt )} = 3 α 0 (1+α 1)/(1 α 1 ) 1 3α 1 = 3(1 + α 1)(1 α 1 ) α0/(1 α 1 ) 1 3α1 = 3(1 α 1). 1 3α1 GARCH(1,1): O que você tem que mostrar aqui é que ( ) 1 (α1 + β 1 ) K rt = 3 1 (α 1 + β 1 ) α1 Finalmente, duas complicações adicionais surgem quando se trata do modelo SV-AR(1): log σ t = µ + φ(log σ t 1 µ) + u t u t N(0, τ ). Em primeiro lugar, existe agora o termo de erro u t que tem que ser levado em consideração. Mas esse é um problema relativamente simples, uma vez que assumimos que ε t e u t são independentes entre si. Em segundo lugar, para se obter esperança, variância e curtose de r t é necessário se obter E(σ t ) e E(σ 4 t ), que são momentos de uma distribuição log-normal (dado que log σ t é normalmente distribuído).

3 Problema. Mostre que se r t ARCH() normal, então rt AR() com inovações não-normais. Mostre também que {r t } é uma sequência de ruídos brancos. Como r t ARCH() normal, podemos escrever (como no problema 1 acima) r t = σ t ε t ε t NID(0, 1) σt = α 0 + α 1 rt 1 + α rt de forma que, se definirmos ν t = rt σt, temos que rt = α 0 + α 1 rt 1 + α rt + ν t, ou seja, rt AR(). O que ainda resta fazer é entender o comportamento de ν t : ν t = rt σt = σt ε t σt = σt (1 ε t ). Segue que E(ν t ) = E(σt )E(1 ε t ) = 0, e E(ν t ν t+h ) = E{σt σt+h}e{(1 ε t )}E{(1 ε t+h)} = 0. Portanto o processo {ν t } é um ruído branco. 3

4 Problema 3. Suponha que r 1, r,..., r n sejam observações de uma série de log-retornos seguindo um modelo AR(1)-GARCH(1,1) normal, isto é, r t = µ + φr t 1 + u t, u t = σ t ε t σt = α 0 + α 1 u t 1 + β 1 σt 1, para ε t NID(0, 1). Perceba que o modelo acima pode ser mais compatamente escrito como r t r t 1, σ t N(µ + φ 1 r t 1, σ t ) σ t = α 0 + α 1 (r t 1 µ φr t ) + β 1 σ t 1, o que evidencia a normalidade dos log-retornos r t e também que σt depende de rt 1, rt e σt 1. Obtenha a função de log-verossimilhança condicional de (µ, φ, α 0, α 1, β 1 ). Sem perda de generalidade, assuma que σ0 = r 0 = r 1 = 0. Para se obter a função de log-verossimilhança condicional de θ = (µ, φ, α 0, α 1, β 1 ), é necessário que escrevamos a densidade conjunta dos dados condicional em θ, p(r 1,..., r n θ). Uma vez que σ 1,..., σ n são deterministicamente derivados de σ 0, r 0, r 1, θ e r 1,..., r n, segue que p(r 1,..., r n θ) = n p(r t r t 1, θ) = t=1 n { (πσt ) 1/ exp 1 t=1 (r t µ φr t 1 ) σ t }. Portanto, a função log-verossimilhança condicional de θ é [ ] l(θ) = log p(r 1,..., r n θ) = K 1 n log(π) + log σt + t=1 n t=1 σ t (r t µ φr t 1 ). O estimador de máxima verossimilhança, ˆθ, é obtido maximizando l(θ) sujeito às seguintes restrições: φ < 1, α 0, α 1, β 1 > 0 e α 1 + β 1 < 1. 4

5 Problema 4. O arquivo sp500.csv contém preços diários do S&P500 para o período de 03/01/1950 a 3/04/015 (1643 observações). Veja a figura 1 com os dados. a) Ajuste modelos ARCH(1), GARCH(1,1) e SV-AR(1) para essa série temporal financeira. Mais precisamente, para r t = σ t ε t, onde ε t e σ t são independentes e ε t NID(0, 1), ajuste os modelos a1) ARCH(1): σ t = α 0 + α 1 r t 1. a) GARCH(1,1): σ t = α 0 + α 1 r t 1 + β 1 σ t 1. a3) SV-AR(1): log σ t = µ + φ(log σ t 1 µ) + u t, onde u t N(0, τ ). Veja os resultados na próxima página e nas figuras a 3. ARCH(1) Parameter Estimate Std. Error alpha e e-07 alpha e e-0 GARCH(1,1) Parameter Estimate Std. Error alpha e e-08 alpha e e-03 beta e e-03 SV-AR(1) mu phi sigma 1st Qu Median Mean rd Qu VARIANCE, STANDARD DEVIATION AND KURTOSIS Sample ARCH(1) GARCH(1,1) SV-AR(1) Variance St.Dev Kurtosis b) Divida a série em grupos de 5 anos (13 grupos, portanto) e repita as análises de a). Como se comportam os parâmetros dos modelos ao longo do tempo? Comente seus resultados. 5

6 Price /3/50 5/5/66 9/3/8 1//98 4/3/15 days Log price /3/50 5/5/66 9/3/8 1//98 4/3/15 days Log price /4/50 5/6/66 9/4/8 1//98 4/3/15 days Figure 1: S&P500: preços, log-preços e log-retornos. 6

7 Standard deviation ARCH(1) GARCH(1,1) 1/4/50 5/6/66 9/4/8 1//98 4/3/15 Days Figure : S&P500: Estimativas dos desvios-padrões pelos modelos ARCH(1) e GARCH(1,1). 7

8 ARCH(1) GARCH(1,1) Standardized residuals Standardized residuals /4/50 5/6/66 9/4/8 1//98 4/3/15 Days 1/4/50 5/6/66 9/4/8 1//98 4/3/15 Days ACF squared residuals ACF squared residuals ACF ACF Lag Lag PACF squared residuals PACF squared residuals Partial ACF Partial ACF Lag Lag Figure 3: S&P500: Análise residual dos modelos ARCH(1) e GARCH(1,1). 8

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