Análise de Regressão Linear Múltipla. Wooldridge, 2011 Capítulo 3 tradução da 4ª ed.

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1 Análise de Regressão Linear Múltipla Wooldridge, 2011 Capítulo 3 tradução da 4ª ed.

2 Introdução Como pode ser visto anteriormente, o modelo de regressão linear simples, com uma variável explicativa (regressor), aplica-se a várias situações. Entretanto, diversos problemas envolvem dois ou mais regressores influenciando o comportamento da variável resposta (dependente), y. Chamamos Modelo de Regressão Linear Múltipla a qualquer modelo de regressão linear com duas ou mais variáveis explicativas. 2

3 Introdução x 1 x 2 y variável resposta x 3 x k x 1, x 1,..., x k : variáveis explicativas (regressores)

4 Modelo de regressão linear múltipla Vamos admitir que X 1, X 2,..., X k sejam as variáveis independentes e Y a variável dependente. Dada uma amostra de n observações, (x 1i, x 2i,..., x ki, y i ), i = 1, 2,..., n, o modelo de regressão linear múltipla será dado por: 4

5 Modelo de regressão linear múltipla E[y i x 1i, x 2i,..., x ki ] = x 1i + 2 x 2i k x ki, i = 1, 2,..., n ou y i = x 1i + 2 x 2i k x ki + i, i = 1, 2,..., n. em que n > (k+1). 5

6 7 n i ki k i i n i i x β x β β y Para determinarmos os estimadores de mínimos quadrados de 0, 1,..., k, devemos minimizar o erro quadrático total ( i2 ): Método dos Mínimos Quadrados

7 Método dos Mínimos Quadrados O mínimo da função S(β n n 0, β1,, βk ) x i1 i1 2 i yi β0 β1x1 i βk ki é obtido derivando-a em relação a 0, 1,..., k, e igualando o resultado a zero. Ou seja, 2 β 0 S(β 0, β β ) 0 βk 1,, k S(β, β ) 0 0 1,,βk

8 9 Equações Normais 0 ˆ ˆ ˆ n i ki k i i k,, x β x β β y ) β, β S(β β 0 ˆ ˆ ˆ n i i ki k i i k,, x x β x β β y ) β, β S(β β 0 ˆ ˆ ˆ n i ki ki k i i k,, k x x β x β β y ) β, β S(β β

9 E Regressão Múltipla Y X x X k x k x 1 1,, k xk y abuso de notação Modelo Estimado ˆ ˆ x ˆ ˆ x Interpretação do Intercepto Valor médio estimado para a variável resposta, condicionado a x 1 = x 2 =... = x k = 0. Muitas vezes pode não ter significado!!! k k

10 Interpretação dos demais parâmetros Considerando y ˆ x ˆ x ˆ ˆ 2 k x k se x 2 =... = x k = 0 (ou seja, as outras variáveis são mantidas constantes), então o efeito parcial de x 1 no valor médio estimado para a variável resposta é dado por yˆ x 1 ˆ 1 29

11 Aplicação O departamento de RH da empresa TEMCO objetiva estudar o comportamento dos salários dos funcionários dos mais diversos setores da empresa. Para tanto, o gerente de RH, baseando-se numa amostra aleatória de 46 empregados, coletou informações sobre as seguintes variáveis: 30

12 Aplicação id número cadastral do funcionário; salario anual, em dólares; anosemp tempo (em anos) na empresa; expprev experiência anterior (em anos); educ anos de estudo após o segundo grau; sexo (feminino = 0, masculino = 1); dept departamento no qual atua (Compras = 1, Engenharia = 2, Propaganda = 3, Vendas = 4); super número de empregados sob responsabilidade do empregado. 31

13 Aplicação Quadro 1 - Parte de uma planilha que contem informações sobre os 32 empregados da empresa TEMCO.

14 Aplicação Como parte do estudo, a gerente de RH propôs a estimação dos parâmetros do seguinte modelo de regressão múltipla: salario = educ + 2 anosemp + a) Em termos do problema, 0 apresenta algum significado prático? b) Qual o sinal esperado para 1? E para 2? c) Encontre as estimativas dos parâmetros, via mínimos quadrados ordinários, escreva a equação estimada e interprete os resultados obtidos, em termos do problema de interesse. 33

15 Aplicação Interpretação dos parâmetros do modelo proposto, em termos do problema: 0 salário médio dos funcionários da empresa TEMCO, que acabaram de entrar na empresa (ou que ainda não completaram um ano) e que não apresentam nenhum ano de escolaridade após o segundo grau; 1 2 efeito no salário médio dos funcionários da empresa TEMCO, dada a variação de um ano no tempo de escolaridade após o segundo grau, mantendo constante a variável anosemp; e efeito no salário médio dos funcionários da empresa TEMCO, dada a variação de um ano no tempo de empresa, mantendo constante a variável educ.

16 Aplicação 35

17 Aplicação Modelo estimado sa lário ˆ 23177,471916,49educ 672,32anosemp Pergunta: qual o salário médio estimado para pessoas com 3 anos de escolaridade após o 2º grau e com 5 anos na empresa? salario ˆ salario ˆ , , ,54 * , * 5 36

18 Exemplo A senhorita Jolie, gerente do departamento de RH da empresa TEMCO, objetiva estudar o comportamento médio dos salários dos funcionários dos mais diversos setores da empresa. Para tanto, baseando-se numa amostra aleatória de 46 funcionários da empresa, ela propôs os seguintes modelos de regressão: salario = educ + (1) salario = anosemp + n (2) salario = educ + 2 anosemp + (3) Como a gerente pode avaliar a qualidade de ajuste dos modelos?

19 COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO ou COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO 3

20 Coeficiente de Explicação Resultado: SST = SSE + SSR Parcela da variabilidade de y que é explicada pelas variáveis do modelo Parcela da variabilidade de y que não é explicada pelas variáveis do modelo 2 R SSE SST Proporção da variabilidade de y que é explicada pelo conjunto de variáveis explicativas. 4

21 salario = educ + Voltando ao Exemplo salario = anosemp + n salario = educ + 2 anosemp +

22 Voltando ao Exemplo Variáveis explicativas no modelo R 2 Educ 60,4% Anosemp 58,6% Educ e Anosemp 74,0% 6

23 Voltando ao Exemplo O departamento de RH desconfia que a variável EXPPREV (experiência anterior, em anos) não é importante para explicar o salário dos funcionários, uma vez que os recémcontratados passam por um treinamento antes de iniciar as atividades na empresa. Pede-se, então: acrescente a variável ao modelo de regressão linear múltipla e verifique o que acontece com o R 2? 7

24 Salário vs EXPPREV Salário Correlação: 0,03 Experiência prévia 8

25 Salário vs EXPPREV

26 Coeficiente de Determinação Fato: Quanto maior o número de variáveis independentes, maior será o valor de R 2. Isso pode vir a ser um problema ao se comparar modelos, já que modelos com um número maior de variáveis tenderão a ter um R 2 maior do que um modelo, eventualmente equivalente, em termos de qualidade, com um número menor de variáveis. 10

27 R 2 ajustado Valor ajustado pelo número de variáveis R 2 a 1 1R 2 n n1 k 1 O acréscimo de variáveis não acarreta necessariamente um aumento em R 2 a. 11

28 Voltando ao Exemplo Variáveis explicativas no modelo R 2 R 2 a Educ 60,3% 59,5% Anosemp 58,6% 57,6% Educ e Anosemp 73,9% 72,8% Educ, Anosemp e Expprev 74,1% 72,2% 12

29 Suposições e Propriedades MLR.1 O modelo de regressão é linear nos parâmetros O modelo na população pode ser escrito como y = x x k x k + em que 0, 1,..., k são parâmetros desconhecidos (constantes); termo de erro aleatório não observável.

30 Suposições e Propriedades MLR.2 Amostragem Aleatória Temos uma amostra aleatória de n observações (x 1i, x 2i,..., x ki, y i ), i = 1, 2,..., n, do modelo populacional descrito em MLR.1. MLR.3 Ausência de Colinearidade Perfeita Na amostra (e, portanto, na população) nenhum regressor é constante e não há relação linear PERFEITA entre os regressores (a matriz X apresenta posto completo).

31 Suposições e Propriedades MLR.4 Média Condicional Zero O valor esperado do vetor de erro aleatório,, condicionado na matriz de explicação X, é igual a zero. Ou seja, E( X ) = 0. Teorema 1. Sob as suposições MLR.1 a MLR.4, condicionado nos valores do regressores, os estimadores de MQO para os E( β ˆ ) parâmetros do modelo de regressão múltipla são nãoviesados, ou seja,, j = 0, 1, 2,..., k. j β j

32 Suposições e Propriedades SUPOSIÇÃO FUNDAMENTAL: E( X ) = 0. Ou seja, todos os fatores contidos em devem ser não correlacionados com as variáveis explicativas, e deve ter sido usada a forma funcional correta. 7

33 Suposições e Propriedades SUPOSIÇÃO FUNDAMENTAL: (cont) Como pode falhar? Omissão de variável explicativa importante, correlacionada com x 1, x 2,... ou x k ; Forma funcional especificada incorretamente; Erro de medida em x 1, x 2,... ou x k ; Simultaneidade entre y e x 1, x 2,...ou x k ; 8

34 Inclusão e Exclusão de Regressores ANÁLISE DE DOIS CASOS ESPECIAIS: A) Inclusão de variável irrelevante não prejudica a propriedade de ausência de viés B) Omissão de variável relevante modelo correto tem k = 2, mas usamos k = 1 Resultado: ~ ( 1 x1 ) E( 2 1 ) 1 xi xi ( xi1 x1 ) 9

35 Inclusão e Exclusão de Regressores Direção do Viés Corr(x 1, x 2 ) > 0 Corr(x 1, x 2 ) < 0 2 > 0 Viés Positivo Viés Negativo 2 < 0 Viés Negativo Viés Positivo 10

36 Inclusão e Exclusão de Regressores Observações viés depende tanto dos sinais quanto das magnitudes; em geral, se k > 1, omissão de qualquer variável relevante faz com que todos os estimadores de mínimos quadrados sejam viesados; a menos que a variável omitida seja irrelevante ou nãocorrelacionada com as demais variáveis explicativas presentes no modelo, os estimadores de mínimos quadrados serão viesados. 11

37 Suposições e Propriedades MLR.5 Homocedasticidade A variância do vetor de erro aleatório, condicional na matriz de explicação, é diagonal (com todos os elementos da diagonal iguais a 2 ). 12

38 Observação 1 As suposições MLR.1 a MLR.5 conjuntamente são conhecidas como suposições de Gauss-Markov.

39 Variância dos Estimadores de MQO Teorema 2. Sob as suposições MLR.1 a MLR.5, condicionadas aos valores amostrais das variáveis explicativas Var 2 ˆ ), j 0,,..., k j SQT (1 R ) 1 ( 2 x j x j em que 2 = variância do erro; SQT x = SQT do j-ésimo regressor na amostra; j R x = R j2 2 da regressão de x j contra todas as outras variáveis explicativas (incluindo um intercepto). 16

40 Componentes da Variância dos Estimadores de Mínimos Quadrados Var( ˆ j ) 2 SQT ( R 2 1 j x j x ) Variância da v.a. u: 2 mínimos quadrados com alta variância; alto implica num estimador de SQT xj : se a j-ésima variável explicativa apresentar uma variação total alta, então, a variância do i-ésimo estimador, associado à esta variável explicativa, será pequena; 17

41 Componentes da Variância dos Estimadores de Mínimos Quadrados Var( ˆ j ) 2 SQT ( R Relações lineares entre as variáveis explicativas: altos 2 1 j x j x ) valores de R xj2 estimadores. implicam numa alta variância para os 1/(1R xj2 ) conhecido como fator de inflação de variância ou, VIF, em inglês. Inclusão de variável irrelevante geralmente aumenta as variâncias dos demais estimadores de MQO 18

42 Estimação de 2 Como 2 estimador: em geral é desconhecida, utilizaremos o ˆ 2 MSR SSR n-(k 1) MSR (Quadrado Médio devido aos Resíduos) SSR perde k+1 graus de liberdade, devido às k+1 restrições impostas pelas condições de primeira ordem de MQO. 19

43 Estimação de 2 Teorema 3. Sob as suposições de Gauss-Markov (MLR.1 a MLR.5), E(σˆ 2 ) E(MSR) σ 2. Observação ˆ MSR : erro padrão da regressão. 20

44 Erro Padrão dos Estimadores de MQO Dessa forma, o erro-padrão dos estimadores de mínimos quadrados podem ser obtidos através da expressão ˆ 2 ˆ ˆ j SQT (1 R 2 x x j j ) 21

45 Eficiência dos Estimadores de MQO Teorema 4. (TEOREMA DE GAUSS-MARKOV) Sob as suposições MLR.1 a MLR.5, ˆ 0, ˆ 1,..., ˆ k são os melhores estimadores, na classe dos lineares nãoviesados (BLUE) para 0, 1,..., k, respectivamente. 22

46 Eficiência dos Estimadores de MQO Restringindo a classe de estimadores não viesados a todos os estimadores lineares em y, o teorema de Gauss-Markov prova que o estimador de mínimos quadrados é o melhor (no sentido em que apresenta variância mínima) Diz-se que, sob as suposições MLR.1 a MLR.5, os estimadores de mínimos quadrados são BLUEs (best linear unbiased estimators) 23

47 Suposições e Propriedades MLR.6 O vetor de erro estocástico é independente dos regressores e segue uma distribuição normal multivariada, com vetor de médias igual a zero e matriz de variâncias e 2 I n ~ covariâncias igual a. 24

48 Suposições e Propriedades Observações 1) Para aplicações de regressão com dados do tipo crosssectional, as suposições MLR.1 a MLR.6 são conhecidas como suposições do modelo linear clássico (suposições CLM). 2) Uma maneira sucinta de resumir as suposições CLM na população é y (x 1, x 2,..., x k ) ~ N( x x k x k ; 2 ). 3) Sob as suposições CLM os estimadores de mínimos quadrados são estimadores não-viesados de variância mínima.

49 Distribuição amostral de βˆ j Teorema 4.1 Sob as suposições CLM (MLR.1 a MLR.6), condicionado nos valores amostrais das variáveis explicativas, βˆ j ~ N β j ; SQT 2 2 (1 R ) x j x j 28

50 Distribuição amostral de βˆ j Do teorema anterior segue que, βˆ SQT j β 2 (1 R 2 x j x j j ) ~ N 0; 1 Como 2 é um parâmetro desconhecido, então será proposto um estimador para tal parâmetro. Dessa maneira, será necessário estudar a distribuição de probabilidades da nova v.a. que será gerada.

51 Exemplo Tomando por base o modelo salario i 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 a senhorita Jolie, gerente do departamento de RH da empresa TEMCO, desconfia que ao menos um dos regressores é relevante para explicar a variável resposta. Utilizando um nível de significância de 1%, conduza um teste de hipóteses adequado. 2

52 Exemplo Modelo salarioi 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 Hipóteses de Interesse H 0: β1 β2 β3 0 H : pelo menos um parâmetro difere de zero A SST = SSR + SSE Se H 0 for verdadeira, espera-se que SSE seja pequena e SSR grande.

53 TESTE F (Análise de Variâncias ANOVA) 4

54 Teste F É possível demonstrar que, sob certas condições, as v.a. SSR, SSE e SST apresentam as seguintes características: 1. SSR σ ~ χ 2 n k 1 2 ; SSE 2 2. ~ χ(k), se β1 σ β 2 k 0; 3. SSRe SSEsãoindependentes. 5

55 Consequências: Teste F (a) E SSR 2 σ n k 1 E SSR n k 1 E 2 MSR σ Logo, MSR é um estimador não-viesado de s 2 (b) SSE E s SSE k 2 2 k, se β1 β k 0 E E MSE σ Se 1 = 2 =... = k = 0, então MSE = SSE/k é um estimador não-viesado de s 2.

56 Consequências: (cont.) Teste F (c) Se β 1 β k 0, ESSR ESSE E SST n k 1 σ k σ (n-1 ) σ Logo, SST/(n-1) é estimador não-viesado de s 2 7

57 Consequências: (cont.) Teste F (d) Se β 1 β k 0, F SSE/ σ k SSR/ σ 2 2 SSE k-1 SSR n-k 1 n-k 1 MSE MSR ~ F k,n- k1 8

58 Consequências: (cont.) Teste F Fonte de variação SS gl MS F Regressão SSE k MSE MSE/MSR Erro SSR n-(k+1) MSR Total SST n-1 MSE SSE k MSR SSR n - k 1 9

59 Consequências: (cont.) Teste F F MSE MSR (1- R 2 R ) 2 (k) n -(k 1) sob H ~ 0 F k, n-(k1) Região crítica: F c 10

60 Exemplo Tomando por base o modelo salario i 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 a senhorita Jolie, gerente do departamento de RH da empresa TEMCO, desconfia que ao menos um dos regressores é relevante para explicar a variável resposta. Utilizando um nível de significância de 1%, conduza um teste de hipóteses adequado. 11

61 Resolução do Exemplo Modelo salarioi 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 Hipóteses de Interesse H 0: β1 β2 β3 0 H : pelo menos um parâmetro difere de zero A 12

62 Resolução do Exemplo 13

63 H 0: β2 β3 β4 0 H : pelo menos um parâmetro difere de zero A Resolução do Exemplo p-valor F obs Rejeito H 0 se p - valor 15

64 Voltando ao Exemplo A senhorita Jolie sabe que, a 1% de significância, ao menos um dos regressores é relevante para explicar a variável resposta. Todavia, a senhorita Jolie desconfia que expprev seja irrelevante, dado que os funcionários da TEMCO passam por um processo de treinamento assim que são admitidos na empresa. Dessa forma, adotando um nível de significância de 1%, existem evidências favoráveis à desconfiança da gerente de RH? 16

65 Voltando ao Exemplo Modelo salarioi 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 Hipóteses de Interesse H : H 0 A : β β

66 Teste t 18

67 Teste t Já foi visto que βˆ SQT j β 2 s (1 R 2 x j x j j ) ~ N 0; 1 e como s 2 é um parâmetro desconhecido, então deverá ser estimado. Dessa maneira, será necessário estudar a distribuição de probabilidades da nova v.a. resultante.

68 Teste t Nos slides anteriores foi dito que SSR, SSE e SST são v.a. e, ainda, não é difícil provar que, sob certas condições: Assim, SSR ~ 2 σ 2 n k 1 ; SSR E 2 σ n k SSR 1 E E σ n k 1 2 MSR MSR é um estimador não-viesado de s 2

69 Teste t Assim, substituindo s 2, pelo seu estimador, MSR, na expressão do slide 19, temos que em que βˆ j β MSR SQT (1 R j 2 x j x j ) ˆ s 2 ˆ s ˆ j 2 X j : erro padrão de 2 j n 1 s (1 R ) j ˆ ˆ s 2 MSR sˆ : erro padrão da regressão 21

70 Teste t Logo, para testarmos as hipóteses H 0 : j = b (em particular b = 0) H A : j b (H A : j < b ou H A : j > b), utilizaremos o fato que, sob H 0, βˆ j ˆ s ˆ b j ~ t n- k1 e construiremos a região crítica de acordo com a hipótese alternativa adotada. 22

71 Voltando ao Exemplo Modelo salarioi 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 Hipóteses de Interesse H : H 0 A : β β

72 Resolução do Exemplo 24

73 Resolução do Exemplo H : H 0 A : β β /2 /2 - t crit t crit t obs 0, , , Rejeito H 0 se t obs t crit 25

74 Resolução do Exemplo H : H 0 A : β β /2 /2 - t crit t crit t obs 0, , , Rejeito H 0 se p - valor 26

75 Voltando ao Exemplo Tomando por base o modelo salario i 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 existem evidências sobre a relevância da variável educ, com 99% de confiança? Toda a sua análise deve ser baseada na construção de um intervalo de confiança. 27

76 Intervalo de Confiança 28

77 Intervalo de Confiança para j Prova-se que j IC( β ; ) βˆ t j / 2 n-k1 ˆ s ˆ j em que ˆ s ˆ j erro padrão assoaciado a βˆ j é um intervalo de confiança para o parâmetro j, com coeficiente de confiança de

78 Voltando ao Exemplo Modelo salarioi 0 1educi 2anosempi exp previ i log 3 Hipóteses de Interesse H : H 0 A : β 1 β 1 0 0

79 Resolução do Exemplo 31

80 Resolução do Exemplo H : H 0 A : β 1 β /2 /2 - t crit t crit IC( β j 0, ; ) 0, ,6980, ,021126; 0, Como o IC não engloba o zero, então, com 99% de confiança, existem evidências contrárias à hipótese nula.

81 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA COM INFORMAÇÃO QUALITATIVA: O USO DA VARIÁVEL DUMMY

82 Variável Dummy Uma forma de introduzir características qualitativas em modelos econométricos consiste na utilização de variáveis dummy (fictícia, postiça), frequentemente chamadas de variáveis binárias ou dicotômicas, uma vez que assumem apenas um de dois valores em geral 0 ou 1 para indicar a presença ou ausência de determinada característica. 3

83 Variável Dummy Vale lembrar que a variável dummy representa estados ou níveis de fatores, ou seja representa algo que não possui valores numéricos ou, caso possua, estes valores não têm realmente um significado numérico. Assim, uma variável dummy, D, pode ser descrita da seguinte maneira: D 0, 1, se se a a característica característica não estiver presente estiver presente 4

84 Voltando à Empresa TEMCO A senhorita Rose Jolie, gerente do departamento de RH da empresa TEMCO, gostaria de estimar os parâmetros de um modelo de regressão linear que levasse em consideração as variáveis explicativas educ e dept na explicação da variável resposta salário. Auxilie a senhorita Jolie nesta proposição.

85 Voltando à Empresa TEMCO Apenas para lembrar, a senhorita Jolie, coletou informações de uma amostra aleatória de 46 funcionários da empresa, sobre as seguintes variáveis: id número cadastral do funcionário; salario anual, em dólares; anosemp tempo (em anos) na empresa; expprev experiência anterior (em anos); educ anos de estudo após o segundo grau; sexo (feminino = 0, masculino = 1); dept departamento no qual o funcionário atua (Compras = 1, Engenharia = 2, Propaganda = 3, Vendas = 4); super número de empregados sob responsabilidade do empregado.

86 Voltando à Empresa TEMCO À primeira vista, como existem quatro departamentos na empresa TEMCO, Rose Jolie poderia optar por usar a variável dept, com os valores 1, 2, 3 e 4. Dessa maneira, salário 1 2educ 3dept No entanto, ao fazer isto, Rose Jolie estaria introduzindo uma ideia de espaçamento, que ficará mais clara nos resultados descritos nos slides a seguir. 7

87 Voltando à Empresa TEMCO Escrevendo a equação de regressão de interesse, para cada um dos departamentos, temos que: E(salário educ, dept 1) ( ) 1 3 β 2 educ E( salário educ, dept 2) ( 1 2 ) 3 educ 2 E( salário educ, dept 3) ( 1 3 ) 3 educ 2 E( salário educ, dept 4) ( 1 4 ) 3 educ 2 8

88 Voltando à Empresa TEMCO Dessa forma, admitiríamos, por exemplo, que E( salário educ, dept 2) E(salário educ,dept 1) E( salário educ, dept 4) E( salário educ, dept 3) 3 ou seja, que a diferença entre os salários esperados dos funcionários dos departamentos de Engenharia e Compras é a mesma que a dos funcionários dos departamentos de Propaganda e Engenharia, mantendo constante o tempo de escolaridade.

89 Voltando à Empresa TEMCO Assim, se Rose Jolie utilizasse dept da forma como foi construída, então ela estaria impondo uma restrição ao modelo, que não sabemos se é real. Ainda, se a ordem das categorias da variável departamento fosse alterada, estaríamos propondo um novo conjunto de restrições ao modelo, o que muito provavelmente nos levaria a resultados completamente diferentes do caso anterior. 10

90 Voltando à Empresa TEMCO Portanto, o ideal seria utilizar um grupo de variáveis que representasse os estados de interesse, que no nosso caso não apresentam nenhuma ordenação natural, de tal sorte a nunca alterar o resultado final, qualquer que seja o critério de criação adotado para a construção destas variáveis. 11

91 Variável Dummy A solução é, portanto, trabalharmos com algumas variáveis dummy. No geral, se temos p estados, devemos trabalhar com p 1 variáveis dummy.

92 Variável Dummy Para o nosso exemplo, poderíamos definir as variáveis dummy D C, D E e D P da seguinte maneira, para representar os estados da variável departamento: dept D C D E D P Compras Engenharia Propaganda Vendas

93 Variável Dummy Assim, partindo do modelo de regressão linear temos que: y i = educ i + 1 D Ci + 2 D Ei + 3 D Pi + I Compras: y i = ( ) + 2 educ i + i Engenharia: y i = ( ) + 2 educ i + i Propaganda: y i = ( ) + 2 educ i + i Vendas: y i = educ i + i 14

94 Variável Dummy Do slide 14, o parâmetro 1, por exemplo, pode ser interpretado como a diferença esperada entre os salários dos profissionais das áreas de Compras e Vendas, que apresentam o mesmo tempo de escolaridade. Ainda, vale lembrar que, estamos admitindo que o acréscimo médio no salário correspondente ao acréscimo em um ano de escolaridade é o mesmo para os quatro departamentos. 15

95 Variável Dummy Variáveis binárias como D C, D E e D P, que são incorporadas num modelo de regressão para dar conta de um deslocamento do intercepto como resultado de algum fator qualitativo, são chamadas de variáveis binárias de intercepto ou, simplesmente, variáveis dummy de intercepto. 16

96 Voltando à Empresa TEMCO Estimação dos Parâmetros do Modelo de Interesse salario ˆ 19235, ,96educ 5393,97 D 8065,52 D 6664, 36 D C E P 18

97 Voltando à Empresa TEMCO yvendas ˆ 19235, , 96educ ycompras ˆ 24629, , 96educ yengenharia ˆ 27301, , 96educ yˆ propaganda 25900, , 96educ Interprete as estimativas dos parâmetros 19

98 Observação 1 Vale recordar que a escolha dos valores de D C, D E e D V não é única. Entretanto, qualquer que seja a escolha, os resultados finais da estimação deverão ser sempre os mesmos. Observação 2 INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES LIGADOS ÀS VARIÁVEIS DUMMY Correspondem à diferença em relação ao valor do intercepto e, portanto, à categoria que ele representa ( benchmark, ou categoria de referência) 20

99 Exercício Num modelo de regressão linear que já que acomodou educ como variável explicativa para salário, seria interessante inserir a variável sexo em tal modelo? Salário (US$) SEXO masculino Anos de estudos após o segundo grau 14 feminino 21

100 Sexo Exercício (cont.) Masculino 1 Feminino 0 D S Modelo: y i = educ i + 3 D Si + i Feminino: y i = educ i + i Masculino: y i = ( ) + 2 educ i + i 22

101 Exercício (cont.) Estimação dos Parâmetros do Modelo de Interesse 23

102 Exercício (cont.) Forma usual salário ˆ 26040, , educ 2238, 26 D S yˆ fem 26040, , 16educ ymasc ˆ 23802, , 16educ Interprete as estimativas dos parâmetros 24

103 Modelo estimado com EDUC e SEXO Fem M asc Deste modo, estamos admitindo que a reta de regressão do salário em função da educação para homens é paralela à reta de regressão para as mulheres. 25

104 Variável Dummy de Inclinação 26

105 Variável Dummy de Inclinação No exemplo anterior, utilizando variáveis dummy de intercepto, ajustamos quatro retas com a mesma inclinação e diferentes interceptos. Veremos agora como podemos ajustar um modelo mais geral, no qual, por exemplo, também as inclinações podem ser distintas. 27

106 Variável Dummy de Inclinação Sejam D C, D E e D P as variáveis dummy do exemplo anteriormente citado. Considere, ainda, o seguinte modelo y = educ + + D C ( educ) + D E ( educ) + D P ( educ) + 28

107 Variável Dummy de Inclinação Assim, para cada um dos departamentos, teríamos os seguintes modelos de regressão: y vendas = educ + y compras = ( ) + ( )educ + y engenharia = ( ) + ( )educ + y propaganda = ( ) + ( )educ + 29

108 Variável Dummy de Inclinação Ou seja, o modelo de regressão linear y = educ + D C ( educ) + + D E ( educ) + D P ( educ) + faz com que sejam ajustadas quatro retas com interceptos e inclinações diferentes. 30

109 Variável Dummy de Inclinação Observe que o modelo anterior pode ser reescrito como y = educ + 0 D C + 2 D E + 4 D P educd C + 3 educd E + 5 educd P + Donde, não é difícil observar que os parâmetros associados às variáveis dummy D C, D E e D P, isoladamente, serão responsáveis pela alteração dos interceptos. Ainda, os parâmetros associados aos produtos de D C, D E e D P por educ serão responsáveis pela alteração dos coeficientes angulares.

110 Variável Dummy de Inclinação Finalmente, as variáveis educd C, educd E e educd P são chamadas de variáveis de interação, pois são responsáveis por capturar o efeito de interação entre a escolaridade e departamento sobre o salário. Traduzindo, o impacto na variação do salário esperado de indivíduos de setores diferentes, dada a variação de um ano na escolaridade desses indivíduos, podem ser diferentes. 32

111 Variável Dummy de Inclinação Modelo Estimado 33

112 Variável Dummy de Inclinação Resultado da estimação com EDUC, DEPT e interações yvendas ˆ 28013, , 49educ ycompras ˆ 19121, , 91educ yengenharia ˆ 24114, , 25educ yˆ propaganda 26274, , 03educ Interprete as estimativas dos parâmetros 34

113 Observação As quatro retas ajustadas simultaneamente, neste exemplo, são equivalentes às retas que obteríamos se ajustássemos separadamente um modelo para cada departamento. No entanto, este procedimento tem a vantagem de facilitar a construção dos testes de hipóteses envolvendo simultaneamente parâmetros das quatro retas. 35