Universidade Nova de Lisboa FACULDADE DE ECONOMIA

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1 Universidade Nova de Lisboa FACULDADE DE ECONOMIA Exame de Econometria I 1998/1999 (150 minutos) 12 de Janeiro de 1999 Nome ou nº por extenso: Na folha existem espaços para apresentar as suas respostas. Defina todos os termos sublinhados e explicite as variáveis que criar. Faça uma boa afectação do seu tempo. Identifique todas as folhas nos locais indicados. Nenhuma alínea vale mais que 1,5 valores. Boa Sorte! I (17 valores) Uma análise dos efeitos da educação nos salários é baseada na seguinte equação: yi = a j + bj * edi + cj *exp i+ ui onde y é o logaritmo natural do salário, ed é a educação, exp é a experiência, u é um resíduo distribuído normalmente (0,σ 2 I) e j=1 se o indivíduo for do sexo masculino (T1 observações) e j=2 se o indivíduo for do sexo feminino (T2 observações). a) Escreva o modelo acima na forma Y = Xβ + U explicitando Y, X, β. b) Qual o estimador dos parâmetros pelo método dos mínimos quadrados ordinário? B =

2 c) Diga quais as hipóteses do Teorema de Gauss-Markov (hipóteses do modelo clássico de regressão linear). d) Mostre que este modelo satisfaz as referidas hipóteses. e) Qual o valor esperado de B achado em b) (justifique). Veja se é não enviesado. f) Qual a matriz das variâncias/covariâncias de B? g) Mostre que os estimadores achados em b) são os melhores estimadores lineares não enviesados.

3 Dizem-lhe agora que a variância na sub-amostra das mulheres é quadrupla da 2 2 variância na sub-amostra dos homens; ou seja σ = 4σ. h) A matriz das variâncias/covariâncias de u é (justifique): 2 1 i) O valor esperado de u é (justifique): Tem assim um modelo em que o resíduo tem o valor esperado nulo e tem uma matriz de variâncias/covariâncias V que não é diagonal unida. j) Que propriedade de V lhe permite escrever V = P P, em que P é não singular? Vai agora transformar o modelo original de modo a que os resíduos satisfaçam as hipóteses do modelo clássico de regressão linear. l) Como se obtém o modelo transformado? m) Mostre que os resíduos da equação transformada ( u * ) satisfazem as hipóteses do modelo clássico de regressão linear. n) O melhor estimador linear não enviesado é dado por B1=

4 o) Agora vai descrever em detalhe como testa, com um grau de significância α, a hipótese que a equação é a mesma para homens e mulheres. Vai ainda justificar a distribuição do teste. o.1. A hipótese nula e a hipótese alternativa são: H0: e Ha: O que em termos gerais se pode representar como: H0: Rβ = r Ha: Rβ r o.2. O que é R e r? R = r= Suponha que a hipótese nula se verifica. o.3. Qual o valor esperado e a matriz das variância/covariâncias de RB1? E( RB1) = VAR / COV ( RB1) = o.4. Qual a distribuição de RB1? RB1 ~ ' *' * ' o.5. Mostre que ( RB1 r) ( R( X X ) 1 R ) 1 ( RB1 r)/ σ 2 é igual a * ' * ( u ) M u / σ 2. Justifique r M r =

5 o.6. Mostre que M r é simétrica e idempotente. Qual a característica de M r? Justifique. o.7. Qual a importância de M r ser simétrica e idempotente? ' *' * ' o.8. Qual a distribuição de ( RB1 r) ( R( X X ) 1 R ) 1 ( RB1 r)/ σ 2? ' *' * ' o.9. ( RB1 r) ( R( X X ) 1 R ) 1 ( RB1 r)/ σ 2 e ee são independentes. O que é 2 σ e? o.10. Dados os resultados acima ' *' * 1 ' 1 ( RB1 r) ( R( X X ) R ) ( RB1 r)/ i F = ee ' / h distribuição F(i,h). é distribuído segundo uma onde i= h= o.11. Achado o valor F como testa a hipótese nula com um grau de significância α.

6 0.12. Que teste utilizaria para verificar a existência heteroscedasticidade entre a sub-amostra de mulheres e de homens. Como o implementaria? II (3 valores) Suponha que no modelo de I original, u é um resíduo distribuído normalmente (3,σ 2 I). Estude o enviesamento e a consistência do estimador ordinário de mínimos quadrados ordinário de b 1.