Universidade Nova de Lisboa FACULDADE DE ECONOMIA

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1 Universidade Nova de Lisboa FACULDADE DE ECONOMIA Nome: Exame de Econometria I 1998/1999 (150 minutos) 5 de Fevereiro de 1999 Na folha existem espaços para apresentar as suas respostas. Defina todos os termos sublinhados e explicite todas as variáveis que criar. Faça uma boa afectação do seu tempo. Boa Sorte! I (17 valores) Seja uma função de produção do tipo Cobb-Douglas α2 α3 P = Aj K L em que P é a produção total, K o montante de capital e L o montante de trabalho, A j uma constante desconhecida que toma dois valores conforme a empresa se localiza ou não na região de Lisboa (j=1,2). Esta função é linearizável, sendo ln P = ln Aj + α2 ln K + α3 ln L em que lnx é o logaritmo natural de x. O modelo que vai utilizar na estimação é: ln Pt = α0 + α1d+ α2 ln Kt + α3 ln Lt + ut onde u t é distribuído normalmente com valor esperado igual a 0, var(u t )=σ 2 e cov(ut, u t ) = 0. D uma variável binária (dummy) igual a 1 se a empresa se localiza na região de Lisboa e igual a zero nos outros casos. Existem 100 observações na amostra, sendo as 30 primeiras da região de Lisboa. a) (1) Escreva o modelo acima na forma Y = Xβ + U explicitando Y, X, β. 1

2 b)(.5) O estimador dos parâmetros pelo método dos mínimos quadrados ordinários é B = c)(.5) Indique qual a distribuição de α 1 estimado (a 1 ). a 1 ~ d)(.5) Dizem-lhe que a região não influencia a função de produção. Indique qual a hipótese nula e alternativa para testar esta hipótese. H0: e Ha: e)(.5) Indique a estatística que vai utilizar no teste. f)(1) Qual a distribuição da estatística utilizada? Sob que hipóteses a estatística tem a distribuição referida? g)(1) A estatística calculada tem o valor 20, qual a conclusão do teste? Justifique. h) Agora vai descrever em detalhe um modo alternativo de testar, com um grau de significância α, a hipótese que a função de produção não depende da região de localização da empresa. Vai ainda justificar a distribuição do teste. h.1.(.5) A hipótese nula e a hipótese alternativa são: H0: Rβ = r Ha: Rβ r onde R = r = Suponha que a hipótese nula se verifica. h.2.(.5) Qual a distribuição de RB? 2

3 1 h.3.(1) Mostre que R( X X) R é definida positiva. h.4.(.5) Sabendo que se 1 2 ε ~ N( 0, Ε) em que Εé definida positiva, então ε Ε ε ~ Χ ( n). n n Qual a distribuição de ( RB) ( R( X X ) R ) ( RB)/ σ? h.5.(1.5) Mostre que ( RB) ( R( X X ) R ) ( RB)/ σ e ee 2 são independentes. O que σ é e? 3

4 h.6.(.5) Dados os resultados acima 1 1 ( RB) ( R( X X ) R ) ( RB) F = i ee h é distribuído segundo uma distribuição F(i,h). onde i= h= h.7.(1) Qual o valor de F(relacione com a alínea g))? Justifique. i) O seu Professor diz-lhe que foi ele que gerou a amostra mas que fez u t distribuído normalmente com valor esperado igual a 0, var(u t )=σ t 2 = c0 + c 1 lnl t + c 2 lnk t (onde c 0, c 1 e c 2 são conhecidos e positivos) e cov(u t, u t ) = 0 em que t é a ordem da observação. i.1.(.5) Se não modificar os seus estimadores, quais as propriedades (melhor estimador linear não enviesado) que o estimador B (ver b) acima) não verifica? i.2.(1) Um dos modos de "corrigir" o modelo é multiplicá-lo por uma matriz P. O que é P neste caso? P = i.3.(1.5) Seja µ = PU. Mostre que µ está nas condições do modelo clássico de regressão linear. 4

5 i.4. (.5)Vai agora aplicar o modelo clássico (ordinário) às variáveis transformadas obtendo o seguinte estimador, em termos de variáveis originais. Defina todas as matrizes que utilizar. B g = j)(1) Se o Professor não lhe tivesse dito as variâncias, mas suspeitasse que eram diferentes e do tipo acima, será que podia ter utilizado um teste de Goldfeld e Quandt para testar a igualdade das variâncias? Justifique. l)(.5) Qual o teste que devia utilizar? m)(1.5) Qual a probabilidade limite (plim) de B achado em b) (justifique). Verifique que é um estimador consistente. 5

6 II (3 valores) Num estudo de rendibilidade da educação utilizou-se a seguinte estimação ln w = α + β ED+ υ, onde w é o salário horário e ED é a educação do próprio. Desconfia-se que a educação e os resíduos não são independentes, por isso, propõemlhe que utilize a educação do Pai (EDP) e da Mãe (EDM) como instrumentos. Na notação do livro Z é a matriz das variáveis originais e X é a matriz das variáveis instrumentais. a)(.75) O que é Z e X neste caso? b)(.5) Quais as hipóteses que se estão a colocar em relação à educação dos pais para serem utilizados como variáveis instrumentais? c)(.5) Quais os estimadores de variáveis instrumentais de α e β? d)(1.25) Mostre que este estimador pode ser obtido fazendo sucessivamente duas regressões. 6