ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA. Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA. Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM"

Benedicto Osório Mirandela
6 Há anos
Visualizações:

1 ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM

2 UM EXEMPLO DE APLICAÇÃO Digamos que temos 6 métodos de ensino aplicados a 30 crianças cada e gostaríamos de fazer uma comparação entre os métodos. Fazendo-se a comparação a por meio do teste Z ou do teste t exigiria a execução de 15 testes, pois por 6 6! meio de combinação temos 15 testes, ou! 4! então optar pela análise de variância, onde as hipóteses testadas seriam:

3 H 0 : 1 = =... = i H 1 : Existe pelo menos uma das médias diferentes. Na tabela abaixo apresenta-se os métodos de ensino A, B, C, D, E e F, a média apresentada por cada método, o desvio padrão, o n de crianças em cada método e o respectivo grau de liberdade gl = = N 1.

4 A B C D E F X S 173, 168,7 170,1 169, ,6 N gl

5 Uma análise de variância permite que vários grupos sejam comparados a um só tempo, utilizando variáveis contínuas. O teste é paramétrico (a variável de interesse deve ter distribuição normal) e os grupos têm que ser independentes.

6 Considerando uma variável de interesse com média e variância temos dois estimadores de : S E = dispersão entre os grupos, que em inglês é representado por S B (between). S D = dispersão dentro dos grupos, que em inglês é representado por S W (within). O teste é aplicado utilizando a estatística calculada F S S B W que é o teste que compara variâncias.

7 A variância das médias amostrais é calculada por S x x i - k - 1 k x onde k representa o universo de grupos, logo o grau de liberdade = k 1. Neste exemplo, como o N é igual para os 6 grupos, podemos proceder:

8 Determinando S E : xi = = 456 x i = (456) x i = = k = 6

9 S x ,6 logo pela distribuição amostral das médias temos que : S x S N S S x.n S = (15,6). (30) = 468.

10 Mas S = S E, onde =. N.S x S E = N x i - k - 1 k x i S E = 468 k 1 = 5 graus de liberdade.

11 Determinando S D : S D N 1-1 S 1 N - 1 S... N k - 1 S k N - 1 N - 1 N N k S D , , , S D 170, com 174 graus de liberdade.

12 Aplicando-se o teste, temos: F S S E D ,, graus de liberdade do numerador 174 graus de liberdade do denominador Note que, neste teste, numerador e S D S E no denominador. sempre fica no

13 Utilizando-se a estatística tabelada F a 5% tem-se que F (5,174); 5% =,1, onde F alc > F tab, onde a Hipótese H 0 é rejeitada, isto é, existe pelo menos 1 média diferente das demais.

14 EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE AO ACASO (AMOSTRAS DE MESMO TAMANHO)

15 As hipóteses básicas à aplicação da ANOVA são de que: - as K populações tenham a mesma variância - condição de homocedasticidade; - a variável de interesse seja normalmente distribuída em todas as populações.

16 A idéia, na análise de variância (ANOVA), é comparar a variação devida aos tratamentos com a variação devida ao acaso ou resíduo.

17 Tabela 01 - Experimento inteiramente ao acaso Tratamento Total k y 11 y 1 y 31 y k1 y 1 y y 3 y k y 13 y 3 y 33 y k y 1r y r y 3r... y kr Total T 1 T T 3... T k T = y N o de repetições r r r... r n = kr Média y 1 y y 3... y k

18 Cálculos para realizarmos uma ANOVA: a) os graus de liberdade: tratamentos = k - 1; total = kr - 1; resíduo = k(r-1).

19 b) Fator de correção: C n y c) a soma de quadrados total: SQ Tot y C

20 d) a soma de quadrados de tratamentos: SQ Trat T r C e) a soma de quadrados de resíduo: SQ Res = SQ Tot SQ Trat

21 f) o quadrado médio de tratamento: QM Trat SQ Trat k 1 g) o quadrado médio de resíduo: QM Res SQ Res k(r 1)

22 h) o valor de F: F QM QM Trat Res

23 Quadro da ANOVA de um experimento inteiramente ao acaso Causas de SQ GL QM F variação Tratamentos SQ Trat k - 1 QM Trat. Resíduo SQ Res. k(r - 1) QM Res. Res. Total SQ Tot. kr - 1 F QM QM Trat. Note que os quadrados médios são obtidos dividindo as somas de quadrados pelos respectivos graus de liberdade.

24 Para testar as hipóteses é utilizada a estatística F de Snedecor, com (k 1) graus de liberdade no numerador e k. (r 1) graus de liberdade no denominador. Se F c > F, 1, rejeita-se H 0 e conclui-se que existe pelo menos uma média que difere de outra.

25 Se F calc > F tab, rejeitar H 0. Neste caso dizemos que existem diferenças Estatisticamente significativas entre as médias. Se F calc < F tab, não rejeitar H 0. Quando isso ocorre, dizemos que não existem evidências estatísticas de que as médias sejam diferentes.

26 O p-valor Um procedimento de teste equivalente usa a probabilidade de significância (p-valor), a qual é calculada pela maioria dos programas estatísticos. O p-valor representa a probabilidade de ser obtida uma observação da distribuição F com k 1 e k(r 1) graus de liberdade maior ou igual ao valor observado pela F calc. Note que se o p-valor for menor que, rejeitamos H 0.

27 Se p-valor <, rejeita-se H 0. Em outras palavras, o p-valor é a probabilidade, sob H 0, de ocorrência do valor particular observado para a estatística de teste ou de valores mais extremos. A probabilidade de significância de um teste mede a força da evidência contra H 0 em uma escala numérica. Um p-valor pequeno indica uma forte justificativa (evidência) para a rejeição de H 0.

28 Exemplo 3.1 Suponhamos que um pesquisador conduziu um experimento inteiramente ao acaso em um conjunto de dados que se pressupõe que sejam normalmente distribuídos e que possuem homocedasticidade. O interesse do pesquisador é avaliar se existe uma diferença significativa entre os tratamentos T 1, T e T 3. Como você ajudaria este pesquisador por meio da ANOVA utilizando um nível de significância de 5%?

29 T 1 T T Total Soma Médias

30 Exemplo 3. Um fornecedor alimenta a linha de produção de uma determinada indústria com peças em que a sua espessura é medida em milímetros e produzidas pelas máquinas M A, M B e M C, verifique se existe diferença significativa na espessura média destes itens ao nível de 5%.

Documentos relacionados

EXPERIMENTAÇÃO AGRÍCOLA. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

EXPERIMENTAÇÃO AGRÍCOLA. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari EXPERIMENTAÇÃO AGRÍCOLA Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari amanda@fcav.unesp.br INTRODUÇÃO Muitas vezes, embora se tenha cuidado no planejamento e Ao planejar um experimento, o pesquisador