Econometria em Finanças e Atuária

Transcrição

1 Ralph S. Silva Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro Maio-Junho/2013

2 Modelos condicionalmente heterocedásticos Modelos condicionalmente heterocedásticos O objetivo é a modelagem da volatilidade do retorno de um ativo. Os modelos são chamados de condicionalmente heterocedásticos. A volatilidade é um fator importante na negociação de opções (fórmula de Black-Scholes). A volatilidade significa a variância (ou desvio padrão) condicional do retorno de um ativo. A modelagem da volatilidade de uma série temporal pode melhorar a eficiência na estimação dos parâmetros e na precisão do intervalo de previsão. Veremos os seguintes modelos: ARCH: autoregressivo condicionalmente heterocedástico; GARCH: ARCH generalizado; e SV: volatilidade estocástica.

3 Características da volatilidade Características da volatilidade A volatilidade de uma ação não é diretamente observável. Isto implica que é difícil avaliar a performance de previsão nos modelos condicionalmente heterocedásticos. Existem conglomerados de volatilidade (períodos de alta e de baixa). A volatilidade muda de forma contínua através do tempo. A volatilidade não diverge para o infinito. Logo, a volatilidade é geralmente estacionária. A volatilidade parece reagir diferentemente para um aumento grande de preço ou uma queda grande de preço, conhecido como efeito de influência (leverage).

4 Características da volatilidade Log Retorno Tempo Figura : Log retornos diários do IBOVESPA de 3 de janeiro de 2000 a 26 de abril de 2013.

5 Características da volatilidade ACF ACF Defasagem (a) Log retornos Defasagem (b) Valor absolutos log retornos ACF Defasagem PACF Defasagem (c) Quadrados dos log retornos (d) Quadrados dos log retornos Figura : ACF e PACF amostral para algumas funções do log retornos diários do IBOVESPA de 3 de janeiro de 2000 a 26 de abril de 2013.

6 Características da volatilidade O ACF dos retornos r t sugerem que os mesmos são não correlacionados. O ACF de r t e rt 2 sugerem que estas séries são correlacionadas. Logo, os retornos r t são dependentes. Os modelos de volatilidade tentam capturar esta dependência na série de retornos. Seja F t 1 a informação disponível até o tempo t 1. Temos que µ t = E(r t F t 1) e σ 2 t = Var(r t F t 1). Como visto no gráfico anterior, a série de retornos tem uma estrutura de correlação baixa. Podemos utilizar um modelo ARMA(p, q) e regressores. Temos r t = µ t + a t e k p q µ t = α + β jx jt + φ jr t j + θ ja t j, j=1 para algum k inteiro e x jt como regressores. Para dados diários, x jt poderia ser uma variável binária representando a segunda-feira para estudar o efeito do fim de semana no preço de uma ação. j=1 j=1

7 Modelos ARCH Modelos ARCH Um modelo ARCH(m) é dado por a t = σ tε t, σ 2 t = α 0 + α 1a 2 t 1 + α 2a 2 t α ma 2 t m, sendo ε t uma sequência iid com média 0 e variância 1; e α 0 > 0 e α j 0 para j > 0. Os coeficientes α j devem satisfazer a certas condições para garantir que a variância incondicional de a t seja finita. Em geral, ε t segue distribuição normal ou t-student. Podemos incluir outras distribuições e também permitir a modelagem da assimetria. Note que valores de {a 2 t j} m j=1 grandes, implicam que σ 2 t será grande. Se σt 2 é grande, então a t poderá ser grande com maior probabilidade (se comparado a um σt 2 menor).

8 Modelos ARCH Log Retorno Tempo (a) Log retornos Log Retorno Tempo (b) Quadrados dos log retornos Figura : Log retornos e log retornos ao quadrado diários do IBOVESPA de 3 de janeiro de 2000 a 26 de abril de 2013.

9 Construção do modelo Construção do modelo Construir um modelo de volatilidade para um série de retornos de um ativo consiste em quatro passos: 1. Especifique a equação da média testando a dependência serial nos dados. Se necessário, construir um modelo econométrico (por exemplo um modelo ARMA) para a série de retornos para remover qualquer dependência linear. 2. Use os resíduos da equação da média para testar a existência de efeitos ARCH. 3. Especifique um modelo de volatilidade se os efeitos ARCH são estatisticamente significantes e faça a estimação conjunta das equações da média e da volatilidade. 4. Verifique o modelo ajustado cuidadosamente e refine-o se necessário.

10 Construção do modelo A maioria das séries de retornos tem correlação serial fraca (talvez só precisemos remover a média). Para algumas séries de retornos diários, um modelo AR pode ser necessário. Em outros caso uma váriavel indicadora pode ser necessário (indicadora do dia da semana ou do mês).

11 Construção do modelo Teste para efeitos ARCH Seja a t = r t µ t os resíduos da equação da média. A série {a 2 t } é usada para verificar a heterocedasticidade condicional (efeitos ARCH). Teste de Ljung-Box com a estatística Q(m) para a série {at 2 }. H 0: as primeiras m defasagens da ACF de at 2 são zero.

12 Construção do modelo Teste para efeitos ARCH Teste dos Multiplicadores de Lagrange. Este é equivalente ao teste F. H 0 : γ 1 = γ 2 = = γ m = 0, no modelo de regressão a 2 t = γ 0 + γ 1a 2 t γ ma 2 t m + e t, t = m + 1,..., T, sendo e t o termo de erro. T Seja SSR 0 = (at 2 ω) 2, sendo ω = 1 T Seja SSR 1 = t=m+1 T t=m+1 T at 2. t=1 ê 2 t, sendo ê t os resíduos de mínimos quadrados. Logo, F = (SSR 0 SSR 1 )/m SSR 1 /(T 2m 1) χ2 m, e rejeitamos H 0 ao nível de significância α se F > χ 2 m (α). Mostrar exemplo no R: aplicacao_08.r

13 Construção do modelo Fraquezas dos modelos ARCH O modelo assume que choques positivos e negativos têm o mesmo efeito na volatilidade. As restrições do modelo ARCH são bem complicadas. (Por exemplo, para um ARCH(1) devemos ter α 2 1 [0, 1/3] se a série tiver o quarto momento finito.) Os modelos ARCH não nos ajudam a entender a fonte de variação de uma série temporal financeira (apenas descreve o comportamento). Os modelos ARCH em geral fazem previsões acima para a volatilidade porque eles respondem devagar a choques grandes e isolados da série de retornos.

14 Construção do modelo Construindo um modelo ARCH Para determinar a order, podemos utilizar a PACF de a 2 t. No modelo, temos σ 2 t = α 0 + α 1a 2 t 1 + α 2a 2 t α ma 2 t m. Podemos substituir σ 2 t por seu estimador não tendencioso a 2 t. Assim, teremos um modelo similar ao AR(m). A estimação de modelos ARCH é feita através do método da máxima verossimilhança (condicional). A função de verossimilhança é complicada e métodos numéricos são empregados para se obter as estimativas. Podemos utilizar erros normais, t-student, GED, e algumas distribuições assimétricas.

15 Construção do modelo PACF Defasagem Figura : Autocorrelação parcial para os resíduos do modelo AR(3) ajustado aos log retornos diários do IBOVESPA de 3 de janeiro de 2000 a 26 de abril de 2013.

16 Construção do modelo Verficação do modelo Previsão Do modelo ARCH, temos que at σ t = ε t, sendo ε t um ruído branco. Assim, os resíduos padronizados ât = e t devem se comportar como ruído ˆσ t branco. Teste de Ljung-Box para verificar a dependência. Teste de Jarque e Bera (no caso de normalidade). Histogramas, boxplot e qq-plot para analisar a hipótese da distribuição (normal, t-student, etc.) A previsão do modelo ARCH pode ser obtida recursivamente como as de um modelo AR. Mostrar exemplo no R: aplicacao_09.r (só a parte ARCH e sua previsão)

17 Modelos GARCH Modelos GARCH Um modelo GARCH(m, s) é dado por a t = σ tε t, σt 2 = α 0 + α 1at α 2at α mat m 2 +β 1σt β 2σt β sσt s, 2 sendo ε t uma sequência iid com média 0 e variância 1; α 0 > 0 e α j 0 para j > 0, e β j 0 para j 1; e max(m,s) (α j + β j ) < 1 (para a variância incondicional de a t ser finita). i=j

18 Modelos GARCH Se s = 0, então o modelo se reduz a um ARCH(m). Os α j s são chamados de parâmetros ARCH e os β j s de parâmetros GARCH. O modelo pode resultar em uma forma mais simples de descrever a volatilidade de uma série. Em geral, aplicamos o método de máxima verossimilhança condicional. Os modelos GARCH, após alguns cálculos, podem ser vistos como um ARMA no quadrado dos retornos. A previsão do modelo GARCH pode ser obtida recursivamente como as de um modelo ARMA. Na prática, os melhores ajustes são dados por modelos GARCH(1,1), GARCH(2,1) ou GARCH(1,2). Mostrar exemplo no R: aplicacao_09.r (parte GARCH)

19 Modelo de volatilidade estocástica Modelo de volatilidade estocástica O modelo de volatilidade estocástica é uma alternativa ao modelo GARCH. Estamos interessados em modelar a volatilidade. Este modelo também está na classe dos modelos dinâmicos. O modelo: r t = exp{h t/2}ε t, ε t N (0, 1) h t = α + φ(h t 1 α) + ω t, ω t N (0, σ 2 ), para t = 1, 2,..., T. r t é o log retorno, isto é, r t = ln(p t) ln(p t 1); h t é a log volatilidade; α é o intercepto (constante); φ é o parâmetro de persistência; e σ 2 é a variância das log volatilidades.

20 Modelo de volatilidade estocástica Distribuição a posteriori: p(α, φ, σ 2, h 1:T y) [ T ] [ T ] p(y t h t) p(h t h t 1, α, φ, σ 2 ) t=1 t=2 p(h 1 α, φ, σ 2 )p(α, φ, σ 2 ), sendo p(α, φ, σ 2 ) a distribuição a priori. Em geral, assumimos que p(α, φ, σ 2 ) = p(α)p(φ)p(σ 2 ). Temos a restrição φ < 1. Vamos impor que 0 φ < 1.

21 Modelo de volatilidade estocástica Distribuição a priori: h 1 N ( α, ) σ 2 1 φ 2 α N (0; 10000) φ Beta(20; 1, 5) σ 2 IG(2, 5; 0, 025) (inversa gama).

22 Modelo de volatilidade estocástica Exemplo: Retornos do Reino Unido (MSCI) Retornos Semanas Figura : Retornos semanais do Reino Unido (MSCI) de 6/jan/2000 a 28/jan/2010 (T=526).

23 Modelo de volatilidade estocástica Resultados Previsão Mostrar exemplo no WinBUGS: volatilidade_01.odc Parâmetro Média D.P. 2,5% Mediana 97,5% α -7,534 0,4505-8,282-7,545-6,713 φ 0,966 0,0171 0,927 0,968 0,993 σ 2 0,056 0,0256 0,021 0,052 0,120 A previsão segue o padrão mostrado para os modelos dinâmicos. Mostrar exemplo no WinBUGS: volatilidade_02.odc Superposição de modelos A equação da média com estrutura de tendência estável: r t = γ t + exp{h t/2}ε t e γ t = γ t 1 + ξ t, ξ t N (0, δ 2 ). Podemos incluir o retorno defasado como um AR, por exemplo r t = γ + βr t 1 + exp{h t/2}ε t.

24 Modelo de volatilidade estocástica Resultados do modelo r t = γ + βr t 1 + exp{h t/2}ε t h t = α + φ(h t 1 α) + ω t. Mostrar exemplo no WinBUGS: volatilidade_03.odc Parâmetro Média D.P. 2,5% Mediana 97,5% α -7,575 0,3852-8,2750-7,5800-6,8450 φ 0,960 0,0190 0,9165 0,9623 0,9899 σ 2 0,068 0,0299 0,0254 0,0624 0,1380 γ 0,002 0,0009 0,0002 0,0020 0,0038 β -0,014 0,0297-0,0973-0,0022 0,0233