teoria de probabilidade e estatística, uma sequência de palavra série de tempo é usada alternativamente para

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1 Na teoria de probabilidade e estatística, uma sequência de variáveis aleatórias é independente e indenticamente distribuida (i.i.d) se cada variável aleatória tem a mesma distribuição de probabilidade que as outras e são todas mutuamente independentes. A palavra série de tempo é usada alternativamente para uma amostra {xt }, tal como o PNB de 1947:1 até hoje, e para a probabilidade de um modelo para aquela amostra - a distribuição de probabilidades conjunta de variáveis aleatórias {xt }. 1

2 Um modelo de probabilidade possível para a distribuição conjunta de uma série de tempo é o modelo de ruído branco x t = ɛ t, ɛ t i.i.d N(0, σ 2 ). O problema com este modelo é que as séries de tempo econômicas em geral não são uma variável aleatória independente e identicamente distribuida. 2

3 Ruído branco Base das séries de tempos ɛ t i.i.d. N(0, σ 2 ) E(ɛ t ) = E(ɛ t ɛ t 1, ɛ t 2...) = 0 E ( ɛ t, ɛ t j ) = cov ( ɛ t, ɛ t j ) ) = 0 var (ɛ t ) = var (ɛ t ɛ t 1, ɛ t 2...)=σ 2 ɛ 3

4 Modelos ARMA AR(1) : x t = φx t 1 + ɛ t MA(1): x t = ɛ t + θɛ t 1 AR(p) : MA(q): ARMA(p,q) Operadores Lags e Polinômios L 2 x t = LLx t = Lx t 1 = x t 2 L j x t = x t j Polinômios em lag: a (L) x t = ( a 0 L 0 + a 1 L 1 + a 2 L² ) x t = a 0 x t + a 1 x t 1 + a 2 x t 2 4

5 Modelos ARMA: AR(1): x t = φlx t + ɛ t = (1 φl) x t = ɛ t AR(p): ( 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p) x t = ɛ t AR(p): A (L) x t = ɛ t ou a (L) x t = ɛ t MA(q): x t = ( 1 + θ 1 L + θ 2 L 2 +.(1.. + θ q L q) ɛ t MA(q): x t = B(L)x t ou x t = b(l)x t ARMA(p,q): a(l)x t = b(l)ɛ t 5

6 AR(1) para MA( ) Usando substituição recursiva ou operadores lag. Comece com um AR(1) x t = φx t 1 + ɛ t Substitua recursivamente x t = φ (φx t 2 + ɛ t 1 ) + ɛ t = x t = φ k x t k + φ k 1 ɛ t k φɛ t 1 + ɛ t AR(1)= ARMA(k,k-1) 6

7 Se o φ < 1 o lim k φ k x t k = 0 = x t = j=0 φ j ɛ t j AR(1)= MA( ) Usando operadores Lag (1 φl) x t = ɛ t = x t = (1 φl) 1 ɛ t Verifique a seguinte expressão: (1 z) 1 = 1 + z + z² + z³+...para z <1 Supondo que φ <1= φl < 1 chegamos: x t = j=0 φ j ɛ t j 7

8 AR(p) para MA( ) Considere um AR(2) x t = φ 1 x t 1 + φ 2 x t 2 + ɛ t = ( 1 φ 1 L φ 2 L 2) x t = ɛ t Fatorando o polinomio chegamos: ( 1 φ 1 L φ 2 L 2) = (1 λ 1 L) (1 λ 2 L) Precisamos inverter: x t = (1 λ 1 L) 1 (1 λ 2 L) 1 ɛ t x t = j=0 λ j 1 Lj j=0 λ j 2 Lj ɛt a resolução é cansativa 8

9 Técnica do fracionamento: 1 (1 λ 1 L)(1 λ 2 L) = a 1 λ 1 L + 1 λ b 2 L = a(1 λ 1L)+b(1 λ 2 L) (1 λ 1 L)(1 λ 2 L) Numerador tem que ser igual a 1. Segue-se: a + b = 1 λ 2 a + λ 1 b = 0 Resolvendo: b = λ 1 λ 2 λ a = λ 2 1 λ 1 λ 2 1 (1 λ 1 L)(1 λ 2 L) = λ 2 1 λ 1 λ 2 1 λ 1 L + λ 1 1 λ 2 λ 1 1 λ 2 L x t = λ 2 λ 1 λ 2 j=0 λ j 1 ɛ t j + λ 1 λ 2 λ 1 j=0 λ j 2 ɛ t j x t = j=0 λ 2 λ 1 λ 2 λ j 1 + λ 1 λ 2 λ λ j 1 2 ɛt j Lembra solução equação diferencial (exponencial nas raizes). 9

10 MA para AR( ) é fácil: x t = b(l)ɛ t = b(l) 1 x t = ɛ t Funções Autocovariância e Autocorrelação Autocovariância de uma série {x t }é definida como: γ j = cov(x t, x t j ) cov(x t, x t j ) = E [ (x t E (x t )) ( x t j E ( x t j ))] Como estamos supondo E(x t ) = 0 ou sem constantes, γ j = cov(x t, x t j ) = E(x t.x t j ) γ 0 = var(x t ) Autocorrelação: ρ j = γ j γ 0 Essas estatísticas são importantes para caracterizar a distribuição 10

11 das séries. 11

12 Autocorrelações e autocovariancias de processos ARMA Ruído Branco ɛ t i.i.d. N(0, σ ɛ ²) γ 0 = σ ɛ ², γ j = 0 para j 0 ρ 0 = 1, ρ j = 0 para j 0 MA(1) x t = ɛ t + θɛ t 1 Autocovariância γ 0 = var(ɛ t + θɛ t 1 ) = σ 2 ɛ + θ 2 σ 2 ɛ = (1 + θ 2 )σ 2 ɛ γ 1 = E((ɛ t + θɛ t 1 )(ɛ t 1 + θɛ t 2 )) = θσ 2 ɛ 12

13 γ 2 = E((ɛ t + θɛ t 1 )(ɛ t 2 + θɛ t 3 )) = 0 γ 3... = 0 Autocorrelação ρ 1 = 1+θ2 θ ρ 2 = 0 MA(2) x t = ɛ t + θ 1 ɛ t 1 + θ 2 ɛ t 2 γ 0 = E(ɛ t + θ 1 ɛ t 1 + θ 2 ɛ t 2 ) 2 = (1 + θ θ 2 2)σ 2 ɛ γ 1 = E((ɛ t + θ 1 ɛ t 1 + θ 2 ɛ t 2 )(ɛ t 1 + θ 1 ɛ t 2 + θ 2 ɛ t 3 )) = (θ 1 + θ 2 θ 1 )σ 2 ɛ γ 2 = θ 2 σ 2 ɛ γ 3 = γ 4 =... = 0 Autocorrelações: 13

14 ρ 1 = (θ 1 + θ 1 θ 2 )/(1 + θ1 2 + θ2) 2 ρ 2 = θ 2 /(1 + θ1 2 + θ2) 2 Padrão, MA(q) apresentam q autocorrelações diferentes de zero. Interessa também o padrão de MA( ) x t = θ(l)ɛ t = j=0 (θ j L j ) ɛ t γ k = θ j θ j+k σɛ 2 Todas as E(ɛ j ɛ k ) = 0 AR(1) Usar a representação do AR(1) por MA( ) 14

15 (1 φl) x t = ɛ t = x t = (1 φl) 1 ɛ t = φ j ɛ t j γ 0 = j=0 (φ 2j ) σ 2 ɛ = 1 1 φ 2 σ 2 ɛ γ 1 = ( φ j φ j+1) σɛ 2 = φ ( φ 2j ) σɛ 2 = γ k = φk 1 φ 2 σɛ 2 ρ k = φ k φ 1 φ 2 σ 2 ɛ Outra forma de calcular as autorrelações γ 1 = E(x t x t 1 ) = E((φx t 1 + ɛ t )(x t 1 )) = φσ 2 x ρ 1 = φ γ 2 = E(x t x t 2 ) = E((φx t 1 + ɛ t )(x t 2 )) = E((φ 2 x t 2 + φɛ t 1 + ɛ t )(x t 2 )) = φ 2 σ 2 x ρ 2 = φ 2 γ k = φ k σ 2 x ρ k = φ k 15

16 Estacionariedade e representação de Wold Os momentos não dependem do tempo calendário E(x t ) = E(x s ) para todo t e s. E(x t x t j ) = E(x s x s j ) para todo t e s. Definições Um processo {x t }é fortemente estacionário ou estritamente estacionário se a distribuição de probabilidade conjunta de {x t s,.., x t,...x t+s }é independente de t para todo s. 16

17 Um processo {x t }é fracamente estacionário ou covariancia estacionário se E(x t ) e E(x 2 t) são finitos e E(x t x t j ) dependem apenas to j e não do t. Raizes Unitárias Caminho aleatório x t = x t 1 + ɛ t ; E t 1 (ɛ t ) = 0; E t (x t+1 ) = x t Tendências estocásticas: tendência linear do PNB não se verificou recentemente sugerindo outros modelos Choques permanentes: teoria sugeriu possibilidades de que os choques fossem permanentes 17

18 Questões estatísticas: Nelson e Plosser (1982) não conseguiam rejeitar raizes unitárias séries economicas, confirmando choques permanentes. Campbell e Mankiw (1987) também nao rejeitaram as raizes unitárias e justificaram pela rigidez dos preços. Distribuição de estimações de AR(1) Suponha uma série gerada por um caminho aleatório y t = y t 1 + ɛ t Uma maneira é estimar por OLS y t = µ + φy t 1 + ɛ t 18

19 O problema é que as propriedades usuais dos estimadores não se verificam e não convergem em probabilidade. Dickey e Fuller as propriedades dos testes tradicionais e concluiram que são viesados para baixo levando a aceitar a estacionariedade quando as séries podem ser raizes unitárias. Eliminação inapropriada da tendência: y t = µ + y t 1 + ɛ t y t = bt + (1 φl) 1 ɛ t (1 φl)y t = (1 φl)bt + ɛ t = bt φb(t 1) + ɛ t = φb + b(1 φ)t + ɛ t 19

20 ou y t = α + γt + φy t 1 + ɛ t Processos estacionários e de raiz unitária Considere o processo com raiz unitária ou processo estacionário em diferenças (DS) Vamos tomar a(l) = 1. Neste caso (DS) é um caminho aleatório (random walk) com deslocamento (drift). y t = µ + y t 1 + ɛ t Alternativamente processo log(pnb) é estacionário em torno de uma tendência linear 20

21 y t = µt + b(l)ɛ t Corresponde a um processo estacionário em torno de uma tendência linear (TS) Podemos dizer então que o (TS) é um caso especial do DS Se a(l) contém raizes unitárias podemos escrever o modelo DS como y t = µt + b(l)ɛ t = (1 L)y t = µ + (1 L)b(L)ɛ t = µ + a(l)ɛ t note que a(l) = (1 L)b(L) Então TS é correto e o DS é valido, entretanto MA 21

22 tem uma raiz unitária não inversível. Removendo a tendência Diferenciando Considere um modelo de caminho aleatório com deslocamento y t = y 0 + µt + t i=1 ɛ i Tomando a primeira diferença y t =µ + ɛ t Considere um modelo que é a soma de uma tendência deterministica e um componente de ruído puro y t = y 0 + µt + ɛ t 22

23 A primeira diferença: y t = µ + ɛ t ɛ t 1 Neste caso y t não pode ser representado como um processo AR pois não é inversível. A maneira de transformar este modelo é estimar a equação y t = a + µt + ɛ t y t y(estimado) = ɛ t Um modelo TS pode ser transformado em uma série estacionária pela remoção da tendência deterministica. Um série 23

24 com raiz unitária, chamada de DS pode ser transformada em série estacionária por primeira diferenças. Usando o método inapropriado pode criar problemas Supoe um modelo mais geral TS a(l)y t = a + µt + b(l)ɛ t Tirando diferenças: a(l) y t = µ + b(l)(ɛ t ɛ t 1 ) = µ + (1 L)b(L)ɛ t Qual o problema com esta transformação? 24