Modelo de regressão estável aplicado a econometria

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1 Modelo de regressão estável aplicado a econometria financeira Fernando Lucambio Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Curitiba/PR, , Brasil lucambio@ufpr.br 1

2 Objetivos Estudar a evolução diária do dólar comercial oficial no Brasil, esta evolução é analisada utilizando modelos de regressão baseados em distribuições estáveis. Provaremos aqui que a distribuição de probabilidades do retorno do dólar comercial pertence a esta família de densidades, mostraremos também que o modelo mais adequado é o da cauda da distribuição ao invés do modelo para a média. Definimos medidas de diagnóstico, baseadas na influência local, para testar a avaliar o modelo proposto. 2

3 Introdução Um dos objetivos das finanzas é a avaliação de riscos de uma carteira de ativos financeiros. O risco é freqüntemente medido em termos de variação de preços dos ativos. Denotemos por P t o preço de um ativo no instante t, normalmente um dia de negócios. O chamado retorno composto ou log-retorno, definido como r t = log ( Pt P t 1 ) R t, é a definição comumente utilizada para o retorno. 3

4 Retorno observado do preço de compra do dólar comercial oficial e retorno estimado segundo o modelo de regressão linear normal. retorno /01 06/02 14/03 18/04 24/05 27/06 dias 4

5 Distribuições estáveis Esta classe de distribuições foi caracterizada por Paul Levy (1924) no seu estudo do comportamento assintotico de somas igualmente distribuídas de variáveis aleatórias normais. Uma variável aleatória Y diz-se tem distribuição estável se existe uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Z 1, Z 2,..., Z n e sequências de constantes {a n } e {b n } tais que Z 1 + Z Z n a n + b n, converge em distribuição para Y. Se as variáveis Z s tem variância finita, pode ser provado que Y tem distribuição gaussiana. 5

6 De maneira geral a forma de especificar a distribuição estável é pela sua função característica φ(t), devido a que sua função de densidade f(y) não pode ser escrita de maneira expĺıcita. O logaritmo da função característica da distribuição estável é { log{φ(t)} = iγt δ α t α exp iζ π } 2 η αsgn(t), onde η α = min(α, 2 α) = 1 1 α Nesta expressão, γ R representa o parâmetro de locação, δ R + representa o parâmetro de escala, α (0, 2] determina o tipo de distribuição, especificamente a cauda da distribuição, e ζ [ 1, 1] é o índice de assimetria. 6

7 A função de densidade estável pode ser escrita como f(y; α, δ, γ, ζ) = 1 { π cos (γ y) s ( 0 δ + sα sin ζ π )} 2 η α { ( exp s α cos ζ π )} ds 2 η α δ, e, como podemos observar, a grande dificuldade em aplicações práticas com esta densidade está na necessidade de avaliar numericamente a integral que aparece na expressão acima. Na Figura a seguir mostramos diferentes situações particulares da densidade estável para diferentes valores dos parâmetros de locação, dispersão, assimetria e do comportamento da cauda. Podemos observar que, em determinadas situações, a densidade estável é assimétrica e pode ter cauda mais pesada do que a gaussiana. 7

8 (a) Locação, γ= 2.0, 0.0, 2.0 (b) Dispersão, δ= 0.5, 1/ 2, (c) Assimetria, ζ= 0.8, 0.0, 0.8 (d) Cauda, α= 0.8, 1.5,

9 Diferentes modelos de regressão Denotemos por X 1,..., X n vetores de covariáveis, de dimensão p, associados às observações y 1,..., y n e por g( ) a função de ligação que transforma o parâmetro de locação de maneira a assumir valores na reta real. Similarmente aos modelos lineares generalizados, podemos definir o modelo de regressão para a locação como g(γ k ) = X k β γ, onde k = 1,..., n, sendo β γ o vetor de parâmetros da regressão. Os outros parâmetros podem ser fixados ou simultaneamente modelados, se necessário, como veremos mais adiante. No caso especial α = 2, temos o modelo de regressão gaussiano tradicional. 9

10 Podemos também definir modelos de regressão para os outros parâmetros da densidade estável, utilizando funções de ligação apropriadas que garantam estimadores adequados. log(δ k ) = X k β δ, ( ) 1 + ζk log = X k β ζ, 1 ζ k log ( αk 2 α k ) = X k β α A proposta de Lambert(1999) foi avaliar numericamente a integral na definição da densidade estável e posteriormente maximizar a função de verossimilhança assim obtida, fornecendo os estimadores de máxima verossimilhança de α, δ, γ e ζ. 10

11 Taxa de compra do dólar comercial oficial O dólar comercial oficial é a taxa de câmbio que estabelece o parâmetro para as operações de compra e venda de comércio exterior e operações financeiras. Atualmente corresponde ao dólar comercial/flutuante oficial do Banco Central (PTAX-800). É o referencial cambial mais comum do mercado financeiro, embora as pessoas físicas não comprem este tipo de dólar. A taxa chamada de compra é o quanto o banco está pagando para comprar dólar. O valor do dólar comercial oficial para compra foi coletado entre os dias 02 de janeiro de 2006 até 27 de junho de 2006, resultando em 121 observações deste indicador. Calculou-se o retorno como retorno = log(y t /y t 1 ) 11

12 Autocorrelação Autocorrelação Parcial Lag Densidade: normal estável estimada Lag retorno 12

13 Generalizações do R 2, como medida da bondade do ajuste, fora do contexto dos modelos lineares não é uma tarefa fácil. Um cadidato é o pseudo-r 2 PRE, que pode interpretar-se como a proporção da redução do erro baseado na log-verossimilhança e definido como { P RE = 1 exp 2 [ l( ϑ) l(ϑ 0 ) ]}, n onde l(ϑ 0 ) é a log-verossimilhança do modelo nulo e l( ϑ) é o valor da log-verossimilhça do modelo ajustado. Utilizaram-se os resíduos quantis, definidos como r q = Φ 1 (F (y; ϑ)) para mostrar a qualidade do ajuste, onde F representa a função de distribuição acumulada e Φ a distribuição acumulada normal padrão. 13

14 Considerando uma amostra aleatória da distribuição estável obtemos as estimativas dos parâmetros da distribuição estável como sendo γ = , δ = , ζ = e α = Diferentes modelos de regressão, AIC e PRE correspondentes. Modelos AIC PRE (a) Modelo de regressão normal (b) Modelo para a locação (c) Modelo para a dispersão (d) Modelo para a asimetria (e) Modelo para a cauda Escolhemos então como mais adequado o modelo de regressão para a cauda da distribuição estável. 14

15 Resíduos quantis Quantis da normal padrão Moda estimada Resíduos quantis ordenados Resíduos quantis Distância de Cook Moda estimada Observações 15

16 Em diversas situações práticas, modelar a moda da resposta como função de covariáveis pode ser mais apropriado do que modelar a resposta média. Na maioria das distribuições de probabilidade não é possível encontrar uma expressão para a moda, significando que não é possível encontrar um modelo de regressão, a menos que a distribuição seja simétrica. Na distribuição estável é possível provar que ỹ k = γ k + ϕ(δ, ζ, α), onde ỹ denota a moda da distribuição estável. Na Figura a seguir mostramos que o retorno modal ou o retorno mais provável deste investimento no período é, de fato, decrescente. 16

17 retorno /01 06/02 14/03 18/04 24/05 27/06 dias 17

18 Principais Referências Kozubowski, T.J. & Rachev, S.T. (1994). The theory of geometric stable distributions and itsuse in modeling financial data. European Journal of Operational Research, 74(2), Lambert, P. & Lindsay, J.K. (1999). Analysing finantial returns by using regression models based on non-symmetric stable distributions. Applied Statistics, 48(3),