Modelos para dados de contagem

Transcrição

1 O modelo de Poisson

2 Sumário 1 Introdução 2 Regressão de Poisson Taxa de Incidência Inclusão de covariáveis Interpretação dos parâmetros 3 Exemplos 4 Superdispersão

3 Dados de Contagem Podemos estar interessados em modelar dados de contagem. Exemplos - Número de chamadas telefônicas por dia em uma call center; - Número de acidentes em uma estrada por dia; - Número de surtos epiléticos por paciente em dois anos; - Número de partos cesariais por hospital/ano; - Número de clientes chegando ao caixa de um supermercado; - Número de gols por time na primeira rodada do campeonato brasileiro.

4 Por que não podemos usar o modelo de regressão estudado anteriormente? Suposição de Normalidade! Dados de contagem podem ser modelados por uma distribuição de Poisson. Discreta e representa a probabilidade de que um evento ocorra um número especificado de vezes em um intervalo de tempo (espaço).

5 A distribuição de Poisson Seja Y Poisson(λ), então P(Y = y) = e λ λ y y = 0, 1, y! E(Y ) = Var(Y ) = λ A taxa média de ocorrência (λ) é constante ao longo do tempo. A informação sobre o número de ocorrências em um período nada revela sobre o número de ocorrências em outro período.

6 O modelo de regressão de Poisson Temos que a variável resposta Y representa dados de contagem ou taxas e X é o vetor de covariáveis. Objetivo: explicar a variação de Y através de X. Taxa de incidência TI = Número de casos novos em determinado período Quantidade de pessoa-tempo Quantidade de pessoa tempo:tempo em que a população esteve sob risco de desenvolver a doença, sendo o tempo da população igual a soma dos tempos de observação de cada indivíduo.

7 Exemplos de Taxa de Incidência Cidade X no período de 5 anos Vamos calcular a taxa de incidência: 3 TI = = 3 12 = 0, 25 por ano

8 Exemplos de Taxa de Incidência Mortalidade por gênero de paciente com a doença Y Homens Mulheres Total Casos Pessoas-ano TI H = 90 = 0, 0365/ano 2465 TI M = 131 = 0, 0332/ano , 0365 RII = = 1, 099 0, 0332

9 Taxa de Incidência Por que Taxa de Incidência é importante? Unidades amostrais podem ser acompanhadas por diferentes períodos de tempos.

10 Seja y ij a contagem do número de câncer de pele para a i-ésima faixa etária na cidade j. Pergunta: A taxa de câncer de pele, ajustada por idade, difere nas diferentes cidades? A regressão de Poisson seria o modelo adequado para modelar a taxa de incidência de eventos (contagens).

11 Inclusão de covariáveis Como incluir covariáveis? Vamos supor uma amostra de tamanho n. E(Y i ) = λ i (x) i = 1,, n e λ i 0 Vamos usar uma função de ligação logarítimica: Ou seja: log (E(Y i )) = log(λ i ) = β 0 + β 1 x i1 + + β p x ip λ i = e β 0 e β 1x i1 e βpx ip Vantagem: garantimos que ˆλ i 0.

12 Como modelamos a taxa? Taxa = λ(x) c onde c é a exposição (tempo, número, área, volume, etc) Com a função de ligação logarítimica: ( ) λ(x) log = x β c log(λ(x) = log(c) + x β No R temos o comando offset para lidar com o log(c) (constante sem coeficiente de regressão).

13 Interpretação dos parâmetros Note que agora estamos considerando: log(contagem ou taxa) = x β Os parâmetros não possuem a mesma interpretação do modelo de regressão Normal. Fixando x 2,, x p, quando passamos x 1 de 0 para 1 temos: x 1 = 0 log(taxa) = β 2 x β p x p x 1 = 1 log(taxa) = β 1 + β 2 x β p x p

14 Interpretação dos parâmetros Então: ( ) taxa1 log RT = log = β 1 taxa 0 Vamos supor que exp(β 1 ) = 2. No caso em que modelos a taxa de incidência temos: RT = exp(β 1 ) = 2 Isso significa que a taxa de incidência 1 é duas vezes a taxa de incidência de 0. E no caso em que modelamos a contagem? A interpretação é similiar: a incidência de câncer de 1 é duas vezes a de 0, por exemplo.

15 Exemplo 1 Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos) Partos Hospitais cesáreas Partos Hospitais cesáreas

16 Exemplo 1 Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos) Observe que podemos modelar tanto o número de cesáreas (contagem) quanto a proporção (taxa). Seja Y i o número de cesáreas. Suponha que Y i Poisson(µ i ). Vamos ajustar log(µ i ) = β 0 + β 1 Partos + β 2 Hospital.

17 Exemplo 1 Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos) Assim para log(µ i ) = β 0 + β 1 Partos + β 2 Hospital, temos: estimativa intercepto 1,351 partos 0, hospital(1) 1,045 log(µ) = 1, , Partos + 1, 045 Hospital E(Y ) = e 1,351 e 0, Partos e 1,045Hospital

18 Exemplo 1 Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos) Interpretando o parâmetro β 2 : e 1,045 = 2, 84 O número de partos por cesárea em hospitais públicos é 2,84 vezes o número de partos por cesárea em hospitais particular.

19 Exemplo 1 Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos) Note que: Público: µ i = exp(1.351) exp(0, ) exp(1, 045) = 15, 2 Particular: µ i = exp(1.351) exp(0, ) = 5, 35 Isso implica uma média de 15,2 cesáreas a cada 1000 partos em hospitais públicos e 5,4 por 1000 partos em particulares.

20 Exemplo 2 Perfil de Clientes (Retirado dos slides do Gilberto Paula) Dados sobre o perfil dos clientes de uma determinada loja, que foram divididos em 110 áreas de uma cidade. O número de clientes de cada área que foram à loja num período fixo serão relacionados com as seguintes variáveis em cada área (Neter et al., 1996, p. 613): - número de domicílios (em mil) (x 1 ); - renda média anual domiciliar (em mil US$) (x 2 ); - idade média (em anos) dos domicílios (x 3 ); - distância ao concorrente mais próximo (x 4 ); - distância à loja (em milhas) (x 5 ).

21 Exemplo 2 Perfil de Clientes (Retirado dos slides do Gilberto Paula)

22 Exemplo 2 Modelagem Y i : número de clientes da i-ésima área que foram à loja no período determinado. Suponha que Y i P(λ i ), onde: log(λ i ) = β 0 + β 1 x β 5 x 5

23 Exemplo 2 Estimativa dos parâmetros Estimando os parâmetros do modelo, encontramos: Efeito Estimativa E.Padrão z-valor Constante 2,942 0,207 14,21 Domicilio 0,606 0,142 4,27 Renda -0,012 0,002-5,54 Idade -0,004 0,002-2,09 Dist1 0,168 0,026 6,54 Dist2-0,129 0,016-7,95

24 Exemplo 2 Interpretações Olhando apenas a tabela, podemos perceber que: O número esperado de clientes na loja cresce com o aumento do número de domicílios na área; O número esperado de clientes na loja diminui com o aumento da renda média e da idade média dos domicílios bem como da distância da área à loja; Por exemplo, se aumentarmos em um ano a idade média dos domicílios: exp( 0, 004) = Assim, esperamos que o número de clientes que irão à loja irá diminuir em 0.4%.

25 Exemplo 3 Câncer de pele em duas cidades em 1994 Tabela: Dados Minneapolis Dallas Idade Casos Pop. Casos Pop

26 Exemplo 3 Câncer de pele em duas cidades em 1994 m <- glm(casos ~ idade + cidade + offset(log(pop)), family=poisson) Estimativa E.P. p-valor Intercepto -10,35 0,096 <0,01 Cidade 0,82 0,052 <0,01 Faixa 0,06 0,0013 <0,01 Cidade*faixa 0,044 Interpretação (taxa de incidência) para cidade: exp(0, 82) = 2, 2705

27 Superdispersão Sabemos que se Y Poisson(λ) então E(Y ) = Var(Y ) = λ. Superdispersão ocorre quando há uma inedequação do Modelo de Regressão de Poisson. Dizemos que houve superdispersão quando Var(Y ) > E(Y )

28 Superdispersão Possíveis Causas 1 Função de ligação inadequada. Nós vimos o caso da função de ligação logarítimica. 2 Não inclusão de covariáveis importantes no preditor linear: - Desconhecidas; - Não foram medidas. 3 Excesso de zeros: - Comumente existem situações com excesso de contagens zero; - horários inadequados, pessoas não contaminadas, entre outros.

29 Superdispersão Solução Possível Solução Incluir mais um parâmetro na modela para incorporar essa "extra variação"