Métodos Estatísticos Avançados em Epidemiologia

Transcrição

1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Métodos Estatísticos Avançados em Epidemiologia Aula 2-2 Regressão de Poisson: Modelando Contagens

2 Distribuição de Poisson Muitas variáveis resposta de interesse são contagens. - O número de colônias de bactérias em uma placa de Petri; - O número de árvores em uma extensão de terra; - O número de filhos de uma mulher. Contagens usualmente têm distribuição de Poisson: µ y µ e P( Y = y) =, y = 0, 1, 2, 3,..., y! na qual µ é a média de Y (e também sua variância). µ é qualquer valor real positivo, não precisa ser inteiro.

3 Regressão de Poisson Assume-se que a variável resposta Y tem distribuição de Poisson e sua média µ é modelada em função de uma combinação linear das preditoras X s: ln( µ ) = + x + x + L k x k só + qualquer valor real (+, - ou 0) qualquer valor real (+, - ou 0) ou seja: µ = e 0 + 1x1 + 2x2 + L+ k xk.

4 Exemplo: Número de filhos de uma mulher Variável resposta Y: número de filhos da mulher Variáveis explicativas: X 1 : idade (em anos completos) X 2 : renda (em reais) X 3 : escolaridade (baixa, média, alta) X 4 : trabalho (sim, não) A média de Y é modelada em função de uma combinação linear das preditoras X s: µ Y = e 0 + 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x 4.

5 Interpretação dos Coeficientes Considere fixos x 2,..., x k e um acréscimo de a unidades em X 1 : mudança de x para x+a. ln( µ ]) = + ( x + x + L+ [ x 0 1 ) [ x+ a] ) = 0 + 1( x + a) + 2x2 + L 2 2 k x k ln( µ + x ln( µ ) ln( µ = a [ x + a] [ x] ) = 1 ou seja, um acréscimo de a unidades em X 1 leva a um acréscimo de a 1 unidades no logaritmo da média de Y. Para a > 0: µ = e a µ Equivalentemente: < 1, se 1 < 0 [ x+ a ] 1 [ x ]. k k > 1, se 1 > 0

6 Exemplo 1: Número de clientes (do livro do Neter) Uma loja de material elétrico, de construção e outros suprimentos de casa deseja estudar a relação entre o número de clientes de sua loja vindos de cada localidade e características destas localidades. Durante um período de duas semanas, foram conduzidas pesquisas com clientes dentro da loja e seus endereços foram obtidos. Os endereços foram usados para identificar o setor censitário no qual o cliente reside. No final do período da pesquisa, o número total de clientes de cada setor censitário que visitaram a loja dentro de um raio de 10 milhas foi determinado. Para cada setor, foram obtidas também informações sociodemográficas relevantes, como renda média, número de domicílios, etc. Outras informações julgadas relevantes foram obtidas, como a distância do setor censitário à loja e a distância do setor censitário à principal loja concorrente.

7

8 Todos os coeficientes são significantes (diferentes de zero) a 5%.

9 Interpretação do efeito de X 1 (n o de casas) na média de Y (n o de clientes): Comparando um setor com x casas com outro setor com x+100 casas, µ ˆ [ x+ 100] ( ) µ = e 1 = e = e = [ x] 1.06 A cada 100 casas a mais no setor, a média do número de clientes vindos do setor aumenta em 6%. Interpretação do efeito de X 5 (distância do setor à loja) na média de Y: Comparando um setor a x milhas da loja com outro a x+1 milhas da loja, µ µ ˆ [ x+ 1] 1 1( ) = e 5 = e = e = [ x] 0.88 A cada 1 milha mais distante da loja está o setor, a média do número de clientes vindos do setor reduz em 12%.

10 Exemplo 2: Os nascimentos por cesariana são ditos serem mais frequentes em hospitais privados do que nos hospitais públicos. Os dados do número total de nascimentos e o número de cesarianas foram obtidos de 4 hospitais privados e 16 públicos hospitais. Births Hospital Caesareans

11

12 Modelo 1: cesarianas X nascimentos Call: glm(formula=caesareans~births,family=poisson(link=log), data = cesarianas) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) 2.132e e < 2e-16 Births 4.406e e e Null deviance: on 19 df Residual deviance: on 18 df AIC:

13 Modelo 1: cesarianas X nascimentos + tipo de hospital Call: glm(formula = Caesareans~Births + as.factor(hospital), family = poisson(link = log), data = cesarianas) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) 1.351e e e-08 Births 3.261e e e-08 Hospital 1.045e e Null deviance: on 19 df Residual deviance: on 17 df AIC:

14 glm(formula = Caesareans ~ Births + as.factor(hospital) + Births*as.factor(Hospital), family=poisson(link=log), data=cesarianas) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) Births Hospital Births:Hospital Null deviance: on 19 df Residual deviance: on 16 df AIC:

15

16 Exemplo com Dados II: Uma coorte de fumantes e não fumantes foi observada por vários anos. Foi registrado o número de casos de câncer de pulmão em cada categoria da combinação de valores de número de cigarros fumados por dia e número de anos fumando. Dados relativos ao número de anos de fumo foram também foram obtidos para cada indivíduo. Para cada categoria, foram calculados o número de pessoas-ano de fumo.

17 CigarrosDia AnosFumo PessoasAnoFumo CasosCancer CigarrosDia AnosFumo PessoasAnoFumo CasosCancer

18

19

20 Modelo 1: Call: glm(formula = CasosCancer ~ CigarrosDia + AnosFumo, family = poisson(link = log), data = cigarros) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) CigarrosDia e-06 AnosFumo e Null deviance: on 34 d.f. Residual deviance: on 32 df AIC:

21 Modelo 2: Call: glm(formula = CasosCancer ~ CigarrosDia + AnosFumo + CigarrosDia*AnosFumo, family = poisson(link = log), data = cigarros) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) CigarrosDia AnosFumo Ciga:AnosFumo Null deviance: on 34 df Residual deviance: on 31 df AIC:

22 Comparando as deviances dos dois modelos: anova(cigarros.fit1,cigarros.fit2, test="chisq") Analysis of Deviance Table Model 1: CasosCancer ~ CigarrosDia + AnosFumo Model 2: CasosCancer ~ CigarrosDia + AnosFumo + CigarrosDia * AnosFumo Resid.Df Resid.Dev Df Deviance P (> Chi )

23 Qualidade do Ajuste, Diagnósticos, Seleção de Modelos Similar ao modelo de regressão logística. Assumptions in Poisson Regression The assumptions include: 1. Logarithm of the disease rate changes linearly with equal increment increases in the exposure variable. 2. Changes in the rate from combined effects of different exposures or risk factors are multiplicative. 3. At each level of the covariates the number of cases has variance equal to the mean. 4. Observations are independent. Methods to identify violations of assumption (3) i.e. to determine whether variances are too large or too small include plots of residuals versus the mean at different levels of the predictor variable. Recall that in the case of normal linear regression, diagnostics of the model used plots of residuals against fits (fitted values). This means that the same diagnostics can be used in the case of Poisson Regression.