Regressão linear múltipla - Correlação parcial

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1 Regressão linear múltipla - Correlação parcial trigo Matriz de correlações: trigo % matéria orgânica % matéria orgânica Prod. trigo 1 0, ,4421-0, % Mat. Org. 0,2397-0,0850 0, Fazendo uma regressão de Y ( de trigo) com a variável com maior correlação ( X 1 ), subsistem os resíduos (parte de Y não explicada por X 1 )

2 Regressão linear múltipla Correlação parcial Fertili- Pluvio- Prodªº vs Fertiliz. trigo zante sidade Previsto Resíduos ,5-9, ,1 5, ,3-5, ,9 13, ,5-0, ,1 3, ,7-7,7 Resíduos Prod. vs Fert. 15,0 10,0 5,0 0, ,0-10,0-15,0 Para retirar também da variável (X 2 ) o efeito da variável (X 1 ), faz-se uma regressão entre estas duas variáveis: Fertili- Pluvio- Pluvios. vs Fert. zante sidade Previsto Resíduos ,2-8, ,6 5, ,8 0, ,0 8, ,4-3, ,6 1, ,3-3, Para obter o coeficiente de correlação parcial (Y, X 2 ), descontando efeito de X 1, calcula-se a correlação entre os resíduos das duas regressões anteriores: Resíduos Resíduos Prod. vs Fert. Pluv. vs Fert. -9,5-8,2 5,9 5,4-5,3 0,2 13,1 8,0-0,5-3,4 3,9 1,4-7,7-3,3 r Y, X 2 (X 1 ) = Resíduos vs Resíduos vs

3 Regressão linear múltipla Correlação parcial de trigo (Y) vs (X 1 ): Coeficiente de correlação: r Y, X 1 = (indicador da capacidade explicativa de X 1 ) Capacidade explicativa adicional resultante da introdução da variável (X 2 ): coeficiente de correlação parcial de Y com X 2, descontando efeito de X 1 Coeficiente de correlação parcial: r Y, X 2 (X 1 ) = Coeficiente de correlação múltipla: r 2 Y, X 1, X 2 = r 2 Y, X 1 + r 2 Y, X 2 (X 1 ) (1 - r 2 Y, X 1 ) Fracção da variação de Y explicada por X 1 e X 2 Fracção da variação de Y explicada por X 1 Fracção adicional da variação de Y explicada por X 2 Fracção da variação de Y não explicada por X 1 r 2 Y, X 1, X 2 = ( ) = r Y, X 1, X 2 = (indicador da capacidade explicativa conjunta de X 1 e X 2 )

4 Regressão linear múltipla Modelo de regressão múltipla, com duas variáveis explicativas (output do EXCEL): Multiple R 0,9496 R Square 0,9018 Adjusted R Square 0,8527 Standard Error 4,2391 ANOVA df SS MS F Signifi cance F Regression 2 660,12 330,06 18,367 0,00964 Residual 4 71,88 17,97 Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept -8, ,189-0,616 0,5713 0,0387 0, ,364 0,0058 1,3341 0, ,275 0,0129 Desta regressão a 2 variáveis explicativas resultam resíduos que poderão (eventualmente) ser explicados pela 3ª variável (% de matéria orgânica no solo) Nota: ordenada na origem (α) não significativamente diferente de 0!

5 Regressão linear múltipla Correlação parcial Da regressão de Y ( de trigo) com X 1 () e X 2 () resultam resíduos que poderão (eventualmente) ser explicados pela variável X 3 (% de matéria orgânica no solo) A capacidade explicativa (adicional) de X 3 (% de matéria orgânica) é determinada pelo coeficiente de correlação parcial de Y com X 3, retirado o efeito de X 1 () e X 2 () Para retirar o efeito de X 1 () e X 2 () sobre X 3 (% de matéria orgânica) faz-se uma regressão de X 3 com X 1 e X 2 e consideram-se os resíduos respectivos (a parte de X 3 não explicada por X 1 e X 2 ) Prod. trigo vs Fert. e Pluv. Resíduos % Mat. Org. vs Fert. e Pluv. 1,45-3,92-1,33 12,53-5,50-5,94 2,52-5,79 4,05 6,56 2,08-8,90-3,26 5,45 Resíduos Prod vs Fert+Pluv 6,00 4,00 2,00 0,00-10,00-5,00 0,00-2,00 5,00 10,00 15,00-4,00-6,00 Resíduos % mat. Org. vs Fert+Pluv O coeficiente de correlação parcial de Y com X 3, retirado o efeito de X 1 e X 2 vem igual ao coeficiente de correlação entre os resíduos das duas regressões anteriores r Y, X 3 (X 1, X 2 ) = Nota: correlação baixa, pelo que a capacidade explicativa (adicional) de X 3 (% de matéria orgânica) é certamente muito reduzida

6 Regressão linear múltipla Modelo de regressão múltipla, com as três variáveis explicativas (output do EXCEL): Multiple R 0,9500 R Square 0,9025 Adjusted R Square 0,8050 Standard Error 4,8780 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 3 660,61 220,20 9,25 0,05016 Residual 3 71,39 23,80 Total Coeffi cients Standard Error t Stat P-value Intercept -8, ,0168-0,5532 0,6187 0,0387 0,0083 4,6606 0,0186 1,3624 0,4091 3,3301 0,0447 % Mat. Org. -0,0355 0,2461-0,1442 0,8945 Como expectável, a variável X 3 (% de matéria orgânica) não aportou capacidade explicativa (adicional) significativa Nota: pela estatística t, o coeficiente de regressão da variável X 3 (% de matéria orgânica) não é estatisticamente significativo (diferente de 0)!

7 Regressão linear múltipla Modelo de regressão múltipla, com duas variáveis explicativas, mas forçando ordenada na origem a ser nula (output do EXCEL): Multiple R 0,9447 R Square 0,8925 Adjusted R Square 0,6710 Standard Error 3,9673 ANOVA df SS MS F Signifi cance F Regression 2 653, , ,7539 0,00773 Residual 5 78,696 15,7393 Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept 0 #N/A #N/A #N/A 0, , , , , , , E Observado Previsto

8 Regressão linear múltipla (Nota: exemplo com alteração de dados sobre % de Matéria Orgânica) trigo % Matéria orgânica Matriz de correlações: 0, ,4421-0, % Mat. Org. 0,5888 0,9726-0, Modelo com e % de Matéria Orgânica como variáveis independentes tem maior capacidade explicativa que qualquer modelo que inclua a variável (apesar de esta ter o maior coeficiente de correlação!!!) Multiple R 0,9706 R Square 0,9420 Adjusted R Square 0,9130 Standard Error 3,2588 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 2 689,52 344,76 32,46 0, Residual 4 42,48 10,62 Total Coefficients Std Error t Stat P-value Intercept -16, ,7148-1,5709 0,1913 1,6279 0,2541 6,4053 0,0031 % Mat. Org. 0,8974 0,1251 7,1732 0,0020 Nota: ordenada na origem (α) não significativamente diferente de 0!

9 Regressão linear múltipla - Multicolinearidade (Nota: exemplo com alteração de dados sobre % de Matéria Orgânica) trigo % matéria orgânica Matriz de correlações: 0, ,4421-0, % Mat. Org. -0,3259-0,9012 0, Modelo de regressão com as 3 variáveis explicativas (output do EXCEL): Multiple R 0,9654 R Square 0,9321 Adjusted R Square 0,8642 Standard Error 4,0707 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 3 682,29 227,43 13,73 0, Residual 3 49,71 16,57 Total Coefficients Std Error t Stat P-value Intercept 68, ,2701 1,0152 0,3848-0,0911 0,1124-0,8107 0,4769 4,6327 2,8675 1,6156 0,2046 % Mat. Org. -6,4542 5,5801-1,1567 0,3312 Nenhum dos coeficientes de regressão é estatísticamente diferente de 0! (pela estatística t, fruto da elevada variância respectiva) Isto resulta de % Matéria Orgânica estar fortemente correlacionada com as outras duas variáveis independentes (coef. de correlação múltipla= 0.999), criando problemas de multicolinearidade