Análise de dados em Geociências
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- Branca Flor Oliveira Castelo
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1 Análise de dados em Geociências Regressão Susana Barbosa Mestrado em Ciências Geofísicas
2 Resumo Introdução Regressão linear dados independentes séries temporais Regressão de quantis Regressão não linear
3 Introdução x : variável explanatória y : variável resposta
4 Introdução Gráfico primeiro!
5 Introdução Gráfico primeiro!
6 Introdução Gráfico primeiro!
7 Regressão linear Resumo Introdução Regressão linear dados independentes séries temporais Regressão de quantis Regressão não linear
8 Regressão linear Modelo linear x : variável explanatória y : variável resposta y i = α + βx i + ε i ε i N (0, Σ) Ajuste do modelo linear estimação de α, β e Σ
9 Regressão linear Modelo linear x : variável explanatória y : variável resposta y i = α + βx i + ε i ε i N (0, Σ) Ajuste do modelo linear estimação de α, β e Σ
10 Regressão linear Regressão linear - dados independentes y i = α + βx i + ε i ε i i.i.d N (0, σ 2 )
11 Regressão linear Exemplo > summary(lm(y x)) Call: lm(formula = y x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 998 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 2337 on 1 and 998 DF, p-value: < 2.2e-16
12 Regressão linear Exemplo > summary(lm(y x)) Call: lm(formula = y x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 998 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 2337 on 1 and 998 DF, p-value: < 2.2e-16
13 Regressão linear Exemplo > summary(lm(y x)) Call: lm(formula = y x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 998 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 2337 on 1 and 998 DF, p-value: < 2.2e-16
14 Regressão linear Exemplo > summary(lm(y x)) Call: lm(formula = y x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 998 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 2337 on 1 and 998 DF, p-value: < 2.2e-16
15 Regressão linear Exemplo (cont) > confint(lm(y~x)) 2.5 % 97.5 % (Intercept) x
16 Regressão linear Exemplo (cont) > summary(lm(y~-1+x)) Call: lm(formula = y ~ -1 + x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) x <2e-16 *** Residual standard error: on 999 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 9063 on 1 and 999 DF, p-value: < 2.2e-16
17 Regressão linear Exemplo (cont) > AIC(lm(y~-1+x)) [1] > AIC(lm(y~x)) [1]
18 Regressão linear Análise de resíduos
19 Regressão linear Gráficos dos resíduos Resíduos vs valores estimados: visualização de padrões nos resíduos que sugiram outra dependência que não linear
20 Regressão linear Gráficos dos resíduos Grafico Q-Q: verificação visual de que os resíduos são consistentes com uma distribuição normal
21 Regressão linear Gráficos dos resíduos Grafico da raíz quadrada dos resíduos vs valores estimados: verificação visual de a variância é aproximadamente constante
22 Regressão linear Gráficos dos resíduos Grafico da distância de Cook: medida de influência (mede quanto a recta mudaria se o ponto fosse omitido)
23 Regressão linear Outliers Regressão resistente: tem por objectivo omitir outliers do modelo de regressão, de modo a que não contribuam para o modelo estimado Ex: lqs (package MASS) Regressão robusta: em vez de incluir outliers ou omiti-los, dá pesos menores a outliers, reduzindo a sua influência no modelo estimado Ex: lrm (package MASS)
24 Regressão linear Outliers Regressão resistente: tem por objectivo omitir outliers do modelo de regressão, de modo a que não contribuam para o modelo estimado Ex: lqs (package MASS) Regressão robusta: em vez de incluir outliers ou omiti-los, dá pesos menores a outliers, reduzindo a sua influência no modelo estimado Ex: lrm (package MASS)
25 Regressão linear Exemplo
26 Regressão linear Exemplo Regressão usual Regressão robusta
27 Regressão linear Previsão A incerteza na previsão deve incluir a incerteza na recta estimada IC a 95% para o declive da recta: ˆβ ± t SE b a variação de pontos individuais em torno da recta (desvio de novas observações para a recta estimada) Nota: a recta de regressão só é válida no domínio no qual foi estimada (intervalo original de valores da variável independente) - cuidado com extrapolações!
28 Regressão linear Exemplo
29 Regressão linear Bootstrap Observações: (x i, y i ), i = 1,...n Re-amostragem com repetição m amostras i.i.d de comprimento n Estimação do modelo linear para cada uma das m amostras bootstrap Erro calculado a partir do desvio padrão das m estimativas obtidas para o declive
30 Regressão linear Bootstrap
31 Regressão linear Exemplo
32 Regressão linear Exemplo
33 Regressão linear Exemplo
34 Regressão linear de séries temporais Resumo Introdução Regressão linear dados independentes séries temporais Regressão de quantis Regressão não linear
35 Regressão linear de séries temporais Regressão de séries temporais A regressão linear assume independência das observações A não independência das observações não afecta as estimativas dos parâmetros afecta a estimativa da incerteza nos parâmetros significância
36 Regressão linear de séries temporais Estratégia para estimar modelos lineares no caso de séries temporais assumir erros não correlacionados e ajustar um modelo de regressão linear usual verificar os resíduos da regressão (estrutura de correlação) seleccionar um processo estacionário apropriado (ex AR(1) para descrever a correlação dos resíduos) estimar um modelo linear por mínimos quadrados generalizados, assumindo que a estrutura de covariância é bem representada pelo processo escolhido
37 Regressão linear de séries temporais Estratégia para estimar modelos lineares no caso de séries temporais assumir erros não correlacionados e ajustar um modelo de regressão linear usual verificar os resíduos da regressão (estrutura de correlação) seleccionar um processo estacionário apropriado (ex AR(1) para descrever a correlação dos resíduos) estimar um modelo linear por mínimos quadrados generalizados, assumindo que a estrutura de covariância é bem representada pelo processo escolhido
38 Regressão linear de séries temporais Estratégia para estimar modelos lineares no caso de séries temporais assumir erros não correlacionados e ajustar um modelo de regressão linear usual verificar os resíduos da regressão (estrutura de correlação) seleccionar um processo estacionário apropriado (ex AR(1) para descrever a correlação dos resíduos) estimar um modelo linear por mínimos quadrados generalizados, assumindo que a estrutura de covariância é bem representada pelo processo escolhido
39 Regressão linear de séries temporais Estratégia para estimar modelos lineares no caso de séries temporais assumir erros não correlacionados e ajustar um modelo de regressão linear usual verificar os resíduos da regressão (estrutura de correlação) seleccionar um processo estacionário apropriado (ex AR(1) para descrever a correlação dos resíduos) estimar um modelo linear por mínimos quadrados generalizados, assumindo que a estrutura de covariância é bem representada pelo processo escolhido
40 Regressão linear de séries temporais Exemplo
41 Regressão linear de séries temporais Exemplo
42 Regressão linear de séries temporais Exemplo
43 Regressão linear de séries temporais Exemplo Generalized least squares fit by REML Model: y x Correlation Structure: AR(1) Formula: ~1 Parameter estimate(s): Phi Coefficients: Value Std.Error t-value p-value (Intercept) x Call: lm(formula = y x) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x *
44 Regressão linear de séries temporais Outro exemplo
45 Regressão de quantis Resumo Introdução Regressão linear dados independentes séries temporais Regressão de quantis Regressão não linear
46 Regressão de quantis Motivação - exemplo
47 Regressão de quantis Motivação - exemplo
48 Regressão de quantis Motivação - exemplo
49 Regressão de quantis Regressão de quantis dá uma descrição + completa dos dados: permite determinar não só variações em média (localização) mas também na escala e forma da distribuição + robusta (em relação a outliers e desvios da normalidade - por ex dados com caudas pesadas)
50 Regressão de quantis Exemplo Nivel do mar - Cascais
51 Regressão de quantis Exemplo Temperatura - Graz
52 Regressão não linear Resumo Introdução Regressão linear dados independentes séries temporais Regressão de quantis Regressão não linear
53 Regressão não linear Transformações (Maindonald & Braun, 2010)
54 Regressão não linear Transformações Transformações mais comuns logaritmo (ex: razao entre os valores mais alto e mais baixo elevada, 10) raiz quadrada ou cubica (ex: dados de contagem ou eventos raros) Transformação de Box-Cox y(λ) = y λ 1 λ se λ 0 y(λ) = log(y) se λ = 0
55 Regressão não linear Regressão sinusoidal y i = Acos(wx i ) + Bsin(wx i ) + ε i Parâmetros: A, B (amplitudes) w = 2π/T, T período
56 Regressão não linear Exemplo
57 Regressão não linear Exemplo
58 Regressão não linear Regressão polinomial y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Parâmetros: a 0, a 1,... a n n: grau do polinómio
59 Regressão não linear Exemplo
60 Regressão não linear Exemplo
61 Regressão não linear Exemplo
62 Regressão não linear Exemplo Call: lm(formula = density ~ Time) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 2.884e e <2e-16 *** Time 3.605e e <2e-16 *** Residual standard error: on 66 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 66 DF, p-value: < 2.2e-16 Call: lm(formula = density ~ Time + I(Time^2)) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 2.880e e < 2e-16 *** Time 6.593e e < 2e-16 *** I(Time^2) e e e-07 *** Residual standard error: on 65 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 65 DF, p-value: < 2.2e-16
63 Regressão não linear Exemplo density.lin <- lm(density ~ Time) density.poly <- lm(density ~ Time + I(Time^2)) AIC(density.lin) AIC(density.poly)
64 Regressão não linear Lowess LOWESS - LOcally-WEighted Scatterplot Smoothing
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