Modelos ARCH e GARCH Aula 8. Morettin e Toloi, 2006, Capítulo 1 e 14 Morettin, 2011, Capítulo 1 e 5 Bueno, 2011, Capítulo 8

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1 Modelos ARCH e GARCH Aula 8 Morettin e Toloi, 2006, Capítulo 1 e 14 Morettin, 2011, Capítulo 1 e 5 Bueno, 2011, Capítulo 8

2 Motivação Pesquisadores que se dedicam a prever séries temporais, tais como preços de ações, taxas de inflação, taxas de câmbio, etc., costumam observar que a capacidade dos modelos em prever tais variáveis oscila consideravelmente de um período para outro: para alguns períodos, os erros de previsão são relativamente pequenos, já para outros, tais erros são relativamente grandes, e então são outra vez pequenos para um outro período. 2

3 Motivação Observando as expressões de cálculo dos erros de previsão: e T (1) = y T +1 ŷ T (1) = ε T +1 e T (2) = y T +2 ŷ T (2) = ε T +2 + ψ 1 ε T +1 e T (3) = y T +3 ŷ T (3) = ε T +3 + ψ 1 ε T +2 + ψ 2 ε T +1. e T (h) = y T +h ŷ T (h) = ε T +h + ψ 1 ε T +h ψ h 1 ε T +1 não é difícil notar que tais quantidades realmente podem guardar algum tipo de relação. 3

4 Motivação Não é difícil notar que o comportamento dos erros de previsão dependem do comportamento das perturbações ε t. Dessa forma, temos uma justificativa plausível para a existência de auto-correlação na variância de ε t. Assim, podemos observar que as variâncias dos erros de previsão não são constantes. Ou seja, há uma espécie de auto-correlação nas variâncias dos erros de previsão. 4

5 Modelos ARCH e GARCH Para capturar a estrutura de correlação na variância condicional da inflação do Reino Unido, Engle (1982) propôs um modelo denominado como ARCH (Modelo Autorregressivo para a Heteroscedasticidade Condicional), que é um exemplo de modelo não-linear. Uma generalização do modelo ARCH foi sugerida por Bollerslev (1986, 1987, 1988), o chamado modelo GARCH (generalized ARCH), que pode ser usado para descrever a volatilidade com menos parâmetros do que um modelo ARCH. 5

6 Objetivos Assim, nesta parte da disciplina o objetivo será modelar o que se chama de volatilidade, que é a variância condicional de uma variável, comumente de um retorno. Embora não seja medida diretamente, a volatilidade manifesta-se de várias maneiras numa série financeira e nós a trataremos a partir de uma abordagem estatística, que modela diretamente a volatilidade da série de retornos usando alguma classe de modelos como, por exemplo, o GARCH. 6

7 Fatos estilizados sobre os retornos (a) Retornos são, em geral, não auto-correlacionados; (b) Séries de retornos apresentam agrupamentos de volatilidades ao longo do tempo; (c) Os quadrados dos retornos são auto-correlacionados, apresentando uma correlação de lag 1 pequena e depois uma queda lenta das demais; (d) A distribuição (incondicional) dos retornos apresenta caudas mais pesadas do que as caudas de uma distribuição normal; além disso, a distribuição, embora aproximadamente simétrica, é, em geral, leptocúrtica; (e) Algumas séries de retornos são não-lineares. 7

8 Petrobras (PBR/NYSE) - 11/08/00-27/03/15 (3678 obs) Log returns /10/00 7/18/03 6/19/06 5/21/09 4/20/12 3/26/15 days 8

9 Função de autocorrelação FAC Defasagem 9

10 Função de autocorrelação parcial FACP Defasagem 10

11 Normalidade ou não? data normal Density

12 Normalidade ou não? Normal Q Q Plot Quantis teoricos Quantis amostrais 12

13 Estatísticas básicas Média Mediana Mínimo Máximo Desvio Padrão Assimetria Excesso de curtose

14 Quadrados dos log-retornos Log returns squared /10/00 7/18/03 6/19/06 5/21/09 4/20/12 3/26/15 days 14

15 Quadrados dos log-retornos - FAC FAC Defasagem 15

16 Quadrados dos log-retornos - FACP FACP Defasagem 16

17 Modelos não-lineares Na análise de modelos não-lineares as inovações (choques aleatórios) ε t são, em geral, supostas i.i.d e o modelo tem a seguinte forma de mode que r t = µ(ε t 1, ε t 2,...) + σ(ε t 1, ε t 2,...)ε t, µ( ) representa a função média condicional; e σ 2 ( ) representa a função variância condicional. Se µ( ) for não-linear modelo não-linear na média. Se σ 2 ( ) for não-linear modelo não-linear na variância. 17

18 Média e variância condicionais de r t Considere r t uma série de log-retornos. I t 1 = {r 1, r 2,..., r t 1 } denota toda a informação até t 1. A média condicional de r t é dada por µ t = E(r t I t 1 ) = E t 1 (r t ). A variância condicional de r t é dada por σ 2 t = E[(r t µ t ) 2 I t 1 ] = E t 1 [(r t µ t ) 2 ]. Se µ t = 0, então σ 2 t = E[r 2 t I t 1 ] = E t 1 [r 2 t ] 18

19 Notação Um modelo típico para a volatilidade é da forma r t = µ t + σ t ε t em que E t 1 (ε t ) = 0 e Var t 1 (ε t ) = 1 e tipicamente ε t é uma sequência i.i.d. com certa distribuição. Obs: A média e a variância incondicionais de r t serão denotadas por µ = E(r t ) e σ 2 = Var(r t ), respectivamente. 19

20 ARCH(m) Um modelo ARCH(m) é definido por r t = σ t ε t onde ε t IID(0, 1) e com variância condicional σ 2 t = α 0 + α 1 r 2 t 1 + α 2 r 2 t α m r 2 t m em que α 0 > 0, α i 0, i = 1,..., m 1 e α m > 0. 20

21 r 2 t é AR(m) Definindo v t = rt 2 σt 2 e substituindo em σt 2 = α 0 + α 1 rt α 2 rt α m rt m, 2 obtemos rt 2 = α 0 + α 1 rt α 2 rt α m rt m 2 + v t. Portanto: r 2 t segue um processo AR(m). v t = r 2 t σ 2 t = σ 2 t (ε 2 t 1) é não Gaussiano, mesmo quando ε t NID(0, 1). 21

22 Observações Na prática, usualmente é suposto que os erros ε t sigam uma distribuição, N(0,1). Ou ainda t-student, t ν, com baixo graus de liberdade ν, ou alguma distribuição que descreva melhor as caudas pesadas de séries financeiras. Os coeficientes α i devem satisfazer certas condições, dependendo do tipo de imposição que colocamos sobre o processo r t. Pela própria definição, valores grandes de r t são seguidos por outros valores grandes da série. 22

23 GARCH(m,n) A variância condicional de modelo GARCH(m,n) é definida por m n σt 2 = α 0 + α i rt i 2 + β j σt j 2 em que α 0 > 0, i=1 j=1 α i 0, i = 1,... m 1 e α m > 0, β i 0, i = 1,... n 1 e β n > 0, Para q = max(m, n) q (α i + β i ) < 1. i=1 Coeficientes positivos dão uma condição suficiente, mas não necessária, para que σ 2 t > 0 (Nelson & Cao, 1992). Como no caso de modelos ARCH, usualmente trabalhamos com a suposição de que os ε t sejam normais ou t-student, ou ainda, uma distribuição de erro generalizada. 23

24 r 2 t é AR(q,n) Definindo v t = r 2 t σ 2 t e substituindo em σt 2 = α 0 + obtemos m n α i rt i 2 + β j σt j 2 i=1 j=1 q n rt 2 = α 0 + (α i + β i )rt i 2 β j v t j + v t i=1 j=1 Portanto: r 2 t segue um processo AR(q,n). v t não é, em geral, um processo i.i.d. 24

25 Modelo ARCH(1) Para investigarmos algumas propriedades dos modelos ARCH(m), vamos considerar o caso especial onde m = 1. Ou seja, r t = σ t ε t com erro ε t iid(0, 1) e variância condicional e parâmetros α 0 > 0 e α 1 > 0. σ 2 t = α 0 + α 1 r 2 t 1 25

26 Média e variância incondicionais Não é difícil verificar que E(r t ) = E[E(r t I t 1 )] = E[E(σ t ε t I t 1 )] = E[σ t E(ε t I t 1 )] = 0, }{{} =0 e que Var(r t ) = E(r 2 t ). Portanto, E(r 2 t ) = E[E(r 2 t I t 1 )] = E[E(σ 2 t ε 2 t I t 1 )] = E[σt 2 E(ε 2 t I t 1 )] = E(σt 2 ) }{{} =1 = E(α 0 + α 1 rt 1) 2 = α 0 + α 1 E(rt 1). 2 26

27 Restrição adicional: 0 < α 1 < 1 Se o processo r t for estacionário de segunda ordem, então, para todo t e k, segue que E(r 2 t ) = E(r 2 t k ). Se µ e σ 2 são média e variância incondicionais do processo r t, então σ 2 = E(r 2 t ) = α 0 + α 1 E(r 2 t 1) = α 0 + α 1 σ 2 e, consequentemente a variância incondicional de r t é Var(r t ) = σ 2 = α 0 1 α 1, implicando que α 0 > 0 e 0 < α 1 < 1. 27

28 Covariâncias incondiconais Cov(r t, r t+k ) = E(r t r t+k ) = E[E(r t r t+k I t+k 1 )] para todo k 1. = E[r t E(r t+k I t+k 1 )] = E[r t E(σ t+k ε t+k I t+k 1 )] = E[r t σ t+k E(ε t+k I t+k 1 )] = 0 }{{} =0 Poranto, r t é uma sequncia de variáveis não correlacionadas (ruído branco), com média zero e variância dada por α 0 /(1 α 1 ). 28

29 Curtose maior que 3 Um dos fatos estilizados é que os retornos apresentam geralmente caudas mais longas, de modo que a curtose é maior do que 3. A curtose, supondo que r t ARCH(1) com ε t NID(0, 1), é dada por K = E(r t 4 ( ) ) 1 α 2 [Var(r t )] 2 = α1 2 > 3 Vemos, pois, que se admitirmos que r t siga um modelo ARCH, as caudas serão mais pesadas do que as da normal, o que é uma propriedade vantajosa do modelo. 29

30 GARCH(1,1) Um modelo bastante usado na prática é o GARCH(1,1), para o qual a volatilidade conditional é expressa como com α 0 > 0 e α 1, β 1 (0, 1). σ 2 t = α 0 + α 1 r 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1 Para os modelos GARCH temos as mesmas vantagens e desvantagens dos modelos ARCH: Volatilidades altas são precedidas de retornos ou volatilidades grandes, observando-se os grupos de volatilidades presentes em séries financeiras; Retornos positivos e negativos são tratados de forma similar, já que quadrados dos retornos entram na fórmula da volatilidade. 30

31 Curtose maior que 3 A curtose, supondo que r t GARCH(1,1) com ε t NID(0, 1), é dada por K = E(r t 4 ( ) [E(rt 2 )] 2 = 3 1 (α 1 + β 1 ) 2 ) 1 (α 1 + β 1 ) 2 2α1 2 > 3 Vemos, pois, que se admitirmos que r t siga um modelo GARCH, as caudas serão mais pesadas do que as da normal, o que é uma propriedade vantajosa do modelo. 31

32 Variância incondicional É fácil provar que, supondo que r t GARCH(1,1) com ε t (0, 1), a variância incondicional de r t é Var(r t ) = α 0 1 (α 1 + β 1 ), portanto α 1 + β 1 < 1 é uma restrição adicional. No longo prazo, a volatilidade convergirá para tal zresultado incondicional. 32

33 ARCH/GARCH no R install.packages("fgarch") library(fgarch) data = read.csv("petrobras.csv",header=true) y = diff(log(as.numeric(data[,2]))) fit.arch = garchfit(~garch(1,0),data=y,trace=f,include.mean=false) fit.garch = garchfit(~garch(1,1),data=y,trace=f,include.mean=false) 33

34 fit.arch Title: GARCH Modelling Conditional Distribution: norm Estimate Std. Error t value Pr(> t ) omega 6.440e e <2e-16 *** alpha e e <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized:

35 fit.arch Title: GARCH Modelling Conditional Distribution: norm Estimate Std. Error t value Pr(> t ) omega 1.473e e e-06 *** alpha e e < 2e-16 *** beta e e < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized:

36 Fitted standard deviations ARCH(1) Standard deviation /11/00 4/13/04 12/5/07 7/29/11 3/27/15 Days GARCH(1,1) Standard deviation /11/00 4/13/04 12/5/07 7/29/11 3/27/15 Days 36

37 Residual analysis Days Standardized residuals /11/00 4/13/04 12/5/07 7/29/11 3/27/15 ARCH(1) Lag ACF ACF residuals squared Lag Partial ACF PACF residuals squared Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles Days Standardized residuals /11/00 4/13/04 12/5/07 7/29/11 3/27/15 GARCH(1,1) Lag ACF ACF residuals squared Lag Partial ACF PACF residuals squared Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles 37

38 Ljung-Box statistic Box.test(res.arch^2,lag=10,type= Ljung ) # Box-Ljung test # data: res.arch^2 # X-squared = , df = 10, p-value < 2.2e-16 Box.test(res.garch^2,lag=10,type= Ljung ) # Box-Ljung test # data: res.garch^2 # X-squared = , df = 10, p-value =

39 Unconditional variances and kurtosis # Sample ARCH(1) GARCH(1,1) #Variance #St.Dev #Kurtosis