Aula 17/10/2018 José Luiz Padilha 17 de outubro de 2018

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1 Modelando a Variância Introdução Aula 17/10/2018 José Luiz Padilha 17 de outubro de 2018 Nos modelos vistos até aqui a variância dos erros foi assumida constante ao longo do tempo, e estávamos interessados em modelos para modelar a média condicional do processo. Usando um processo AR(1) como exemplo, assumimos E(Z t Z t 1, Z t 2,...) = αz t 1, e V ar(z t Z t 1, Z t 2,...) = E(ε 2 t ) = σ 2 ε. Além disso, em muitas situações práticas tem-se interesse em prever a variância condicional da série além da série propriamente dita. Por exemplo, no mercado de ações o interesse é não apenas prever a taxa de retorno mas também a sua variância ao longo de um certo período. Esta variância condicional é também chamada de volatilidade. Modelos como o autorregressivo condicionalmente heterocedástico ou ARCH, foi introduzido por Eagle (1982) para modelar mudanças na volatilidade. Estes modelos foram estendidos para o ARCH generalizado, ou modelo GARCH, por Bollerslev (1986). Algumas referências são Taylor (1986), Franses (1998), e Tsay (2002). Nestes problemas, estamos preocupados em modelar o retorno ou taxa de crescimento de uma série. Por exemplo, se Z t é o valor de um ativo no tempo t, o retorno ou ganho relativo, R t, do ativo no tempo t é R t = Z t Z t 1 Z t 1. Isso implica que Z t = (1 + R t )Z t 1. Se o retorno representa uma mudança percentual pequena então log(z t ) R t. As quantidades log(z t ) ou (Z t Z t 1 )/Z t 1 são ambas chamadas de retorno 1 e denotadas por R t. Muitas séries temporais, no entanto, exibem períodos de grande volatilidade (ou variabilidade) seguidos de períodos de relativa tranquilidade. Este comportamento é típico de séries financeiras de retorno, em que períodos de grande volatilidade tende a estar agrupados. Em outras palavras, há uma forma dependência de súbitas explosões de variabilidade em um retorno no próprio passado da série. Naturalmente, nestes casos, a suposição de variância constante (homocedasticidade) não é apropriada. Exemplo Os gráficos a seguir mostram os logaritmos das taxas de variação (retornos diários) de quatro índices em mercados europeus. O período amostral vai de janeiro de 1991 a dezembro de library(tseries); data(eustockmarkets); plot.ts(diff(log(eustockmarkets)),main="") 1 Se (Z t Z t 1 )/Z t 1 é uma porcentagem pequena, então log(1 + R t) R t 1

2 FTSE CAC SMI DAX Time Uma característica comum nestes retornos é que embora as médias pareçam ser aproximadamente constantes as variâncias mudam ao longo do tempo. Na figura a seguir estão os histogramas com uma curva normal superimposta para os mesmos dados (retornos). par(mfrow=c(2,2)) x1=diff(log(eustockmarkets[,1])) hist(x1, prob=true,main=colnames(eustockmarkets)[1],xlab="",ylim=c(0,50),col="lightblue") curve(dnorm(x, mean=mean(x1), sd=sd(x1)), add=true) # x2=diff(log(eustockmarkets[,2])) hist(x2, prob=true,main=colnames(eustockmarkets)[2],xlab="",ylim=c(0,50),col="lightblue") curve(dnorm(x, mean=mean(x2), sd=sd(x2)), add=true) # x3=diff(log(eustockmarkets[,3])) hist(x3, prob=true,main=colnames(eustockmarkets)[3],xlab="",ylim=c(0,50),col="lightblue") curve(dnorm(x, mean=mean(x3), sd=sd(x3)), add=true) # x4=diff(log(eustockmarkets[,4])) hist(x4, prob=true,main=colnames(eustockmarkets)[4],xlab="",ylim=c(0,50),col="lightblue") curve(dnorm(x, mean=mean(x4), sd=sd(x4)), add=true) 2

3 DAX SMI Density Density CAC FTSE Density Density Pode-se notar que muitos valores aparecem nas caudas das distribuições. Além disso, é comum observarmos bastante autocorrelação entre os retornos ao quadrado. Todas estas características são, em geral, verificadas em séries reais de retornos e devem ser levadas em conta pelo modelo. Modelos ARCH Existem várias formas de especificar como a variância condicional (volatilidade) varia com o tempo. Uma estratégia utilizada para modelar σ 2 t, proposta em Engle (1982), consiste em assumir que ela depende dos quadrados dos erros passados, ε t 1, ε t 2,... através de uma autorregressão. O modelo ARCH mais simples, o ARCH(1), modela o retorno como R t =σ t ε t σ 2 t =α 0 + α 1 R 2 t 1, em que ε t é um ruído branco gaussiano, ou seja, ε t N(0, 1). A suposição de normalidade pode ser relaxada. Assim como nos modelos ARM A, devemos impor algumas restrições nos parâmetros dos modelos a fim de obtermos propriedades desejadas. Uma restrição óbvia é que α 0, α 1 0 pois σ 2 é uma variância. Note que a distribuição condicional de R t dados R t 1 é gaussiana: R t R t 1 N(0, α 0 + α 1 R 2 t 1). Além disso, é possível escrever o modelo ARCH(1) como um modelo AR(1) não gaussiano considerando o quadrado dos retornos R 2 t. Fazendo, R 2 t =σ 2 t ε 2 t α 0 + α 1 R 2 t 1 =σ 2 t, 3

4 e subtraindo as duas equações, obtemos Agora, reescreva esta equação como R 2 t (α 0 + α 1 R 2 t 1) = σ 2 t ε 2 t σ 2 t. R 2 t = α 0 + α 1 R 2 t 1 + ν t, em que ν t = σ 2 t (ε 2 t 1). Como ε 2 t é o quadrado de uma variável aleatória N(0, 1), ε t 1 é uma variável aleatória deslocada (com média zero) e distribuição χ 2 1. Como o modelo ARCH(1) foi reescrito como um AR(1), a função e autocorrelação do processo {R 2 t } é dada por ρ(k) = α k 1 e o correlograma amostral deve apresentar um decaimento exponencial para zero. Para explorar as propriedades de um processo ARCH, defina I t = {r t, r t 1,...}. Da formulação do processo, segue imediatamente que que R t tem média zero: E(R t ) = E [E(R t I t 1 )] = 0. Temos também que Cov(R t, R t+k ) =E(R t R t+k ) = E [E(R t R t+k I t+k 1 )] =E [R t E(R t+k I t+k 1 )] = 0, para k > 0. Se a variância de ν t é finita e constante com relação ao tempo, e 0 α 1 < 1, então E(R 2 t ) e V ar(r 4 t ) devem ser constantes com relação a t. Isto implica que e, após algumas manipulações, V ar(r t ) = E(R 2 t ) = E(R 2 t 1) = α 0 1 α 1 desde que 3α 2 1 < 1. Note que E(R 4 t ) = 3α0 2 1 α1 2 (1 α 1 ) 2 1 3α1 2, V ar(r 2 t ) = E(R 4 t ) [ E(R 2 t ) ] 2, que existe apenas se 0 < α 1 < 1/ 3 0, 577. Além disso, estes resultados implicam que a curtose, κ, de R t é κ = E(R4 t ) [E(Rt 2 )] 2 = 3 1 α α1 2, que nunca é menor que 3, a curtose da distribuição normal. Assim, a distribuição marginal dos retornos R t, é leptocúrtica, ou tem caudas pesadas. Em resumo, se 0 α 1 < 1, o processo R t é um ruído branco e sua distribuição incondicional é simetricamente distribuída em torno de zero; esta distribuição é leptocúrtica. Se, além disso, 3α 2 1 < 1, o quadrado do processo, R t segue um modelo AR(1) estacionário com fac dada por ρ(k) = α k 1 0, para todo k > 0. Em particular, processos ARCH(1) têm caudas mais pesadas do que a distribuição normal e são portanto adequados para modelar séries temporais com esta característica. Séries de retornos frequentemente apresentam caudas mais pesados do que a normal devido ao excesso de curtose. Exemplo Para ilustração a figura a seguir apresenta dois processos ARCH de ordem 1 simulados a partir de uma sequência {v t } de 200 números aleatórios i.i.d. gerados de uma distribuição N(0, 1). A sequência {ε t } foi construída usando α 1 = 1 e α 2 = 0, 8. Note como a sequência {ε t } continua tendo média zero mas parece ter tido um aumento de volatilidade em alguns períodos. Em um modelo AR(1), a forma como esta estrutura nos erros afeta a série original depende do valor do parâmetro autorregressivo e duas possíveis situações são mostradas nos gráficos inferiores da figura. 4

5 v=as.ts(rnorm(501,0,1)) e=v ; y=v; z=v; e[1]=0 ; y[1]=0; for (i in 2:501){ e[i] = v[i]*sqrt( *e[i-1]**2) y[i] = 0.5*y[i-1]+e[i] z[i] = 0.9*z[i-1]+e[i] } par(mfrow=c(2,2)) plot(v,ylim=c(-8.5,11),xlab="",ylab="", main=c("processo aleatório",expression(v~(t)))) plot(e,ylim=c(-8.5,11),xlab='',ylab='', main=expression(epsilon~(t)==v~(t)*~sqrt(1+0.8*~epsilon~(t-1)^2))) plot(y,ylim=c(-7.5,10),xlab='',ylab='', main=expression(z~(t)==0.5*~z~(t-1) + epsilon~(t))) plot(z,ylim=c(-7.5,10),xlab='',ylab='', main=expression(z~(t)==0.9*~z~(t-1) + epsilon~(t))) processo aleatório ε (t) = v (t) ε (t 1) z (t) = 0.5 z (t 1) + ε (t) z (t) = 0.9 z (t 1) + ε (t) A seguir temos o histograma dos valores {ε t } gerados, com uma curva normal superimposta, além do gráfico de probabilidades normais (QQplot normal). Note como há um excesso de valores nas caudas ocorrendo com uma frequência maior do que seria esperado na distribuição normal. par(mfrow=c(1,2)) hist(e, freq=f) d = seq(range(e)[1] - 3 * sd(e), range(e)[2] + 3 * sd(e), 0.001) lines(d, dnorm(d, 0, sd(e))) qqnorm(e);qqline(e) 5

6 Histogram of e Normal Q Q Plot Density Sample Quantiles e Theoretical Quantiles Basicamente neste modelo erros grandes (ou pequenos) em valor absoluto tendem a ser seguidos por erros grandes (ou pequenos) em valor absoluto. Portanto, o modelo é adequado para descrever séries onde a volatilidade ocorre em grupos. Exemplo: Análise dos dados do PIB Voltemos ao exemplo dos dados do PIB norte-americano. Os dados eram trimestrais, compreendendo o primeiro trimestre de 1947 ao terceiro trimestre de 2002, n = 223 observações. Os dados se referem ao PIB real dos EUA em bilhões de dólares (referência ano de 1996) e foram ajustados por sazonalidade. Tínhamos ajustado dois modelos para a taxa de crescimento, um AR(1) e um MA(2), os quais retornaram ajustes similares. Vamos investigar se o termo de erro segue um processo ARCH. O ajuste obtido por um modelo AR(1) é dado por library(astsa) z=diff(log(gnp)) u=sarima(z,1,0,0) initial value iter 2 value iter 3 value iter 4 value iter 4 value iter 4 value final value converged initial value iter 2 value iter 3 value iter 4 value iter 5 value iter 5 value iter 5 value final value converged 6

7 Model: (1,0,0) Standardized Residuals Time ACF of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals ACF Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles p values for Ljung Box statistic p value lag u$ttable Estimate SE t.value p.value ar xmean A figura a seguir mostra a fac e a facp dos resíduos ao quadrado e parece haver alguma dependência, embora pequena, nos resíduos. acf2(resid(u$fit)^2,20) 7

8 Series: resid(u$fit)^2 ACF LAG PACF ACF PACF [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [10,] [11,] [12,] [13,] [14,] [15,] [16,] [17,] [18,] [19,] [20,] LAG Vamos usar o pacote fgarch para ajustar um modelo AR(1) ARCH(1) aos retornos. library(fgarch) Loading required package: timedate Loading required package: timeseries 8

9 Loading required package: fbasics Attaching package: 'fbasics' The following object is masked from 'package:astsa': nyse fit=garchfit(~arma(1,0)+garch(1,0), z, trace=false) summary(fit) Title: GARCH Modelling Call: garchfit(formula = ~arma(1, 0) + garch(1, 0), data = z, trace = FALSE) Mean and Variance Equation: data ~ arma(1, 0) + garch(1, 0) <environment: 0x edcba0> [data = z] Conditional Distribution: norm Coefficient(s): mu ar1 omega alpha Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu 5.278e e e-09 *** ar e e e-06 *** omega 7.331e e e-16 *** alpha e e * --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Log Likelihood: normalized: Description: Sun Oct 21 20:23: by user: Phoebe Standardised Residuals Tests: Statistic p-value Jarque-Bera Test R Chi^ Shapiro-Wilk Test R W Ljung-Box Test R Q(10) Ljung-Box Test R Q(15)

10 Ljung-Box Test R Q(20) Ljung-Box Test R^2 Q(10) Ljung-Box Test R^2 Q(15) Ljung-Box Test R^2 Q(20) LM Arch Test R TR^ Information Criterion Statistics: AIC BIC SIC HQIC Obtemos os coeficientes estimados como: coef(fit) mu ar1 omega alpha Os valores de p dados são bilaterais e devem ser divididos por dois quando consideramos os parâmetros do modelo ARCH. Neste exemplo, obtivemos (0, 005; 0, 367) para o componente AR(1) (os valores anteriormente estimados foram (0, 008; 0, 347)). Os parâmetros para o modelo ARCH(1) são ˆα 0 = (chamado de omega) para a constante e ˆα 1 = 0, 194, que é significativo com valor-p de aproximadamente 0,02. 10