Aula 01/10/2018 José Luiz Padilha 01 de outubro de 2018

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1 Aula 01/10/2018 José Luiz Padilha 01 de outubro de 2018 Previsão Uma das formas de utilização de um modelo ajustado é para fazer previsões de valores futuros. Assim, se t é o período corrente estamos interessados em prever os valores de Z t+1, Z t+2,... A previsão de Z t+k, para k = 1, 2,..., será denotada por ẑ t (k) e é definida como a esperança condicional de Z t+k dados todos os valores passados, i.e. ẑ t (k) = E(Z t+k z t, z t 1,...). A equação acima é chamada de função de previsão e o inteiro k é chamado de horizonte de previsão. Pode-se mostrar que esta previsão tem o menor erro quadrático médio (EQM), E [Z t+k ẑ t (k)] 2. Na prática, temos um número finito de observações e obtemos então ẑ t (k) = E(Z t+k z t,..., z 1 ), que não tem o EQM mínimo mas pode ser visto como uma aproximação da expressão acima. Note que se temos uma série temporal observada z 1,..., z n as previsões podem ser feitas dentro do período amostral e comparadas com os valores observados. Esta é uma prática bastante comum para checar a performance preditiva do modelo. A diferença entre os valores previsto e observado, ẑ t (k) z t+k, é chamada de erro de previsão k passos à frente e será denotado por e t+k. Métodos Univariados de Previsão Os métodos descritos nesta seção têm um forte apelo intuitivo, decompondo uma série temporal em componentes de fácil interpretação. Dados os recursos computacionais disponíveis atualmente eles também têm a vantagem de serem extremamente simples de programar e sua utilização ter um custo computacional muito pequeno. Vamos começar com o caso mais simples, adequado para séries localmente constantes. Alisamento Exponencial Simples Dada uma série temporal z 1,..., z n, não sazonal e sem tendência sistemática, é razoável tomar a estimativa de z n+1 como uma soma ponderada das observações passadas, i.e. ẑ n (1) = a 0 z n + a 1 z n 1 + a 2 z n em que {a j } são os pesos. Parece razoável também dar um peso maior às observações mais recentes do que às observações mais distantes no passado, i.e. a 0 > a 1 > a 2 >... Neste procedimento são adotados pesos que decaem geometricamente a uma taxa constante dados por a j = α(1 α) j, j = 0, 1,... onde 0 < α < 1 é chamada de constante de alisamento. Assim, a previsão 1 passo à frente em t = n fica ẑ n (1) = αz n + α(1 α)z n 1 + α(1 α) 2 z n Naturalmente que na prática haverá um número finito de observações passadas e a soma acima será também finita. A ideia de que o conteúdo informativo de uma observação decai com a sua idade é bastante intuitivo e o parâmetro α está controlando o grau de envelhecimento deste conteúdo. 1

2 A última equação costuma ser reescrita em forma de equação recursiva. Colocando-se (1 α) em evidência obtém-se que ẑ n (1) =αz n + (1 α) [ αz n 1 + α(1 α)z n 2 + α(1 α) 2 z n ] =αz n + (1 α)ẑ n 1 (1) i.e. uma média ponderada entre a observação mais recente e a previsão 1 passo à frente anterior (no tempo t = n 1). Definindo e n = z n ẑ n 1 (1) o erro de previsão 1 passo à frente no tempo n então ẑ n (1) = ẑ n 1 (1) + αe n. Ou seja, a previsão para t = n + 1 é igual à previsão para t = n que foi feita em t = n 1 mais uma proporção do erro cometido. A previsão k passos a frente é a mesma, i.e ẑ n (k) = ẑ n (1), k = 2, 3,... Previsões Dentro da Amostra Usando ẑ 0 (1) = z 1 como previsão inicial em t = 0 e definindo e t = z t ẑ t 1 (1) os erros de previsão 1 passo à frente, podemos obter as previsões recursivamente como Na forma de correção de erro as recursões ficam ẑ t (1) = αz t + (1 α)ẑ t 1 (1), t = 1, 2,... ẑ t (1) = ẑ t 1 (1) + αe t, t = 1, 2,... Especificação de α Vale notar que o valor de α não depende da escala em que as observações foram medidas, mas sim das propriedades da série temporal. O valor de α deve ser especificado de modo a refletir a influência das observações passadas nas previsões. Valores pequenos produzem previsões que dependem de muitas observações passadas. Por outro lado, valores próximos de 1 levam a previsões que dependem das observações mais recentes e no caso extremo α = 1 a previsão é simplesmente a última observação. O valor de α também pode ser estimado a partir dos dados e o critério utilizado é a minimização da soma de quadrados dos erros de previsão. Ou seja, dado um valor fixo de α, calcule ẑ 0 (1) =z 1, ẑ 1 (1) =αz 1 + (1 α)ẑ 0 (1), e 2 = z 2 ẑ 1 (1) ẑ 2 (1) =αz 2 + (1 α)ẑ 1 (1), e 3 = z 3 ẑ 2 (1). ẑ n 1 (1) =αz n 1 + (1 α)ẑ n 2 (1), e n = z n ẑ n 1 (1) e calcule n t=2 e2 t. Repita o procedimento para valores de α variando entre 0 e 1 (digamos com incrementos de 0, 001) e selecione o valor que minimiza esta soma de quadrados. Na prática, o valor mínimo pode ocorrer muito próximo de um dos extremos do intervalo de variação de α. Isto pode ocorrer quando a soma de quadrados varia muito pouco na região em torno do mínimo. Neste caso faz mais sentido utilizar valores não tão extremos. Exemplo 1 No banco de dados do R, a série lh contém as quantidades de um tipo de hormônio em amostras de sangue coletadas a cada 10 minutos de uma pessoa do sexo feminino. Vamos aplicar o método de alisamento exponencial simples à esta série fazendo primeiro a seleção do valor de α que minimiza a soma dos quadrados dos erros de previsão 1 passo a frente. Os seguintes comandos do R podem ser utilizados para a seleção de α. 2

3 AES = function(x, interval){ e = NULL for (alfa in interval) { e2 = 0 prev = x[1] for (i in 2:length(x)) { prev = c(prev, alfa*x[i - 1] + (1 - alfa)*prev[i - 1]) e2 = e2 + (x[i] - prev[i])^2} e = c(e, e2) } e.min = min(e) alfa = interval[e == e.min] plot(interval, e, type = "l", xlab = expression(alpha), ylab = "Soma de quadrados") abline(v=alfa, lty=2) prev = x[1] for (i in 2:length(x)) prev = c(prev, alfa * x[i - 1] + (1 - alfa) * prev[i - 1]) return(list(alfa = alfa, sq2 = e.min, prev = prev)) } Na figura a seguir temos o gráfico da soma de quadrados como função de α e o gráfico das previsões 1 passo à frente juntamente com a série observada. par(mfrow = c(1, 2)) aes1 = AES(lh, seq(0.1, 0.99, 0.001)) plot(1:48, aes1$prev, ylab = "Hormonio", xlab = "Amostras", type = "l"); points(lh) Soma de quadrados Hormonio α Amostras aes1 $alfa [1] $sq2 [1] $prev [1] [8] [15] [22] [29] [36] [43]

4 O valor ótimo obtido foi α = 0, 945 com a soma de erros quadrados igual a 11, 86. Exemplo 2 O procedimento do exemplo anterior foi repetido para a série de medidas anuais de vazões do Rio Nilo entre 1871 e 1970, do banco de dados Nile do R. Os resultados são apresentados a seguir. par(mfrow = c(1, 2)) aes2 = AES(Nile, seq(0.1, 0.99, 0.001)) plot(1:length(nile), aes2$prev, ylab = "", xlab = "", type = "l") points(1:length(nile), Nile) Soma de quadrados α aes2 $alfa [1] $sq2 [1] $prev [1] [8] [15] [22] [29] [36] [43] [50] [57] [64] [71] [78] [85] [92] [99] O valor ótimo de α encontrado foi 0,

5 Método de Holt-Winters O procedimento de alisamento exponencial pode ser generalizado para séries que contenham tendência e variação sazonal. Suponha, por exemplo, que as observações são mensais e sejam L t, T t e I t o nível, a tendência e o índice sazonal no tempo t. Assim, T t é o aumento ou redução esperada por mês no nível atual da série. Suponha que no tempo t os termos (L 1, T 1, I 1 ),..., (L t 1, T t 1, I t 1 ) sejam conhecidos. Então, após observar z t os termos L t, T t e I t são atualizados via alisamento exponencial. Se a variação sazonal for multiplicativa, i.e. com amplitudes que tendem a crescer ao longo do tempo, as equações de atualização na forma de recorrência são dadas por e as previsões k períodos à frente são dadas por L t =α(z t /I t 12 ) + (1 α)(l t 1 + T t 1 ) T t =β(l t L t 1 ) + (1 β)t t 1 I t =γ(z t /L t ) + (1 γ)i t 12 ẑ t (k) = (L t + kt t )I t 12+k, k = 1, 2,... No caso de sazonalidade aditiva, as equações de atualização para o nível e o índice sazonal são modificadas para L t =α(z t I t 12 ) + (1 α)(l t 1 + T t 1 ) I t =γ(z t L t ) + (1 γ)i t 12 e as previsões k períodos à frente ficam ẑ t (k) = L t + kt t + I t 12+k, k = 1, 2,... Os parâmetros de alisamento (α, β e γ) para cada componente da série são, em geral, escolhidos no intervalo (0, 1) e podem ser estimados minimizando-se a soma de quadrados dos erros de previsão como na seção anterior. Aqui vale também o comentário sobre valores próximos aos extremos devido à soma de quadrados variar pouco nesta região. Além disso, estes parâmetros não dependem da escala das observações mas sim das propriedades temporais do nível, tendência e sazonalidade da série. Valem os mesmos comentários sobre estes valores quanto à influência das observações passadas nas previsões de cada componente. Para o caso particular de séries sem variação sazonal basta utilizar as equações para L t e T t acima (sem o índice I t 12 ). Ou seja, L t =αz t + (1 α)(l t 1 + T t 1 ) T t =β(l t L t 1 ) + (1 β)t t 1 e a previsão k passos à frente no tempo t é simplesmente L t + kt t. Se a série também não tem uma tendência sistemática retorna-se à equação do alisamento exponencial simples, ou seja e L t é a previsão 1 passo à frente (ẑ t (1)). L t = αz t + (1 α)l t 1 Exemplo 1 (continuação) Considere novamente os dados do primeiro exemplo. Podemos utilizar a função HoltWinters para obtermos o alisamento exponencial simples: 5

6 hw1=holtwinters(lh,beta=false,gamma=false) hw1$alpha [1] hw1$sse [1] Os valores obtidos para α e soma de quadrados de erros de previsão coincidem com aqueles encontrados anteriormente. Podemos também fazer um gráfico do ajuste: plot(hw1) Holt Winters filtering Observed / Fitted Time Exemplo 2 (continuação) Para os dados do segundo exemplo, temos hw2=holtwinters(nile,beta=false,gamma=false) hw2$alpha [1] hw2$sse [1]

7 Novamente chegamos nos mesmos valores de antes. plot(hw2) Holt Winters filtering Observed / Fitted Time Exemplo 3 O objeto uspop contém dados da população dos Estados Unidos (em milhões) registrados pelos censos decenais no período de 1790 a Vamos aplicar o método de Holt-Winters e realizar previsões para 4 períodos à frente. hw3=holtwinters(uspop, gamma = FALSE) hw3 Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component. Call: HoltWinters(x = uspop, gamma = FALSE) Smoothing parameters: alpha: 1 beta : gamma: FALSE Coefficients: [,1] a b

8 p=predict(hw3, n.ahead = 4, prediction.interval = T) plot(hw3, p,lty=2,ylim=c(0,360),xlim=c(1780,2020),type="b",pch=16) legend("topleft",legend=c("uspop","fitted"),bty="n",lty=c(2,1),col=c(1,2),pch=c(na,16)) Holt Winters filtering Observed / Fitted uspop fitted Time O que você esperaria se tivéssemos ajustado o método sem tendência, ou seja, com o argumento beta=false? Exemplo 4 A variável UKLungDeaths contém os números mensais de mortes por doenças do pulmão (bronquite, efisema e asma) no Reino Unido entre janeiro de 1974 e dezembro de A variável é composta por 3 séries: ambos os sexos (ldeaths), sexo feminino (fdeaths) e sexo masculino (mdeaths). As constantes de alisamento (α, β e γ) são determinadas minimizando a soma dos quadrados dos erro de previsão 1 passo à frente. Neste exemplo utilizaremos a série ldeaths e ajustaremos um modelo sazonal aditivo. data(uklungdeaths) hw4 = HoltWinters(ldeaths, seasonal = "addit") hw4 Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component. Call: HoltWinters(x = ldeaths, seasonal = "addit") Smoothing parameters: alpha: beta :

9 gamma: Coefficients: [,1] a b s s s s s s s s s s s s p = predict(hw4, n.ahead = 12, prediction.interval = T) plot(hw4, p) Holt Winters filtering Observed / Fitted Time 9