Investigação Operacional 2º Semestre 2002/2003 Problema Resolvido

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1 º Semestre 00/003 Problema Resolvido Resolução do problema 3 Comecemos por traçar o gráfico da série cronológica Yt a) Caracterizar uma série é dizer se ela apresenta tendência (se há um desenvolvimento global, ao longo do tempo, de crescimento ou descrescimento dos valores observados) e/ou sazonalidade (se existe uma flutuação periódica dos valores que sobem ou descem relativamente ao desenvolvimento global da série, mas com periodicidade fixa). Da observação do gráfico, pode verificar-se que, globalmente, a série não cresce nem decresce, pelo que pode dizer-se que, aparentemente, a série não tem tendência. Quanto à sazonalidade, verifica-se que, por exemplo, os valores máximos não se repetem em intervalos de tempo fixos (a partir da observação no instante três Y 3 encontra-se novo máximo ao fim de 4 intervalos de tempo Y 7 -, depois são necessários 3 para Y 10 e sucessivamente outros 3 para Y 13, 3 para Y 16 e para Y 18. Verificação semelhante se poderia fazer para os valores mínimos, em que a periodicidade destes valores também não existe, o que permite concluir que a série não tem sazonalidade. Trata-se, portanto, de uma série que não apresenta tendência nem sazonalidade. b) Uma série cronológica deste tipo é modelável pela expressão Y t = n t + ε t - em que n t é o nível da série e ε t uma variável aleatória incontrolável. Assim, o modelo de previsão a adoptar será Ŷ t+k = n t + e t em que k é o número de passos à frente que se pretende fazer a previsão, n t representa a estimativa que se vai fazer do nível da série e e t o erro de previsão. Para a determinação da estimativa do nível da série foram leccionados dois tipos de modelos com diferentes abordagens sobre o peso a atribuir aos valores conhecidos da série cronológica amortecimento exponencial simples e médias móveis aritméticas. Modelo de amortecimento exponencial simples Neste modelo, o nível da série no instante t é estimado pela seguinte fórmula recursiva n t = α Y t + (1 - α) n t-1 que permite actualizar a estimativa do nível a partir da observação feita no instante t Y t incorporando a estimativa feita até ao instante t-1 - n t-1 através da constante de amortecimento α

2 º Semestre 00/003 Problema Resolvido Neste tipo de modelos, é necessário proceder sempre à sua inicialização, isto é, atribuir um valor ao nível inicial n 1. Um procedimento possível, e frequentemente utilizado, é admitir n 1 = Y 1,.o que concretizando no nosso caso será n 1 = 137 Pode, agora, utilizar-se a fórmula recursiva para calcular os sucessivos valores de n t até n 18 (último instante para o qual se conhece o valor da observação) utilizando, como proposto no enunciado α = n = 0.10*11 + (1 0.10)*137 = n 3 = 0.10*148 + (1 0.10)* = n 4 = 0.10*1 + (1 0.10)*136.1 = n = 0.10*11 + (1 0.10)* = n 6 = 0.10*14 + (1 0.10)* = n 7 = 0.10*146 + (1 0.10)*134.0 = 13.6 n 8 = 0.10*110 + (1 0.10)*13.6 = n 9 = 0.10*11 + (1 0.10)* = n 10 = 0.10*149 + (1 0.10)*131.8 = n 11 = 0.10*108 + (1 0.10)*133.0 = 130. n 1 = 0.10*10 + (1 0.10)*130. = n 13 = 0.10*14 + (1 0.10)*19.49 = n 14 = 0.10*114 + (1 0.10)* = n 1 = 0.10*10 + (1 0.10)*19.34 = n 16 = 0.10*14 + (1 0.10)*16.60 = n 17 = 0.10*133 + (1 0.10)*18.44 = n 18 = 0.10*144 + (1 0.10)*18.90 = No enunciado do problema é pedida a previsão da procura do próximo mês, o mesmo é dizer 1 passo à frente ou seja a Ŷ 19, pelo que a resposta será Ŷ 19 = 130 Nota importante as previsões devem ter sempre o mesmo número de casas decimais que as observações, razão porque a previsão é 130 e não ! É pedido, também, no enunciado que seja determinado o intervalo de confiança a 99%, que (admitindo que o erro de previsão - e t - segue uma distribuição normal com média 0 e uma variância igual ao erro quadrático médio EQM) é definido como Ŷ t ± z α / EQM em que z α /, como habitualmente, é o valor da variável normal padrão tal que P(Z> z α / ) = α/ (sendo 1 - α o nível de confiança definido, no nosso caso 99%, pelo que α = 1%) e o EQM dado pela expressão Σ (Y t - Ŷ t ) /N

3 º Semestre 00/003 Problema Resolvido Consultando as tabelas da normal padrão pode verificar-se que o valor de z α / para o qual P(Z> z α / ) = α/ = 0.00 é de.8. A determinação do EQM tem de ter em atenção o número de passos à frente da previsão que se está a fazer. No nosso caso, como estamos a prever 1 passo à frente, tal significa que o erro de previsão e t = Y t - Ŷ t será dado para cada instante t pela expressão Y t n t-1. Por outro lado, estando a utilizar o modelo de amortecimento exponencial simples, os primeiros níveis n t calculados poderão estar algo destorcidos dado que dependem fortemente do erro, eventualmente cometido, aquando da inicialização. Por isso, é aconselhável só começar a determinar os erros de previsão alguns instantes após a inicialização, mas não exagerando nesta prudência, de modo a que haja, ainda, um número significativo de parcelas para o calculo do EQM. Admita-se, então, para o nosso caso que o primeiro nível que já não é afectado pelo erro de inicialização é n 7, pelo que os erros de previsão que vamos considerar serão: e 8 = Y 8 n 7 = = -.6 e 9 = Y 9 n 8 = = e 10 = Y 10 n 9 = = 17.7 : e 18 = Y 18 n 17 = = 1.10 pelo que (.6) + ( 18.09) + (17.7) + + (1.10) EQM = 11 Assim o intervalo de confiança da previsão será = ±.8* = ± => e No entanto, tendo em atenção a nota importante da página anterior o intervalo de confiança a 99% desta previsão é [8, 179] Apresenta-se a seguir um quadro resumo da resolução apresentada t Y t n t Ŷ t e t t Y t n t Ŷ t e t Modelo de médias móveis aritméticas

4 º Semestre 00/003 Problema Resolvido Neste modelo, o nível da série no instante t é estimado pela seguinteexpressão: Y n t N Yt N + + Y t 1 + Yt t = N em que N é o comprimento da média móvel. Assim, para N =, como indicado no enunciado,será: Y 1 + Y + Y3 + Y4 + Y n = = = n 6 = = n 6 = = : n 18 = = 17.6 Donde, conforme já se explicou, para o modelo anterior, a previsão para a procura no próximo mês será: Ŷ 19 = 18 O cálculo do EQM para este modelo seguirá um processo semelhante ao descrito anteriormente, sem ter que haver, no entanto, a preocupação então havida por causa do eventual erro provocado pela inicialização, que aqui não existe. Então e 6 = Y 6 n 7 = = 16.4 e 7 = Y 7 n 8 = = 1.8 e 8 = Y 8 n 9 = = -6. : e 18 = Y 18 n 17 = = 16. pelo que EQM = (16.4) + (1.8) + ( 6.4) (16.) = 38. Assim o intervalo de confiança da previsão será 17.6 ±.8* 38. = 17.6 ± 0.6 => 77.0 e 178. pelo que, tendo em atenção a nota importante já referida, o intervalo de confiança a 99% desta previsão é [77, 178] Apresenta-se a seguir um quadro resumo da resolução apresentada

5 º Semestre 00/003 Problema Resolvido t Y t n t Ŷ t e t t Y t n t Ŷ t e t Resolução do problema 6 Comecemos por traçar o gráfico da série cronológica Yt a) Da observação do gráfico, pode verificar-se que, globalmente, a série decresce, pelo que pode dizer-se que, a série apresenta tendência linear decrescente. Quanto à sazonalidade, verifica-se que não existe nenhum padrão fixo de flutuações em torno da tendência global de decrescimento da série, o que permite concluir que a série não tem sazonalidade. Trata-se, portanto, de uma série que apresenta tendência linear decrescente e não tem sazonalidade

6 º Semestre 00/003 Problema Resolvido b) Uma série cronológica deste tipo é modelável pela expressão Y t = T t + ε t - em que T t representa a tendêncie e ε t uma variável aleatória incontrolável. Assim, o modelo de previsão a adoptar será Ŷ t = Tˆ t + e t em que Tˆ t representa a estimativa que se vai fazer da tendência da série e e t o erro de previsão. Para estimar a previsão de uma série só com tendência foram leccionados dois tipos de modelos Holt e regressão linear simples. Modelo de Holt Neste modelo, a previsão para o instante t será estimada pela expressão Ŷ t+k = n t +k * b t Em que k representa o número de passos à frente para o qual se vai fazer a previsão, n t é o nível e b t a tendência, valores que se obtêm as partir das seguintes fórmulas recursivas n t = α Y t + (1 - α) (n t-1 + b t-1 ) b t = β(n t n t-1 ) + (1 - β)b t-1 que permitem actualizar as estimativas do nível e da tendência a partir da observação feita no instante t Y t incorporando as estimativas feitas até ao instante t-1 - n t-1 e b t-1 através das constantes de amortecimento α e β. Neste tipo de modelos, é necessário proceder sempre à sua inicialização, isto é, atribuir valores iniciais a n 1, n e b. Um procedimento possível, e frequentemente utilizado, é admitir n 1 = Y 1, n = Y e b = Y Y 1, o que concretizando no nosso caso dará n 1 = 6 n = 49 b = 6 49 = - 7 Podem, agora, utilizarem-se as fórmulas recursivas para calcular os sucessivos valores de n 3 e de b 3 até n 0 e de b 0 (último instante para o qual se conhece o valor da observação) utilizando, como proposto no enunciado α = 0.4 e β = 0.3 n 3 =0.40*40+(1 0.40)*[(49+(-7)] = 41. b 3 = 0.3*(41. 49)+(1 0.3)*(-7) = -7. n 4 =0.40*1+(1 0.40)*[(41.+(-7.)]=40.8 b 4 =0.3*( )+(1 0.3)*(-7.) = -. : : : : n 19 =0.40*0+(1 0.40)*[(1.+(-0.9)]=16.8 b 19 =0.3*( )+(1 0.3)*(-0.9) = n 0 =0.40*1+(1 0.40)*[(16.8+(-0.3)]=14.7 b 0 =0.3*( )+(1 0.3)*(-0.3) = Deste modo, o volume de vendas para a próxima semana cuja previsão é pedida no enunciado (1 passo à frente, portanto) será Ŷ 1 =n 0 +1*b 0 = *(-0.8) = 13.9 => 14 Apresenta-se a seguir um quadro com todos os cálculos já efectuados, bem como os que irão ser necessários para a determinação do intervalo de confiança a 90%, ou seja o cálculo do EQM

7 º Semestre 00/003 Problema Resolvido t Y t n t b t Ŷ t e t t Y t n t b t Ŷ t e t Face ao erro eventualmente cometido com o processo de inicialização (ver o comentário feito aquando da resolução do problema anterior pag 13), admitamos que para o cálculo do EQM só se vão considerar os erros de previsão a partir do instante 7. Assim, pelo que e 7 = Y 7 Ŷ 7 = Y 7 (n 6 + b 6 ) = 34 [ (-4.0)] = = 4.0 e 8 = Y 8 Ŷ 8 = Y 8 (n 7 + b 7 ) = 41 [ (-3.)] = = 10.9 : : e 0 = Y 0 Ŷ 0 = Y 0 (n 19 + b 19 ) = 1 [ (-0.3)] = = -4. (4.0) + (10.9) + + ( 4.) EQM = = Assim o intervalo de confiança da previsão, recordando que para um nível de confiança de 90% o valor de z α/ é 1.64, será 13.9 ± 1.64* = 13.9 ± 1. => 01.7 e 6.1 Como a série cronológica não tem nenhuma casa decimal, a resposta deverá ser: [0, 6] Regressão linear simples Neste modelo, a previsão para o instante t será estimada pela expressão Ŷ t = aˆ + bˆ t em que â e bˆ são, respectivamente, a ordenada na origem e o declive da recta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos (t, Y t ) aplicando o critério da minimização da soma do quadrado dos erros.(ou seja Min Σ e t ) As expressões para a determinação destes dois parâmetos são:

8 º Semestre 00/003 Problema Resolvido bˆ = t Y t t aˆ = Yt bˆ t n t Y n t t Para aplicar estas expressões há que, naturalmente, efectuar os cálculos dos somatórios e médias que delas constam: n = 0 (pontos) 1+ 0 Σ t = 10 ( 0 - soma do primeiro mais o último a dividir por, vezes o nº de parcelas) t = 10. ( 10/0 ) Σ t = 870 calculável, expeditamente, pela fórmula ( ) ( 0 + 1) Σ Y t = = 4616 Y t = 30.8 ( 4616/0 ) Σ t Y t = 1* 6 + * *0 + 0*1 = Assim, ˆ b = = â = 30.8 (-.1) * 10. = 3.11 pelo que o modelo de previsão que se vai adoptar, será Ŷ t = *t Logo, teremos para a previsão para o instante 1 Ŷ 1 = * 1 = => 08 Dado que a estimativa feita a partir da regressão linear segue uma distribuição t de Student com n graus de liberdade, a expressão para o cálculo do intervalo de confiança da previsão é. Ŷ t ± t α/,n- σˆ ε 1 + n ( t t ) t n t onde

9 º Semestre 00/003 Problema Resolvido t α/, n- é o valor que resulta da consulta da tabela da distribuição t de Student consoante o nível de confiança (1 - α) e o número de graus de liberdade (n-) σˆ ε é calculado pela expressão e t n No caso concreto deste problema em que o nível de confiança é de 90%, virá t 0.9, 18 = e os erros de previsão e t = Y t - Ŷ t - serão e 1 = 6 (3.11.1*1) = =.0 e = 49 (3.11.1*) = = 0.1 : : e 19 = 0 (3.11.1*19) = = 7.3 e 0 = 1 (3.11.1*0) = = 1.4 pelo que Σ e t = (.0) + (0.1) (7.3) + (1.4) = e, portanto σ ˆ ε = = Podendo obter-se, finalmente, o intervalo de confiança a 90% da previsão feita ± 1.734*6.10* 1 0 ( 1 10.) + = ± 4.91 => 03.6 e *10. ou seja [04, 13] Apresenta-se a seguir um quadro com todos os cálculos efectuados Resolução do problema 13 t Y t Ŷ t e t t Y t Ŷ t e t

10 º Semestre 00/003 Problema Resolvido a) Face ao gráfico representativo da série, naturalmente se conclui tratar-se de uma série com tendência crescente (que vamos assumir como linear) e com sazonalidade de período. Com efeito, a série apresenta, globalmente, um desenvolvimento crescente e a sazonalidade é facilmente reconhecivel dado que de em instantes repete-se o mesmo tipo de flutuação em torno do crescimento global da série (máximos nos instantes, 10 e 1, mínimos nos instantes 3, 8, 13 e 18, etc) ou seja, há um padrão fixo de comportamento. b) Para modelar séries com sazonalidade que tenham (ou não) tendência, foram leccionados dois tipos de métodos Holt-Winters e Decomposição Clássica qualquer deles com modelos aditivo e multiplicativo. Representando por S t a componente sazonal, de um modo geral, pode dizer-se que a uma série com sazonalidade é-lhe aplicável o modelo - aditivo se for do tipo Y t = T t + S t + ε t (se tiver tendência) ou Y t = n t + S t + ε t (se não tiver tendência) e corresponde às séries que graficamente se desenvolvem ao logo de duas linhas paralelas, - multiplicativo se for do tipo Y t = T t * S t + ε t (se tiver tendência) e cuja representação gráfica se desenvolve ao longo de duas linhas divergentes (se a tendência for crescente) ou convergentes (se a tendência for decrescente) Y t = n t * S t + ε t (se não tiver tendência). Se nalgumas séries é claro qual o modelo a aplicar (ver problema 11 onde é evidente a aplicabilidade do modelo multiplicativo), outras há em que a modelação mais correcta só pode ser feita utilizando outros processos (por exemplo, o modelo que tiver menor EQM). No caso vertente do problema 13 de que estamos tratando, vamos admitir que o modelo que se aplica é o aditivo, pelo que o vamos abordar utilizando as duas metodologias

11 º Semestre 00/003 Problema Resolvido Holt-Winters (modelo aditivo) Neste modelo, a previsão para o instante t será estimada pela expressão Ŷ t+k = n t +k * b t + f t+k-s Em que s representa o período sazonal, k o número de passos à frente para o qual se vai fazer a previsão, n t é o nível, b t a tendência e f t o índice sazonal, valores que se obtêm as partir das seguintes fórmulas recursivas n t = α (Y t f t-s ) + (1 - α) (n t-1 + b t-1 ) b t = β(n t n t-1 ) + (1 - β)b t-1 f t = γ (Y t n t ) + (1 - γ) f t-s que permitem actualizar as estimativas do nível, da tendência e dos índices sazonais a partir da observação feita no instante t Y t incorporando as estimativas feitas até ao instante t-1 - n t-1 e b t-1 e do índice sazonal feita um período antes - f t-s - através das constantes de amortecimento α, β e γ. Neste tipo de modelos, é necessário proceder sempre à sua inicialização, isto é, atribuir valores iniciais de n 1 a n s, b, e de f 1 a f s. Um procedimento possível, e frequentemente utilizado, é fazer a regressão dos s primeiros pontos da série (obtendo-se um valor para a ordenada na origem (c) e um declive (d) e atribuir a n s = c + dt com t de 1 a s, b s = d f t = Y t n t com t de 1 a s No nosso caso, após fazer a regressão dos primeiros pontos, obter-se-ia c = 160. e d = 64., donde n 1 = = 13.0 n = 160.+*64.=1389. n 3 = b = 64. n 4 = 118. n = f 1 = = f = =-10. f 3 = =-19.0 f 4 = = -0. f = = Podem, agora, utilizarem-se as fórmulas recursivas para calcular os sucessivos valores de n t, de b t e f t até t =0 (último instante para o qual se conhece o valor da observação) utilizando, como proposto no enunciado α = 0.79, β = 0.10 e γ = n 6 = 0.79*( ) + (1 0.79)*( ) = b 6 = 0.10*( ) + (1 0.10)*64. = f 6 = 0.99*( ) + (1 0.99)*178.0 = n 7 = 0.79*[11 (-10.)] + (1 0.79)*( ) = b 7 = 0.10*( ) + (1 0.10)*49.06 = 7.86 f 7 = 0.99*( ) + (1 0.99)*(-10.) = e sucessivamente até n 0 = 0.79*( ) + (1 0.79)*( ) =

12 º Semestre 00/003 Problema Resolvido b 0 = 0.10*( ) + (1 0.10)*3.4 = 9.97 f 0 = 0.99*( ) + (1 0.99)* = 13.1 Apresenta-se no quadro abaixo os cálculos já feitos, bem como os que irão ser efectuar a seguir quer para as previsões quer para a determinação do intervalo de confiança a 90%. Com o intuito de facilitar a identificação dos instantes que pertencem à mesma familia, introduziu-se uma coluna com essa indicação de I a V. t Y t n t b t f t Ŷ t e t I II III IV V I II III IV V I II III IV V I II III IV V Deste modo, a previsão da produção para os próximos anos será: Ŷ 1 =n 0 +1*b 0 + f 16 = * = 00.9 => 006 Ŷ =n 0 +*b 0 + f 17 = * (-100.9) = => 1866 Ŷ 3 =n 0 +3*b 0 + f 18 = * ( ) = => 1798 Ŷ 4 =n 0 +4*b 0 + f 19 = * = => 031 Ŷ =n 0 +*b 0 + f 0 = * = => 19 Para a definição dos intervalos de confiança, é necessário calcular o EQM, o que implica determinar os erros de previsão dos instantes passados. Face ao erro eventualmente cometido com o processo de inicialização (ver o comentário feito aquando da resolução do problema 3 pag 13), admitamos que para o cálculo do EQM só se vão considerar os erros de previsão a partir do instante 11. De notar que para este tipo de modelo, o resguardo a dar relativamente à inicialização deve ser maior, pois os índices de sazonalidade são actualizados de s em s instantes (no nosso caso s = ). Os erros de previsão seriam (ver quadro):

13 º Semestre 00/003 Problema Resolvido e 11 = Y 11 Ŷ 11 = 1798 ( ) = = e 1 = Y 1 Ŷ 1 = 1611 ( ) = = : : : : e 0 = Y 0 Ŷ 0 = 04 ( ) = = pelo que o erro quadrático médio seria: EQM = ( ) + ( 47.43) (81.31) = Assim, os intervalos de confiança das previsões, recordando que para um nível de confiança de 90% o valor de z α/ é 1.64, será 00.9 ± 1.64* = 00.9 ± => e 170. => [1841, 171] ± 1.64* = ± => e => [1701, 031] ± 1.64* = ± => e => [1633, 1963] ± 1.64* = ± => e 19.6 => [1866, 196] ± 1.64* = ± => 06.7 e 36.6 => [07, 37] Decomposição clássica (modelo aditivo) Neste modelo a previsão para o instante t é dada pela expressão Ŷ t = Tˆ t + Ŷ t = n t + Ŝ t + e t Ŝ t + e t no caso de a série ter tendência no caso de a série não ter tendência Em que Tˆ t ou n t são os estimadores da tendência ou do nível, consoante o caso e os estimadores dos s índices de sazonalidade. Ŝ t representa No método da decomposição clássica, começa-se por tentar eliminar a sazonalidade, para o que se utilizam médias móveis centradas com um comprimento igual (ou múltiplo) ao período de sazonalidade s. Como no nosso caso o período de sazonalidade é, as médias móveis a aplicar serão M t = Y t + Yt 1 + Yt + Yt Yt + (De notar, que a expressão para as médias móveis de comprimento par têm uma fórmula ligeiramente diferente)

14 º Semestre 00/003 Problema Resolvido Assim as médias móveis que temos de calcular serão: M 3 = Y Y + Y3 + Y4 Y = = M 4 = Y + + Y3 + Y4 + Y Y6 = = : : : : M 18 = Y Y17 + Y18 + Y19 Y0 = = É sobre a série cronológica das médias móveis centradas que, teoricamente, isolaram a tendência, (isto é, M t T t ) que vamos aplicar a regressão linear simples para encontrar os estimadores â e bˆ dessa tendência (no caso da série Y t não ter tendência, será o nível n t que tem de ser estimado). O quadro abaixo sistematiza os cálculos até aqui efectuados, como todos os que sequencialmente se irão efectuar. t Y t M t Tˆ S t t S t Ŷ t e t I II III IV V I II III IV V I II III IV V I II III IV V Assim, correlacionando, pela regressão linear simples, os 16 pontos (t, M t ) desde o ponto (3, 144.0) até (18, ), calculando, portanto, os valores de Σt = 168, t = 10., Σt = 104, ΣM t = 7110., M = e de Σt*M t = , obter-se á: t â = 146. e bˆ =.4 o que permite estimar os valores da tendência a partir da expressão valores que no quadro estão indicados na quarta coluna. Tˆ t = *t,

15 º Semestre 00/003 Problema Resolvido Estimada a componente tendência, podem agora calcular-se os valores dos índices de sazonalidade através da diferença Y t - Tˆ t, que são apresentados na quinta coluna do quadro anterior. Exemplificando: S 1 = = 1.3, S = = , até S 0 = = 10.0 (Se o modelo adoptado fosse o multiplicativo, em vez de ser Y t - Tˆ t, seria Y t / Tˆ t ) Sendo o período de sazonalidade igual a, pertencerão à mesma familia os indices separados de instantes, isto é, S 1 (1.3), S 6 (0.6), S 11 (90.8) e S 16 (67.1) são da familia que se denominou de I (vide quadro), do mesmo modo S (-190.3), S 7 (-4.0), S 1 (-11.7), e S 17 ( ) pertencem à familia II, etc. A genese do método da decomposição clássica implica a procura do padrão médio dos índices de sazonalidade, pelo que há que determinar o indice médio de cada uma das familias. S I = S II = S III = S IV = S V = = = = = = Por definição, no modelo aditivo do método da decomposição clássica, a soma dos índices de sazonalidade deve ser igual a zero, pelo que se deve utilizar a seguinte fórmula correctiva (para que a soma seja efectivamente igual a zero) ' k S = S S * k (No modelo multiplicativo, a soma dos índices de sazonalidade tem de ser igual ao período de ' s sazonalidade s - e a fórmula correctiva é S k = S k * ). S k Aplicando ao caso do problema de vimos tratando, dado que virá, S S S j = = S j = = 9.0 ' S I = * ' S II = * ' S III = * ( 71.9) 9.0 = 7.8 ( 71.9) 9.0 = ( 71.9) 9.0 = -18. j j j

16 º Semestre 00/003 Problema Resolvido ' ( 71.9) S IV = * = ' ( 71.9) S V = * = Estamos, finalmente, aptos a definir o modelo de previsão a utilizar ˆ Y t = t se o instante t a prever pertencer à familia I se o instante t a prever pertencer à familia II se o instante t a prever pertencer à familia III se o instante t a prever pertencer à familia IV se o instante t a prever pertencer à familia V Assim, as previsões serão: Ŷ 1 = *1+7.8 = 03.4 => 03 Ŷ = * = => 1877 Ŷ 3 = *3-18. = => 1831 Ŷ 4 = * = 08.3 => 08 Ŷ = *+01. = 66.0 => 66 Para a definição dos intervalos de confiança destas previsões, o procedimento é igual ao que já foi descrito: - Determinação das estimativas para os instantes de 1 a 0, utilizando o modelo de previsão atrás indicado e cujos valores estão indicados na penúltima coluna do quadro da página 4 Exemplo Ŷ 1 = *1+7.8 = Cálculo dos erros de previsão ocorrido em cada instante (vide última coluna do mesmo quadro) Exemplo e 1 = = Cálculo do somatório dos quadrados dos erros de previsão Σe t = (-1.) + (-79.6) +. + (-96.3) = Determinação do EQM = 71933/0 = Relembrando que para um nível de confiança de 90%, z α/ é 1.64, os intervalos de confiança pretendidos serão: 03.4 ± 1.64* = 03.4 ± 98.7 => e => [1937, 134] ± 1.64* = ± 98.7 => e => [1779, 1976] ± 1.64* = ± 98.7 => e => [173, 1930] 08.3 ± 1.64* = 08.3 ± 98.7 => e 17.0 => [1960, 17] 66.0 ± 1.64* = 66.0 ± 98.7 => e => [167, 36]