ESTATÍSTICA APLICADA II ANO LECTIVO 2013/2014. Exame Final 18 de Julho de 2014

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1 ESTTÍSTIC PLICD II O LECTIVO 3/4 Exame Final 8 de Julho de 4 Duração : 3 M ota: Responder um grupo por folha (utilize frente e verso de cada folha) Em todas as questões apresentar os cálculos efectuados I GRUPO (4,5 Valores) Um grupo de investigadores em nutrição está interessado em analisar o consumo de pão por família das cidades e. O investigadores admitem que o consumo de pão segue uma distribuição normal com desvio padrão,5 e,45 para as cidades e, respetivamente. a cidade foi recolhida uma amostra aleatória constituída por 65 indivíduos, tendo-se obtido uma média de 9,95. Já na cidade foi recolhida uma amostra de 57 indivíduos, com uma média de 3,8. a) (,5) O investigador responsável acredita que o consumo médio de pão por família da cidade é superior ao observado na cidade. o nível de significância de 5%, poder-se-á concluir que o investigador responsável tem razão? b) () Determine um intervalo para a diferença de médias do consumo de pão das cidades e, com um grau de confiança a 95%. ota: utilize duas casas decimais na resolução II GRUPO (3,5 Valores) Uma empresa de comunicação lançou uma aplicação para tablets e smartphones, que permite o acesso às notícias de uma forma rápida e intuitiva. Os pedidos de informação, por parte de potenciais clientes, sobre esta aplicação foram, em 4 dias escolhidos ao acaso, os seguintes: º de pedidos º de dias Será de admitir que o número de pedidos de informação segue uma distribuição de Poisson, ao nível de significância de 5%? III GRUPO (3,5 Valores) Um empresário tem três lojas de bairro e dispõe de três empregados, os quais estão familiarizados com as diferentes lojas. Os dados recolhidos das vendas médias semanais (centenas de euros) dos três empregados nas três lojas são os seguintes: Lojas Empregados loja loja loja C SQT = 4, SQR = 3, SQC = 9,56 = 5,4 ota: utilize duas casas decimais na resolução

2 a) () Determine, ao nível de significância de 5%, se existem diferenças significativas nas vendas: i) devidas às lojas (factor coluna) ii) devidas aos empregados (factor linha) b) (,5) Identifique as diferenças significativas que verificar. IV GRUPO (4,5 Valores) O administrador de uma determinada empresa pretende estudar a relação entre a produtividade da sua empresa e os investimentos em novas tecnologias. Para tal foram observados os valores dos últimos 8 anos e registados na seguinte tabela: Investimentos em novas tecnologias () Produtividade (Y) ote que: e a) (,5) juste uma função potência aos dados (Y= ). (os seus cálculos utilize três casas decimais) b) (,5) juste uma função exponencial aos dados (Y= ). (os seus cálculos utilize três casas decimais) c) (,5) Utilizando o coeficiente de determinação diga qual a curva que melhor se ajusta aos dados. V GRUPO (4 Valores) Uma associação hoteleira algarvia pretende investigar se o índice de emprego nos serviços e a temperatura média do ar influenciam os proveitos de aposentos dos estabelecimentos hoteleiros. Para isso foi feita uma recolha de dados durante 5 anos, com os quais foi obtido o seguinte modelo de estimação: ˆ = 4355, 386, 7 436, Em que: Y i i 3i Yi i 5 3i - proveitos de aposentos dos estabelecimentos hoteleiros, no i-ésimo ano - índice de emprego nos serviços (variação homóloga), no i-ésimo ano - temperatura média do ar, no i-ésimo ano ˆ, e R, 99 Com, ˆ 97, 7 3 a) () O presidente da associação acha que a temperatura média do ar não tem relevância estatística no modelo obtido. Teste, ao nível de significância de 5%, se o presidente da associação tem razão. b) () Teste a validade do modelo, a um nível de significância de 5% ota: utilize duas casas decimais na resolução

3 Resolução do exame de 8 de Julho de 4 I GRUPO Sejam, - consumo de pão por família na cidade - consumo de pão por família na cidade Com, ,95 3, 8,5, 45 ssim, o teste de hipóteses a usar será o da diferenças de médias: : : com, 5 Uma vez que as variâncias são conhecidas, a estatística de teste é: Z ~ (,) O valor de teste a usar será então: Z (,45) 57 3,8 9,95 (,5) 65 8,8 Consultando a tabela da distribuição normal, e uma vez que o teste de hipóteses é unilateral, o valor pretendido é,95, 645. ssim sendo, teremos R ;,645 RR,645; Como 8,8 RR, rejeitamos, para um nível de 5%, e podemos concluir que o investigador responsável tem razão ao afirmar que o consumo médio de pão na cidade é superior ao da cidade. b) O intervalo de confiança para a diferença de médias do consumo de pão das cidades e, uma vez que a variância é conhecida, será dado por: P com k Como k,975, 96 IC IC IC,95,95,95 k, teremos (9,95 3,8),96 3,33,96,4 4,4;,5 (,5) 65 (,45) 57

4 II GRUPO : o nº de pedidos de informação segue uma distribuição de Poisso : o nº de pedidos de informação não segue uma distribuição de Poisson Calculo da media da amostra = =,7 (λ =,7) F pi fi=.pi (F-fi)^/fi 6,87 7,38,34 4,36,44,999,64,56,97 3 7,496 5,984,75 4 3,93 3,78,4 4,7784 Q Q Q = 7,8 c/ ᾳ =,5,7784 < 7,8 não se rejeita, logo o nº de pedidos de informação segue uma distribuição de Poisson - vendas medias semanais m=3 factor linha (empregados) n=3 factor coluna (lojas) III GRUPO : = = (ausência do efeito empregado) : = = (ausência do efeito loja) Tabela OV Origem da variação Soma de quadrados GL Quadrados médios Factor linha SQL = 369,55 3- QML = = 84,75 Factor coluna SQC = 9,56 3- QMC = = 4,78 Residual SQR = 3, (3-)(3- ) QMR = = 5,78 Total SQT = 4, SQL = SQT SQC SQR SQL = 4, 9,56 3, SQL = 369,55 i) : = = (ausência do efeito empregado) Teste estatistico = = = 3,96 > = 6,94 Rejeita-se logo existem diferenças significativas devidas ao factor linha

5 ii) : = = (ausência do efeito loja) Teste estatistico = = =,83 < = 6,94 ão se rejeita logo não existem diferenças significativas devidas ao factor coluna. b) Dado que existem diferenças significativas nas vendas devidas ao factor linha (empregados) vamos proceder às comparações multiplas de Tukey Valor critico. = 5,4. = 6,99 Médias do factor linha 4, ipotese nula Estatistica do teste Valor critico Decisão do teste : = 4,33-33 =8,67 > 6,99 Rejeitar : = 4,33-4 =5,67 > 6,99 Rejeitar : = 33-4 =7 > 6,99 Rejeitar rejeição das hipoteses leva-nos a concluir que existem diferenças significativas nas vendas devidas ao factor empregado, no entanto podemos verficar que entre os empregados e C essa diferença não é significativa pois a estatitica do teste e o valor critico são praticamente iguais. IV GRUPO a) e b) e

6 c) função exponencial função potência função que melhor se ajusta aos dados é a função exponencial. V GRUPO a) O teste de hipóteses será dado por : 3 : 3, considerando, 5 Como não conhecemos ˆ3, a estatística de teste a usar é ˆ * 3 3 t ~ t( nk ) ˆ ˆ 3 O valor de teste será então dado por t 436,5 97,7,6 Onde t (,975) t (,975) 4, 33 t Logo, R 4,33;4,33 RR ; 4,33 4,33; Uma vez que,6 R, aceitamos, pelo que podemos concluir, para um nível de 5%, que a temperatura média do ar não tem relevância estatística. Sendo assim, o presidente da associação tem razão. b) O teste estatístico a formular é: : : k, k,,3, em que 5. Sabemos que a estatística de teste é R ( k ) F ~ F, n k k. R ( n k) 3

7 Logo, o valor a testar será dado por,99 (3 ),45645 F,48.,99,4355 (5 3) a tabela da distribuição F de Snedcor obtemos o valor,5 F (,95) 9 Sendo assim, teremos R ;9 F. 3,5, RR 9; Como,48 R, aceitamos concluindo assim que o modelo não é globalmente significativo ao nível de significância de 5%.