H 0 : m 1 = m 2 =... = m I = 0 H a : pelo menos m u m k, para algum u k (u,k=1,2,...,i)

Transcrição

1 Em um experimento ao se comparar as médias de tratamentos ou dos níveis de um fator de tratamentos, inicialmente, formula-se a seguintes hipóteses: H 0 : m = m =... = m I = 0 H a : pelo menos m u m k, para algum u k (u,k=,,...,i) Esta hipótese será testada por meio do teste F, aplicada à ANOVA: Aceitando H 0 ao nível de significância α constata-se a evidência da não existência do efeito do fator, ou dos tratamentos sobre a variável observada. Rejeitando H 0 ao nível de significância α, aceita-se a hipótese alternativa, na qual pelo menos um par de médias de tratamentos ou dos níveis do fator diferem entre si. CONTUDO, não se tem a identificação destas médias. Para se investigar quais das médias dos tratamentos diferem entre si, há necessidade de continuar a análise estatística desses dados observados.

2 Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o fator, a técnica apropriada será escolhida. Logo, temos o seguinte esquema: Fator Qualitativo Teste de comparações múltiplas Rejeita H 0 H 0 H ANOVA Fator Quantitativo Regressão Aceita H 0 As pressuposições devem ser satisfeitas!

3 Teste de Comparações Múltiplas Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 3

4 Os testes de comparações múltiplas, ou teste de comparações entre médias, servem como um complemento do teste F, para detectar diferenças de efeito entre os tratamentos. A técnica de comparações múltiplas permite testar as hipóteses do tipo: onde Y é um contraste. H 0 : Y = 0 H a : Y 0 Logo, vejamos o que é um contraste... 4

5 Contrastes O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Experimental, principalmente quando o experimento em análise é composto por mais do que dois tratamentos. Com o uso de contrastes é possível ao pesquisador estabelecer comparações, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse. Veremos os fundamentos para estabelecer grupos de contrastes, obter a estimativa para cada contraste estabelecido, bem com estimar a variabilidade associada a cada um destes contrastes. 5

6 Definição Contraste de médias são funções lineares de médias, cuja soma dos coeficientes é nula. Matematicamente: Considere a seguinte função linear de médias populacionais de tratamentos Y a m a m... a m I I I Y será um contraste entre médias se satisfizer a seguinte condição: 0 i a i Exemplo: Verifique se as funções abaixo são contrastes. Y Y Y m m m3 m4 m m 3 m3 m4 Y Y 4 3m m m3 m4 5 m m m3 OBS: Todo contraste é uma função linear, mas nem toda função linear é um contraste. 6

7 Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias populacionais m i, mas suas estimativas. Daí, em Estatística Experimental, não se trabalha com o contraste Y mas com o seu estimador Ŷ, que também é uma função linear de médias obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim tem-se que o estimador para o contraste de médias é dado por: Yˆ a mˆ a mˆ... a I mˆ I OBS: O pesquisador pode formular aqueles contrastes que sejam de maior interesse para ele. Exemplo: Obtenha a estimativa dos seguintes contraste considerando as médias do exemplo do DIC da aula anterior: mˆ mˆ mˆ mˆ B C D ˆ A m 3kg / m 3 4 mˆ mˆ 3 mˆ 4 7kg / m 6kg / m 3kg / m Y 3m m m m Y m3 m4 7

8 A estimativa da variância de da estimativa de um contraste Y, admitindo independência entre as médias é dado por: ) ˆ ˆ(... ) ˆ ˆ( ) ˆ ˆ( ) ˆ ( ˆ I I m V a m V a m V a Y V I I I s a s a s a Y V... ) ˆ ( ˆ em que, i é o número de repetições do tratamento i. Se, teremos:... s s s s Se, teremos:... s s s s I... ) ˆ ( ˆ s a a a Y V I I s QM s Re Se, teremos: I... s a a a Y V I... ) ˆ ( ˆ Exemplo: Obtenha a estimativa da variância das estimativas dos contrastes do exemplo anterior. 8

9 Testes de Comparações Múltiplas Há um número elevado de testes para tais fins, apresentaremos alguns deles: a) Tukey b) Duncan c) SNK d) Dunnet e) T f) F g) Scheffé h) Bonferroni i) Scott-Knott 9

10 Exemplo: Para comparar a produtividade de quatro variedades de milho (kg/00m ), um agrônomo tomou 0 parcelas similares e distribuiu, inteiramente ao acaso, cada uma das 4 variedades (A, B, C, D) em 5 parcelas experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre as variedades com relação a produtividade, utilizando o nível de significância de 5%? Variável resposta (Y): produção de milho (kg/m ) Fator: variedades de milho Tratamento: A, B, C, D Repetição: = 5 Delineamento: DIC Objetivo: Estudar se há diferença entre as 4 variedades de milho segundo a sua produção. Ao nível de 5% de significância rejeitamos H 0, concluindo que existe efeito de tratamento. Como o fator Variedade é qualitativo Variedade Repetições A B C D Totais Médias Teste de Comparações Múltiplas. 0

11 a) Teste de Duncan (ou teste de amplitudes múltiplas)

12 Teste de Duncan Desenvolvido por Duncan (955), este teste também é conhecido como Teste de múltiplas amplitudes. É utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas () médias. Limitação: Não permite comparar grupos de médias entre si. Base: Várias diferenças mínimas significativas (D i ). OBS: É o menos rigoroso que o de Tukey, pois enquanto o de Tukey mantém a mesma probabilidade α para todos os contrastes, o de Duncan considera a probabilidade ( α) n para cada contraste dependendo do número de n de médias abrangidas pelo contraste.

13 Procedimento: ) Sua expressão é: Se D i em que: k q z i, teremos: QM Re Vˆ( Yˆ) z s i k q D i é a d.m.s. = diferença mínima significativa. i Se k D i Teste de Duncan q z i, teremos: QM Re s z i é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas para o teste de Duncan com n (número de médias ordenadas envolvidas pelo contraste) e n (número de graus de liberdade do resíduo) a um nível α de probabilidade. ˆ) Vˆ ( Y é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias de tratamentos. i é o número de repetições das médias confrontadas no contraste. OBS: É um procedimento sequêncial baseado na amplitude total estudentizada, válido para a totalidade dos contrastes de médias duas a duas. 3

14 Teste de Duncan ) Na aplicação desse teste, deve-se ordenar as médias e o primeiro contraste, deve levar em conta a maior e menor média. Se ele não for significativo não se deve testar outros contrastes. 3) Compara-se com D k : Ŷ Se Yˆ D k, o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as duas médias envolvidas no teste diferem entre si. Em que D k é a d.m.s., ao nível α de significância, para k médias abrangidas. Caso contrário, as médias não diferem entre si. OBS: Os resultados do método de Ducan, em geral, são os mesmos que os obtidos com Tukey, porém no Tukey mantém-se o nível em todos os C I, contrastes, enquanto que o Duncan temos ( α) n, sendo n o número de médias abrangidas. Logo, para cada n tem-se um diferente. OBS: Nota-se também que (de Tukey) é maior que qualquer um dos D i de Duncan o que o torna mais rigoroso. 4

15 Tabela do Teste de Duncan ao nível de 5% de probabilidade 5

16 Tabela do Teste de Duncan ao nível de % de probabilidade 6

17 Exemplo: Teste de Duncan mˆ D mˆ B mˆ C mˆ A 3 kg/00m a 7 kg/00m b 6 kg/00m b c 3 kg/00m c As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Duncan a 5% de significância. Pelo teste de Duncan, concluímos ao nível de 5% de significância que a variedade D teve desempenho médio significativamente superior as variedades B, C e A, e que não houve diferença entre B e C e entre C e A. OBS: Quando I = tratamentos, as amplitudes de Tukey e Duncan são iguais. 7

18 b) Teste de Tukey (ou DHS) A sigla DHS (Diferença Honestamente Significante) é a tradução original HSD, do inglês (Honestly Significant Difference). História: Desenvolvido por. W. Tukey (955). 8

19 Tarefa. a) Como fazer o teste de Tukey? b) Em que situações ele pode ser aplicado? c) O que é necessário? d) Descreva por itens os passos para realizar o teste de Tukey. e) Quais as suas vantagens e desvantagens? f) Utilize os dados do exemplo do DIC (feito na sala de aula) e aplique o teste de Tukey ao mesmo nível de significância considerado na ANOVA. Conclua adequadamente o teste, apresentando a tabela com as médias e as separações entre os grupos ( letras ), além de concluir biologicamente. 9

20 Exemplo: Teste de Duncan mˆ D mˆ B mˆ C mˆ A 3 kg/00m a 7 kg/00m b 6 kg/00m b c 3 kg/00m c As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Duncan a 5% de significância. Teste de Tukey mˆ D mˆ B mˆ C mˆ A 3 kg/00m a 7 kg/00m a b 6 kg/00m b 3 kg/00m b As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de significância. 0

21 Teste de Tukey Utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias. Limitação: Não permite comparar grupos de médias entre si. Base: Uma diferença mínima significativa d.m.s. (). Procedimento: Para testar todos os I(I )/ = C I, contrastes do tipo Y = m k m q, para k < q I, cujas hipóteses são: H 0 : Y = 0 H 0 : m k = m q H 0 : m k m q = 0 H a : Y 0 H a : m k m q H 0 : m k m q 0 sendo k q e k, q =,,..., I.

22 Teste de Tukey ) Sua expressão é: Se k q, teremos: Se k q, teremos: q QM Re Vˆ( Yˆ) q s k q q QM Re s Em que: é a d.m.s. = diferença mínima significativa. q é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas com n (número de tratamentos ou médias de tratamentos) e n (número de graus de liberdade do resíduo a um nível α de probabilidade). ˆ) Vˆ ( Y é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias de tratamentos.

23 ) Calcular todas as estimativas dos contrastes entre duas médias, isto é, os C I, I!!( I )! contrastes a serem testados da forma: Yˆ mˆ mˆ, i k q k Teste de Tukey 3) Compara-se com : Ŷ Se Yˆ, o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as duas médias envolvidas no teste diferem entre si. Caso contrário, as médias não diferem entre si. 4) O modo usual de se apresentarem esses resultados é ordenando-se as médias e colocando-se letras ao lado, de tal forma que, médias seguidas de mesma letra não diferem entre si. OBS: É um teste conjunto, pois é feito com nível de significância conjunto, por isso se diz que ele é mais exigente. 3

24 Exemplo: Teste de Tukey Considere o exemplo do DIC, considerando a variável resposta produção de milho. mˆ D mˆ B mˆ C mˆ A 3 kg/00m a 7 kg/00m a b 6 kg/00m b 3 kg/00m b As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de significância. Pelo teste de Tukey, concluímos ao nível de 5% de significância que a variedade D teve desempenho médio significativamente superior as variedades C e A, e que não houve diferença entre D e B e entre B, C e A. OBS: Quando temos muitos tratamentos, o teste de comparações múltiplas fica mais trabalhoso e consequentemente a conclusão fica mais difícil. OBS: O teste F da ANOVA e os testes de comparação entre médias não são equivalentes! O F é um teste na média dos contrastes e não um contraste específico. 4

25 Tabela do Teste de Tukey ao nível de 5% de probabilidade 5

26 Tabela do Teste de Tukey ao nível de % de probabilidade 6

27 Interpolação 7

28 Problema: Como determinar o n = 35, por exemplo??? 8

29 Interpolação Não sendo possível apresentar tabelas exaustivas, que cubram todos os valores possíveis de probabilidade ou dos parâmetros das distribuições, há muitas vezes necessidade de fazer interpolações para estimar os valores que nos interessam a partir de valores tabelados. A denominação interpolação linear assume que a função tabelada varia a uma taxa constante entre dois valores sucessivos da tabela. Embora haja outros métodos de interpolação (por exemplo, interpolação harmônica), este é o processo de interpolação mais vulgarmente utilizado para o efeito. Sejam y e y dois valores consecutivos do corpo de uma tabela, a que correspondem os antecendentes x e x, respectivamente. Suponha-se que pretendemos estimar o valor y e correspondente ao argumento x e, sendo x < x e < x. Calculamos primeiro a proporção : x e x x x e depois calculamos y e : y e y ( y ) y 9

30 Exemplo: Suponha que queremos o valor q (4, 35; 5%) da tabela de Tukey, contudo note que este valor não se encontra na tabela. Logo, precisamos fazer uma interpolação para estimar o valor. O valor anterior e posterior a este são q (4, 30; 5%) = 3,85 e q (4, 40; 5%) = 3,79. Assim: 30

31 x = 30 e y = 3,85 x e = 35 e y e =? x = 40 e y = 3,79 Calculamos primeiro a proporção : x e x x x ,5 y y y e e e y ( y y ) 3,85 0,5(3,79 3,85) 3,8 3

32 c) Teste de Student-Newman-Keuls (ou SNK) 3

33 Teste de SNK (Student Newman Keuls) O procedimento para a realização deste teste é bastante semelhante ao teste de Duncan. A diferença é que nas DMS's do SNK são usados os valores tabelados de q (i,n,) (Tabela de Tukey) ao invés de z (i,n,). q (i,n,) sendo: _ nível de significância estabelecido (); _ correspondente a combinação entre o número de médias abrangidas na comparação (i); e _ grau de liberdade do resíduo (n ) da ANOVA. 33

34 Teste de SNK A diferença mínima significante (DMS) entre duas médias pelo teste de SNK é dada por: ) Sua expressão é: Se k q, teremos: Se k q, teremos: SNK i q ( i, n', ) Vˆ( Yˆ) SNK i q ( i, n', ) k q QM Re s SNK i q ( i, n', ) QM Re s Tarefa. Utilize os dados do exemplo do DIC (feito na sala de aula) e aplique o teste de SNK ao mesmo nível de significância considerado na ANOVA. Conclua adequadamente o teste, apresentando a tabela com as médias e as separações entre os grupos ( letras ), além de concluir biologicamente. 34

35 Tarefa. Teste de SNK Foi realizada a análise de variância para os dados de porcentagem de absorção de água de 5 linhagens de feijão, com 3 repetições por linhagem. O valor do grau de liberdade do resíduo (glres) foi de 0 e o quadrado médio do resíduo (QMRes) foi 4,08. Rejeitou-se H0 ao nível de 5% de significância, concluindo-se que existe diferença entre as linhagens. Utilize o teste de SNK para descobrir quais linhagens são diferentes ou/e semelhantes. ˆm 95,5; ˆm 87,8; ˆm 3 86,9; ˆm 4 6,3; ˆm 5 08, Resposta: q 5 = 4,65; q 4 = 4,33; q 3 = 3,88; q = 3,5 ˆm 5 ˆm ˆm ˆm 3 ˆm 4 08, a 95,5 b 87,8 c 86,9 c 6,3 d 35

36 d) Teste de Dunnett 36

37 Teste de Dunnett Utilizado se o interesse estiver na comparação de um determinado tratamento (controle ou padrão) com os demais, não havendo interesse na comparação dos tratamentos experimentais entre si. Limitação: Não permite comparar os tratamentos experimentais entre si e também grupos de tratamentos. Base: diferenças mínimas significativas (d.m.s.). Vantagem: Se fizer o mesmo com os outros testes (mesmo interesse) o poder é menor para detectar diferenças. Por isso que ele é usado, tem um podem maior. É mais sensível que o teste de Tukey e de Scheffé, pois detecta diferenças onde os dois últimos não detectam. Desvantagem: Despreza as outras comparações entre as médias. OBS: É um modificação do teste t para comparações múltiplas. 37

38 Teste de Dunnett OBS: O método é exato, quando os dados são balanceados. No caso de dados desbalanceados, o método é aproximado. Procedimento: Um experimento com I tratamentos, um dos quais é o controle, permite a aplicação do teste a I comparações. ) Calcular a estimativa de cada contraste entre um tratamento regular e o controle. Yˆ Yˆ... Yˆ I mˆ mˆ mˆ mˆ mˆ I controle controle mˆ controle 38

39 ) Sua expressão é: em que: d' d( I, gl.res; ) QM Re s i D i é a d.m.s. = diferença mínima significativa. Teste de Dunnett z i é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas com n (número de médias ordenadas envolvidas pelo contraste) e n (número de graus de liberdade do resíduo a um nível α de probabilidade). Vˆ ( Y ˆ) é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias de tratamentos. i é o número de repetições das médias confrontadas no contraste. cont 3) Compara-se com d : Ŷ Se Yˆ d ', o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as duas médias testadas diferem entre si. Caso contrário, as médias não diferem entre si. 39

40 Tabela para o Teste de Dunnett unilateral 40

41 Tabela para o Teste de Dunnett bilateral 4

42 Contrastes ortogonais 4

43 Contrastes Ortogonais Sejam os contrastes: Yˆ a mˆ a mˆ... a I mˆ I ^ Dizemos que Y é ortogonal a Y se: Cov Yˆ b mˆ b mˆ... ^ b I mˆ I Cov( Yˆ, Yˆ ) I ( ˆ, ˆ a ibi Y Y ) si i i 0. Portanto, 0 Se Se s I s... s s... I, teremos: i, teremos: I I i aib i i a i b i 0 0 A implicação imediata é que podemos decompor a soma de quadrados de tratamento (SQTrat) exatamente por contrastes ortogonais. 43

44 OBS: Contrastes ortogonais significa que são independentes, ou seja, o valor de um independe do valor do outro que lhe é ortogonal. OBS: Três ou mais contrastes serão ortogonais entre si se eles forem ortogonais a. OBS3: Num experimento com I tratamentos, podemos formular vários grupos de contrastes ortogonais, porém cada grupo terá apenas (I ) contrastes ortogonais. OBS4: O teste para comparações múltiplas t e F exigem ortogonalidade dos contrastes (o que significa independência) 44

45 Exemplo: Verifique se o conjunto de contrastes é ortogonal: C C C 3 m m m m m m m 3 m 3m

46 Como montar um conjunto de contrastes ortogonais? Regra prática para obter grupos de contrastes ortogonais: Se um contraste tiver, como no nosso exemplo, 3 médias contra uma devese, no próximo contraste montá-lo com as médias que formam um grupo esquecendo-se o que ficou sozinha. E assim por diante. Se o primeiro contraste contar grupos de médias, nos próximos trabalhamse dentro de cada grupo. Exemplos: # Número ímpar de médias de tratamentos # Número par de médias de tratamentos 3 tratamentos: m, m e m 3 4 tratamentos: m, m, m 3 e m 4 C C ( m m) m m m 3 C C C ( m m) ( m3 m4) 3 m m 3 m m 4 46

47 e) Teste F 47

48 Teste F Quando na ANOVA se tem gl. para uma determinada causa de variação (que são os contrastes) o teste F é autosuficiente dispensando o uso de testes de comparações de médias. Nesses casos, Vejamos: F t (, v) ( v) O estudo de contrastes ortogonais na ANOVA é uma técnica chamada de desdobramento de gl. de tratamentos, ou repartição da SQTrat, em que: sendo em que: Ŷ i a i SQYˆ SQTrat SQYˆ i I i I a mˆ i i i i a i i SQYˆ... SQYˆ SQYˆ é a estimativa (valor) do contraste obtido com totais de tratamentos. são os coeficientes dos totais no contraste. é o número de observações desses totais (repetição). i I i I I a mˆ i i a i i,... I 48

49 Logo, a ANOVA para testar as hipóteses do conjunto de contrastes ortogonais será: Teste F Fonte de Variação (FV) graus de liberdade (gl) Soma de Quadrados (SQ) Quadrado Médio (QM) F calc F tab Yˆ SQYˆ QMYˆ QMYˆ QM Re s F [, I ( ); ] [ I ( )] t Tr ratamento Yˆ gl. Trat SQTrat SQYˆ QMYˆ QMYˆ QM Re s F [, I ( ); ] [ I ( )] t Yˆ SQYˆ I I QMYˆ I ˆ QMY I QM Re s F [, I ( ); ] [ I ( )] t Resíduo I( ) SQRes QMRes - - Total I SQTotal OBS: Assim, a construção de (I ) contrastes ortogonais decompõe a SQTrat na sua totalidade. Podemos construir vários grupos de (I ) contrastes ortogonais e testá-los. Porém cada um deles deve decompor toda a SQ do fator em estudo. 49

50 OBS: O coeficiente de confiança ( α) é válido para cada contraste, e não para o conjunto de todos os contrastes considerados. Logo, o nível conjunto de probabilidade é dado por: [ ( α) n ] n α em que, α é o nível de significância escolhido; n é o número de contrastes ortogonais. Teste F 50

51 f) Teste t-student 5

52 Teste t-student O teste t é menos usado nas comparações de médias de tratamentos, pois ele exige que: O grupo de contrastes sejam ortogonais; Os contrastes sejam em número igual ao número de gl. de tratamentos. Os contrastes sejam estabelecidos à priori, ou seja, no planejamento do experimento. Além disso, as mesmas comparações ou contrastes testados pelo t, podem ser feitas na própria análise de variância. 5

53 Procedimento: Teste t-student ) Este teste compara se o contraste difere significativamente de A (valor estabelecido, zero, por exemplo). Sua expressão é: Ŷ i t calc Yˆ i A Vˆ( Yˆ) em que: Ŷ i Vˆ( ˆ ) Y i é a estimativa do contraste. é a estimativa da variância da estimativa do contraste. ) Compara-se t calc com t tab = t (gl. do resíduo; α) : Se t calc > t tab, rejeita-se H 0 e conclui-se ao nível α de probabilidade, indicando que os grupos de médias testadas diferem entre si. Caso contrário, os grupos de médias não diferem entre si. 53

54 g) Teste de Scott-Knott 54

55 Tarefa 3. Qual é a vantagem e desvantagem de utilizar o teste de Scott-Knott? 55