Prova # 2 8 junho de 2015

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1 MAE 229 -Introdução à Probabilidade e Estatística II Prof. Fábio Machado e Prof. Lígia Henriques-Rodrigues Prova # 2 8 junho de 2015 Questão Total Valor Nome: Nro. USP: Observações: Não destaque as folhas. Organize suas respostas. Não serão fornecidas folhas adicionais. Use todo o espaço disponível (frente e verso). Na última página encontram-se tabelas para resolução da prova. Fórmulas: Média: x = x x n n Variância: s 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 = 1 n 1 ( n i=1 x2 i n( x)2 ). Se X B(n, p), P(X = k) = ( n k) p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n, então E(X) = np, V ar(x) = np(1 p). Aproximação: Se X B(n, p), então, quando n é grande, Z = Comparação de variâncias: W = S2 1 S 2 2 Comparação de médias: ( F (n 1, m 1) e IC( σ2 2 ; γ) = σ1 2 Z = X Y (µ X µ Y ) σ 2 1n + σ2 2m N(0, 1), e IC(µ 1 µ 2 ; γ) = T = X Y (µ X µ Y ) S p 1 n + 1 m IC(µ 1 µ 2 ; γ) = X np np(1 p) N(0, 1). f 1 s 2 2 s 2 1 ) s, f s 2 1 ) σ1 (( x ȳ) ± z 2 γ n + σ2 2 m. t(n + m 2), em que S 2 p = (n 1)S2 1 +(m 1)S2 2 n+m 2 (( x ȳ) ± t γ (n + m 2)s p 1 n + 1 m T = X Y (µ X µ Y ) t(ν), sendo ν = (A+B)2 S 1 2 n + S2 A 2 2 n 1 + B2 ( m ) s ( x ȳ) ± t γ (ν) 2 1n + s2 2m. m 1 )., e, A = s2 1 n e B = s2 2 m ; IC(µ 1 µ 2 ; γ) = T = n(d µd ) S D t(n 1), em que µ D = µ X µ Y, D = X Y e SD 2 = n i=1 (D i D) 2 n 1 ; IC(µ D ; γ) = ( d ± t γ (n 1)s D / n ). Teste Qui-quadrado: χ 2 = s (O i E i ) 2 i=1 E i χ 2 (s 1), em que E i = np i0. Teste de Independência: χ 2 = r s (O ij E ij ) 2 i=1 i=1 E ij k i=1 n iy i N Análise de variância: y = F = QMEnt QMDen F (k 1, N k). χ 2 (r 1)(s 1), em que E ij = O i O j n. ; SQEnt = k i=1 n i(y i y) 2 ; SQDen = k i=1 (n i 1)S 2 i ; Regressão linear simples: ˆα = ȳ ˆβ x; ˆβ = Sxy S xx, com S xy = n i=1 x iy i n xȳ; r = Sxy ; SxxSyy ( ˆβ β) Sxx QMRes t(n 2); (ˆα α) nsxx QMRes t(n 2); x 2 i ( [ 1 n + (x i x) 2 IC(µ(x i ); γ) = IP (Y f ; γ) = ] ) ŷ i ± t γ (n 2) QMRes S xx ; ] QMRes [1 ) + 1 n + (x f x) 2 - Intervalo de predição; ( ŷ f ± t γ (n 2) SQReg = ˆβS xy ; SQRes = S yy SQReg; F = QMReg QMRes F (1, n 2); r2 = SQReg SQT ot. S xx

2 1. (valor: 2,5) Desejamos testar se um novo tipo de ensino profissional (Tipo I) é mais eficaz que o ensino profissional tradicional (Tipo II). Para isso, sortearam-se duas amostras de operários; a cada uma, deu-se um dos tipos de treinamento e, no final, submeteram-se os dois grupos a um mesmo teste. Admita que as notas dos testes seguem distribuição normal e que as variâncias populacionais são desconhecidas, mas iguais. População n x s 2 I II a. Qual é a sua conclusão a 5 % de significância? b. Obtenha o intervalo de confiança a 90 % para a diferença entre as médias populacionais das notas dos testes Tipo I e Tipo II.

3 2. (valor: 2,5) Para um certo cruzamento de duas avenidas na fronteira entre a cidade de São Paulo e a cidade de São Bernardo do Campo, dados históricos suportam a tese que os acidentes de trânsito nas segundas e sextas são mais frequentes do que nos outros dias da semana. Em particular é assumido pela CET que as proporções de acidentes ao longo dos dias da semana, segunda a sexta, são respectivamente, 26 %; 16 %; 16 %; 16 % e 26 %. Após uma modificação no sistema de sinalização do local a distribuição dos acidentes pelos dias da semana foi analisada durante um mês. Foram observados as seguintes quantidades de acidentes: 84, 73, 79, 76 e 88, respectivamente. a. Baseado em um teste de hipóteses, com α = 2, 5 %, você diria que a situação histórica foi modificada? b. É possível afirmar agora que a distribuição dos acidentes ao longo da semana é uniforme (considere α = 2, 5 %)?

4 3. (valor: 2,5) Um treinador pretende saber qual o número óptimo de dias semanais de treino para os seus atletas. Para tal mediu a performance de três grupos de atletas separados consoante o número de dias de treino: um, dois e três dias. Os resultados obtidos para os três grupos estão sumariados na tabela seguinte: Grupo n média desvio padrão ,58 13, ,57 10, ,28 4,41 Total 60 72, 14 a. Preencha a tabela ANOVA mostrando cálculos. Fontes de variação G.L. SQ QM F Entre grupos Dentro grupos Total b. Teste se existem diferenças entre as performances dos 3 grupos (considere α = 5 %). c. Qual é a proporção da variação total nos resultados do teste que é explicada pelo número de dias de treino?

5 4. (valor: 2,5) Um fabricante de bebidas está interessado na relação entre o consumo de refrigerantes por indivíduo e a temperatura ambiente. Para isto observou as seguintes variáveis em 9 localidades com as mesma características demográficas e sócio-econômicas. X: temperatura máxima do dia (em Centígrados). Y: consumo de refrigerante diário por mil habitantes (em Litros). Localidade X Y S XX = 924, 22; n X i Y i = 98955; S Y Y = 22444, 89 i=1 a. Faça o diagrama de dispersão dos dados. b. Estime a reta de regressão do consumo em função da temperatura. Dê uma interpretação para o coeficiente de inclinação. c. Preencha tabela ANOVA para o modelo. Fontes de variação G.L SomaQuadrados QuadradosMédios F Regressão Resíduo Total d. Qual o valor de r 2? Interprete esse número. e. Use a estatística F para testar a hipótese H 0 : β = 0 com α = 0, 05.

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