Estatística. Guia de Estudos P2

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1 Estatística Guia de Estudos P2

2 1. Intervalo de Confiança Conceito extremamente importante que consiste em utilizar os valores amostrais obtidos através das fórmulas de Estatística Descritiva para encontrar estimativas para os parâmetros populacionais. A vantagem de fazer isso é obter uma visão mais ampla e confiável da sua população de estudo e facilitar a tomada de decisões. Para fazer isso, utilizam-se diversas tabelas (normal, t de Student, Qui-quadrado, entre outras) e os graus de liberdade relacionado ao tamanho da amostra. Basicamente, quanto maior a sua amostra, mais confiável vai ser sua estimativa, pois você aproximou-se mais do tamanho da população. Cuidado: nos intervalos de confiança, trabalha-se com o valor bicaudal das tabelas estatísticas. Apenas em Teste de Hipóteses serão usados casos monocaudais. Média com desvio padrão conhecido: μ = x ± z σ N Média com desvio padrão desconhecido: μ = x ± t s N Fração da população: p = p ± z,-. Variância: / ( 6 3 ) σ 9 / ( ) Diferença entre médias: x : x < ± z = 3 > + = /1 /9 1

3 Diferença entre frações populacionais: p : p < ±, >- > / 2. Teste de Hipótese de uma população O teste de hipótese é utilizado para tomada de decisões. De forma geral, comparam-se duas hipóteses complementares, uma sendo a H0 hipótese nula - e a outra a H1, que é a hipótese desejada. É essencial deixar claro quais as suas hipóteses no início de cada exercício. O que dificulta nessa parte são os testes bicaudais vs monocaudais. Resumidamente, utilizamos monocaudal quando o teste é do tipo {<,>} e bicaudal quando o teste é {=, }. Média com desvio padrão conhecido: Zobs = C 0 D =. Média com desvio padrão desconhecido: tobs = C 0 D 2. Variância: X 2 = /01 23 E:FGH 3. Teste de Hipótese de duas populações Médias com σ igual e conhecido: z = C I 0 C 3 0 J = 1 /1 K 1 /9 Médias com σ igual e desconhecido: t = Sp 2 = / I01 2 I 3 K / / I K/ 3 09 C I 0 C 3 0 J 2, 1 /1 K 1 /9 2

4 Médias com σ desigual e desconhecido: t = C I 0 C 3 0 J 2 I 3 /1 K /9 Graus de Liberdade para σ desigual e desconhecido V = (L I KL 3 ) MI 3 NIOI K M 3 N3OI e w = 23 / Comparação de Variâncias: Fobs = 2 I

5 4. Análise de Variância (ANOVA) A Análise de Variância, ANOVA, é uma ferramenta poderosa para comparar simultaneamente diferentes médias. Neste curso, estudam-se os 3 casos principais. É fundamental ter essas tabelas em seu formulário. ANOVA Simples Importante: Xi é a soma de todos os elementos da amostra i ni é o número de elementos da amostra i N é a soma de todos os elementos K é o número de amostras 4

6 ANOVA 2 Fatores Sem Repetição Xj é a soma dos valores da linha j Xi é a soma dos valores da coluna i n é o número de linhas k é o número de colunas 5

7 ANOVA 2 Fatores Com Repetição Xj é a soma dos valores da linha j Xi é a soma dos valores da coluna i n é o número de linhas k é o número de colunas r é o número de repetições 6

8 5. Testes Não Paramétricos Teste de Independência Xcalc = PQR0SQR 3 SQR Eij = TF TV / e v = (n F 1)(n V 1) Teste de Aderência Teste Qui-Quadrado: Xcalc = PQ0SQ 3 SQ V = k 1 m (graus de liberdade) Kolmogorov Smirnov: d = F(X) G(X) Papel de Probabilidade Normal O papel de probabilidade normal é a parte mais tranquila dessa matéria. Passo a Passo: ordenar os valores, encontrar os valores de P através da fórmula abaixo, encontrar os pontos no papel de probabilidade normal. Em seguida, se esboça uma reta passando pelos pontos marcados. Essa reta servirá de guia para estimar a média populacional e o desvio padrão populacional olhando o valor no eixo x onde a reta cruza com a linha horizontal de cada parâmetro. Para o caso do desvio padrão, fazer a diferença entre o valor da média populacional e o valor encontrado para o desvio. P = Q0Y,[.K Y,\ 7

9 Exercícios 1. ANOVA Simples Lista de Exercícios Foi feita uma análise de variância para comparar as médias de 5 grupos. Para cada um dos grupos foi colhida uma amostra de 20 elementos e os dados foram analisados através de ANOVA. O resultado está na tabela abaixo. Contudo, maior parte da informação, que foi transcrita manualmente, estava ilegível. Com os dados completos, é possível rejeitar a hipótese nula de igualdade das médias? Fonte da SQ GL MQ Fcalc Fcrit Variação Entre Grupos 2,68 Dentro dos Grupos Total 63,27 2. ANOVA 2 fatores com repetição Lista de Exercício Para comparar o efeito da combinação adubo e tipo de semente na produçãoo de certo tipo de planta, um agrônomo criou vários canteiros onde variava esta combinação. Foram testados 3 adubos e 4 tipos de sementes. Para cada 8

10 combinação, foram feitas 5 repetições. Com os dados da amostra abaixo, é possível afirmar ao nível de 5% de significância que: a. Os adubos não geram resultados iguais? b. Os diferentes tipos de semente não geram resultados iguais? c. Há interação entre adubo e tipo de semente? Fonte da SQ GL MQ Fcalc Fcrit Variação Amostras Colunas 3036,593 Interações 6078,262 Dentro 2457,124 Total 15210,23 3. Teste de Hipótese P Um problema clássico em estatística, proposto por R. A. Fischer, foi baseado num fato ocorrido numa reunião entre os professores de Cambridge:...uma senhora pediu ao mordomo que colocasse na sua xícara primeiro o chá e depois o leite, pois, segundo ela, o sabor da bebida feita deste modo era melhor do que quando o chá era posto sobre o leite. Após um período de discussão entre os presentes, incrédulos na afirmação feita por aquela senhora, Fisher propôs um experimento para testar se aquela senhora poderia identificar como o chá com leite havia sido feito: foi-lhe servido várias 9

11 xícaras de chá com leite, pedindo que identificasse aquelas que o leite havia sido colocado sobre o chá. Dando continuidade à montagem do experimento, responda: a. Como você definiria as hipóteses H0 e H1, em termos da proporção de acertos? b. Considerando um nível mínimo de acerto de 0,70 para aceitar que aquela senhora tem capacidade para identificar como o chá com leite havia sido feito e, considerando que foram feitos 15 experimentos, qual a probabilidade de ocorrer uma decisão errada neste caso? c. Usando a mesma proporção de acertos do item (b), e sendo a senhora realmente capaz de identificar como a bebida é feita em 90% das vezes, qual a chance de se concluir, erroneamente, que ela não consegue identificar? 4. Teste de Aderência P Dada a seguinte amostra: a. Mediante o uso do papel de probabilidade normal (fornecido na próxima página), verificar se uma distribuição normal se ajusta bem a estes dados. b. Obter através deste mesmo papel uma estimativa para a média e o desvio padrão da população. 10

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13 Gabarito 1. Fcalc = 1,05 ; Fcrit = 2, Fl = 23,691 ; Fc = 29,60; Fi = 19,8 3. a. H0: p=0,5 e H1: p>0,5 b. c. 4. a. (Análise subjetiva) b. Média = 29 ; Desvio Padrão: 13 12