HEP-5800 BIOESTATÌSTICA

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1 HEP-58 BIOESTATÌSTICA UNIDADE IV INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: TESTES DE HIPÓTESES Nila Nunes da Silva Regina I. T. Bernal

2 I. QUADRO CONCEITUAL São procedimentos estatísticos que consistem em usar dados de amostras (ESTIMATIVAS) para tomar decisões sobre rejeição de hipóteses construídas a respeito de valores populacionais. PROCEDIMENTO 1. Problema científico A SAÚDE ORAL DE CRIANÇAS COM 12 ANOS DE IDADE É PRECÁRIA. Ou Seja, o número de dentes estragados é alto. Ou ainda, a população apresenta CPOD médio superior a Hipóteses estatísticas Nula H : 7 igualdade Alternativa H 1 : > 7 maior...teste unilateral 3. Fia critério de decisão...para decidir rejeição de Ho. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA (α) = probabilidade REJEITAR H, sendo H verdadeira. ( α) =,5 4. Identifica valor de () para (α) =,5...,5 = 1,64,5,5 5. Sorteia a amostra aleatória simples (n>3) 6. Calcula estimativas da média e respectivo erro padrão ( 8 ; s = 3) dp() ,5,55 7. Calcula valor de...admitindo H verdadeira 8 7,55 1,55 1,82 8. Compara calculado com,5 ( 1,82 > 1,64 )...está localiado na região de rejeição do teste, portanto, 9. Decisão...Rejeita H, com risco de errar igual a 5%. Portanto, há evidências de que a média do cpod na população é maior que 7. Bioestatística II 1

3 II. TIPOS DE TESTE Os testes podem ser bicaudais ou unicaudais. Observe que no eemplo anterior, a hipótese científica indicou a direção da hipótese alternativa. Se o pesquisador desejasse apenas mostrar que a média da população é igual a 7, a hipótese nula continuaria a mesma, mas a hipótese alternativa referiria apenas que o cpod médio é diferente de 7 (maior ou menor). Nula H : 7 igualdade Alternativa H 1 : 7 diferente...teste bicaudal TESTE BICAUDAL ( α) =,5,25,25-1,96 1,96 Z,5 = 1,96 Z CALCULADO na amostra anterior = 1,82 1,82 < 1,96...fora da região de rejeição decisão: não rejeita H, sob com risco de errar igual a 5%. Portanto, há evidências para admitir que o cpod médio da população é igual 7. OBSERVAÇÃO H pode ser verdadeira Rejeita ERRO TIPO I ( α) =,5 falsa Rejeita Não há erro A direção do teste bicaudal é definida pela hipótese científica, antes de sortear a amostra. Perceba que o intervalo de confiança (95%) para a média populacional 6, ,1 conteria o valor 7. 1,96dp( ) 8 1,96.,55 8 1,78 Bioestatística II 2

4 III. TESTE PARA UMA MÉDIA COM DESVIO PADRÃO DESCONHECIDO Quando é usado o desvio padrão de X estimado na amostra e se n < 1 usa-se a distribuição t de Student com (n-1) graus de liberdade para identificar a região de rejeição e o t crítico. No eemplo anterior suponha que o s X = 3,5 então t (calculado) = 1,355 α =,5 n-1 graus de liberdade t (critico) = 1,83 1,355 < 1,83, não há evidências para rejeitar H. Ao nível de significância de 5% o CPOD MÉDIO da população é igual a 7. H : 7 H 1 : > 7???E se o teste fosse bicaudal????qual a decisão a respeito de H.??? IV - TESTE PARA UMA PROPORÇÃO RESTRIÇÕES... np e nq maiores que 5 H : P =,5 H 1 : P,5 Sob H ; a proporção amostral tem distribuição normal com média igual a,5 e erro padrão calculado por,5, 5. n ( α) =,5,25,25-1,96 1,96 Bioestatística II 3

5 Em uma amostra de 2 crianças, 8 eram desnutridas. Qual a decisão que podemos tomar sobre REJEITAR H com nível de significância igual a 5%? Z (calculado) =,4,5 (critico),5 = -1,96 2,88,3464 Há evidências para rejeitar H. Ao nível de significância de 5% admitimos que a proporção de crianças desnutridas na população é diferente de 5%. OBSERVAÇÃO: Note que se o teste fosse monocaudal à esquerda, continuaríamos rejeitando a hipótese de igualdade H. Mas aceitaríamos que a proporção de crianças desnutridas na população é menor que 5%. H : P =,5 H 1 : P <,5,5,5-1,64 Z calculado = -2,88????rejeita H V. SÍNTESE DO PROCEDIMENTO PROBLEMA CIENTÍFICO DEFINE HO E H1 SELECIONA A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Z (, 1 ) FIXA O NÍVEL DE SIGNIFICANCIA ( α) DEFINE O Z CRÍTICO ( Z,5 ) SORTEIA A AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES OU SISTEMÁTICA (De preferência n>3) CALCULA AS ESTIMATIVAS ( ou p, e respectivos erros padrão) μ PADRONIZA ESTIMATIVAS usando a epressão (calculado) = dp() ( α DECIDE SE REJEITA OU NÃO H...NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA ) Bioestatística II 4

6 INTERPRETA RESULTADO À LUZ DO PROBLEMA CIENTÍFICO II - Critérios de decisão Hipóteses Alternativas H 1 MENOR Zcrítico ( α) =,5 Z,5 = - 1,64 Rejeita H, se Zcalc < - 1,64 H 1 MAIOR ( α) =,5 Z,5 =1,64 Zcalc > 1,64 H 1 DIFERENTE ( α) / 2=,5/2 Z,5= 1,96 ou 1,96 Valor absoluto de calc > 1,96 ou < -1,96. VI. PODER DO TESTE Vimos nos procedimentos anteriores, que a regra de decisão se baseou apenas no nível de significância ( ). A decisão de rejeitar ou não H, determina dois possíveis erros em relação à realidade do problema alvo da pesquisa. REALIDADE H DECISÃO ERRO PROBABILIDADE VERDADEIRA REJEITAR I (ALFA) FALSA ACEITAR II (BETA) PARA ALFA FIXADO, PODE-SE CONTROLAR A PROBABILIDADE DO ERRO TIPO II, (ACEITAR H FALSA). Suponha que estamos testando as hipóteses abaio. H : 2 H 1 : 2 AAS, (.n=25 ; σ X 5 ; σ 1 ) Nível de significância = =,5 Bioestatística II 5

7 A hipótese nula será rejeitada se a média estimada, na amostra sorteada, for maior que 21,6. Pois, sob H : 2 a distribuição amostral corresponde à distribuição normal representada na figura 1. Zcritico = 1,64...= μ...=... dp() 12...> = 21,64 Suponha agora que H é falsa. Ou seja, na realidade 2 é a verdade. Se não rejeitássemos a hipótese nula, estaríamos cometendo o erro tipo II. Ou seja, (aceitando H falsa), pois a média populacional é 23. Então a probabilidade de obter valores menores que 21,64 sob H 1 ( ( ) =,87. 23) é dado por H,5 2 2 H 1 21, (1 ) é então a probabilidade de rejeitar H quando na realidade ela é falsa. Chama-se o poder do teste. SÍNTESE: DECISÃO H VERDADE REALIDADE H FALSA REJEITAR H ERRO TIPO I ( ) CORRETA Poder Teste (1 ) ACEITA H CORRETO (1 - ) ERRO TIPO II ( ) Bioestatística II 6

8 VII. TESTE DE HIPÓTESES PARA AS MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES CORRELATAS Para estudar o efeito de certa dieta sobre o aumento de peso em adultos normais, estudaram-se os resultados da tabela abaio. Note que o mesmo indivíduo tem duas medidas e que esses resultados não podem ser considerados independentes. Peso antes e depois do uso da dieta. N.INDIVÍDUO PESO ANTES (pa) PESO DEPOIS (pd).d= (pd pa) H : _ D = H 1 : _ D > _ (n = 15 ) ; d = 26/15 = 1,73 kg. s d = 2,12 kg. d t (calculado ) = 3, 16 e t (14gl ;,5 ) = 1,76. 2,12 / 15 Decisão ( 3,16 > 1,76 ) Rejeita-se H ao nível de significância de,5. Pode-se esperar que a dieta aumente em média o peso dos indivíduos. Bioestatística II 7

9 Eercícios 1) Desejando-se conhecer a média de consumo de carne em uma determinada população, selecionou-se uma amostra aleatória de 1 pessoas. Os resultados mostraram que, em média, os indivíduos consumiam 1. g/mês (desvio padrão de 625g). Teste a hipótese de que o consumo médio dessa população está de acordo com o esperado, que é 1.2g/mês, ( =1%). 2) Admite-se que a quantidade de carne ingerida por pessoa por semana (com renda familiar menor do que 3 salários mínimos e tamanho da família de 5 membros), na região sudeste, possui distribuição normal com média 6g e desvio padrão 1g. Deseja-se saber se no subdistrito de Pirituba o consumo médio é menor do que esta quantidade. Para isto foi conduida uma pesquisa, com nível de significância de 5%, cujos valores amostrais de consumo são apresentados a seguir. Elabore de forma completa o teste de hipótese. Consumo médio semanal (em gramas): 3; 4; 35; 45; 1; 22; 15; 5; 9; 8; 6; 15; 5; 17; 37; 2; 3) Em uma amostra aleatória de 5 alunos encontrou-se que a altura média foi de 165 cm (desvio padrão de 15 cm). Testar a hipótese de que essa média é igual ao esperado, sabendo-se que a média padrão é 17 cm (desvio padrão conhecido igual a 2 cm) ( =5%). 4) A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea, um químico analista acrescentou certo componente à fórmula original, que acusava um tempo de médio de 43 minutos. Em 36 observações com a nova fórmula, obteve-se um tempo médio de 42 minutos, com desvio padrão de 6 minutos. a) O que podemos concluir, ao nível de 5% de significância, sobre a eficiência do novo componente? b) Qual seria a resposta ao nível de 1%? c) Que tipo de erro pode ser cometido? 5) No problema de teste de hipóteses, descreva os conceitos : a) de hipótese nula e alternativa, b) erro tipo I, nível de significância e região crítica. c) erro tipo II, poder do teste. 6) Tente comparar a inferência estatística mediante INTERVALO DE CONFIANÇA (95%) e TESTES DE HIPÓTESES, nível significância 5%. Bioestatística II 8

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