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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Inferência Estatística: Inferência Básica Princípios de Bioestatística decidindo na presença de incerteza Aula 10: Testes de Hipóteses para Duas Médias em Amostras Emparelhadas e Independentes

2 Comparação de Dois Grupos Comparação de drogas, dietas, terapias, métodos cirúrgicos, fertilizantes, condições experimentais, características físicas... Dois Novos Tratamentos, Tratamento Novo com um Tratamento Padrão ou Tratamento com a Ausência de Tratamento. O melhor dentre dois tratamentos é aquele que: produz melhores resultados para a maioria da população, ou seja, fornece os melhores resultados na média. produz o efeito desejado em maior proporção de indivíduos da população.

3 Tipos de Planejamento Amostras Independentes: Temos duas amostras separadas, uma de cada população: Tratamento 1 é aos n 1 indivíduos da primeira amostra; Tratamento 2 é aos n 2 indivíduos da segunda amostra. Amostras Dependentes (ou Emparelhadas ou Pareadas): A amostra é constituída de n pares de indivíduos: Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par; Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par.

4 Exemplo 1: amostras independentes Um clínico suspeita que o fato de a mãe ter menos de 20 anos de idade está associado com o nascimento de bebês com baixo peso ao nascer (< 2500 gramas). Ele selecionou aleatoriamente alguns registros de uma grande maternidade e os dividiu em dois grupos: Grupo 1: bebês de mães com menos de 20 anos e Grupo 2: bebês de mães com mais de 20 anos. Para cada bebê em cada grupo, observou a variável: X: peso ao nascer (em gramas).

5 Exemplo 2: amostra emparelhadas Para comparar dois tipos de colírio (A e B) quanto à variável tempo para dilatar a pupila para o exame oftalmológico, 20 pacientes receberam um colírio em cada olho n = 20 pares cada paciente é um par: (Olho D ; Olho E).

6 Exemplo 3: amostradas emparelhadas Um pesquisador deseja verificar se uma droga reduz a pressão sanguínea. A pressão sanguínea foi registrada antes e depois da aplicação da droga em 15 animais. Tratamento 1: Tratamento 2: Ausência da droga ( Antes ) Presença da droga ( Depois ) n = 15 pares cada animal é um par: (X antes, X depois ).

7 Exemplo 4: amostras independentes Na fase inicial da pesquisa sobre a eficiência do AZT no tratamento da AIDS, dois grupos de pacientes soropositivos em fase terminal foram formados: Grupo 1: pacientes que receberam o AZT e, Grupo 2: pacientes que receberam um placebo.

8 Exemplo 5: Múltiplos Planejamentos Consumo de chocolate amargo e redução na pressão arterial 44 adultos com hipertensão arterial leve Chocolate amargo Amostras independentes Chocolate branco Antes 18 semanas Depois Antes 18 semanas Depois Amostras Pareadas Amostras Pareadas Taubert, D. et al. (2007) Effects of Low Habitual Cocoa Intake on Blood Pressure and Bioactive Nitric Oxide: A Randomized Controlled Trial, JAMA, July 4, 2007 Vol 298, No. 1

9 Comparação de Duas Médias em Amostras Emparelhadas Amostra com n pares de indivíduos: Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par (medida x) Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par (medida y) Médias populacionais (desconhecidas): µ 1 e µ 2, µ d = µ 1 - µ 2 Hipótese nula: H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 : µ d = 0 Par Tratamento 1 Tratamento 2 Diferenças x y d = x - y 1 x 1 y 1 d 1 = x 1 - y 1 2 x 2 y 2 d 2 = x 2 - y 2 M M M M n x n y n d n = x n - y n d = média das diferenças s d = desvio-padrão das diferenças

10 Hipótese nula: H 0 : µ d = 0 Hipótese alternativa: H 1 : µ d < 0 ou H 1 : µ d > 0 ou H 1 : µ d 0 Estatística de Teste: T obs d 0 d = = s n s n d d n: tamanho da amostra (número de pares) d = média das diferenças s d = desvio-padrão das diferenças Distribuição de referência: t com n-1 graus de liberdade

11 Consumo de chocolate amargo e redução na pressão arterial*

12 Grupo chocolate amargo H 0 : µ Depois µ Antes = 0 H A : µ Depois µ Antes 0 d = 2.9 e s d = 1.6 µ: média da pressão sistólica T obs = = Valor P = 2.P(t 21 < -8.50) = 2.P(t 21 > 8.50) < 2.(0.0005) Valor P < α = Ao nível de significância de 5%, foram encontradas evidências estatisticamente significantes de que a pressão sistólica média antes e 18 semanas depois do consumo de chocolate amargo são diferentes (valor p < 0.001) t 21

13 Grupo chocolate branco H 0 : µ Depois µ Antes = 0 H A : µ Depois µ Antes 0 µ: média da pressão sistólica d = 0.1 e s d = 1.6 Valor P = 2.P(t 21 > 0.29) > 2.(0.30) Pela nossa tabela Valor P > 0.60 T obs = = α = Ao nível de significância de 5%, não foram encontradas evidências estatisticamente significantes contra a hipótese de que a pressão sistólica média antes e depois do consumo de chocolate branco são iguais (valor p > 0.60) t 21

14 RESUMO: Comparação de Duas Médias em Amostras Emparelhadas Estatística de Teste: Hipótese nula: H 0 : µ d = 0 T obs = s d d n Hipóteses Região de Rejeição de H 0 Valor P H 0 : µ D = 0 T obs H 1 : µ D < 0 < t ( n 1; α ) P(T (n-1) < T obs ) H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D > 0 T obs > t ( n 1; α ) P(T (n-1) > T obs ) H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D 0 T obs < t ( n 1; α T ) ou obs > t ( n 1; α ) 2 2 2xP(T (n-1) > T obs )

15 Comparação de duas Médias Amostras Independentes Médias Populacionais (desconhecidas): µ 1 e µ 2, µ d = µ 1 - µ 2 Hipótese nula: H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 H 0 : µ d = 0 µ 1 µ 2 Suposição: as amostras dos grupos 1 e 2 vêm de populações com distribuição Normal com desvios-padrão iguais. σ 1 =σ 2 =σ

16 Amostras Grupo 1 Grupo 2 Tamanho n 1 n 2 Média x Desvio-Padrão s 1 s 2 s 1 e s 2 são estimativas do desvio-padrão comum σ. y Hipótese nula: H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 H 0 : µ d = 0 Hipótese alternativa: H 1 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 - µ 2 0 H 1 : µ d 0 ou H 1 : µ 1 < µ 2 H 1 : µ 1 - µ 2 < 0 H 1 : µ d < 0 ou H 1 : µ 1 > µ 2 H 1 : µ 1 - µ 2 > 0 H 1 : µ d > 0

17 Hipótese nula: H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 H 0 : µ d = 0 Estatística de Teste: Supondo que as amostras dos Grupos 1 e 2 tenham vindo de populações com distribuição Normal e desvios-padrão iguais: s comb = ( n 1) s + ( n 1) s n + n 2 Distribuição de referência: T com gl = n 1 + n 2-2

18 Tabela 2 do artigo (Taubert et al, 2007)

19 H 0 : µ CA = µ CB H A : µ CA µ CB α = 0.05 t 42;0.025 t40;0.025 =

20 H 0 : µ CA = µ CB H A : µ CA µ CA valor p = 2.P(t 42 > 0.23) 2.P(t 40 > 0.23) > 2(0.40) = 0.80 Valor p > valor p = 0.83 (do artigo) Ao nível de significância de 5%, não foram encontradas evidências estatisticamente significantes contra a hipótese nula de que as taxas médias de colesterol total são iguais nos dois grupos de estudo (valor p = 0.83)

21 RESUMO: Comparação de Duas Médias em Amostras Independentes Hipótese nula: H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 H 0 : µ d = 0 Estatística de Teste: T obs = s x 2 comb y n n 1 2 Hipóteses Região de Rejeição de H 0 Valor P H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D < 0 T obs < t ( gl; α ) s comb = ( n 1) s + ( n 1) s n + n 2 P(T (gl) < T obs ) H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D > 0 H 0 : µ D = 0 H 1 : µ D 0 T obs < t T obs >t ( gl; α ) 2 ( gl; α ) ou T obs >t gl = n 1 + n 2-2 ( gl; α ) 2 P(T (gl) > T obs ) 2xP(T (gl) > T obs )

22 Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses Intervalos de Confiança podem ser usados para se fazer Testes de Hipóteses Bilaterais. H 0 : µ d = 0 H A : µ d 0 H 0 : µ d = µ 0 H A : µ d µ 0 A região de não-rejeição de um teste bilateral sobre µ d é o intervalo de confiança para µ d. Se um intervalo com 100(1-α)% de confiança é usado para se fazer um teste bilateral, o nível de significância associado ao teste é α%.

23 Intervalos de Confiança para a diferença de médias Amostras dependentes: IC 100(1 α )% µ µ 1 2 = d ± t( n 1; α ) 2 sd n Amostras independentes: 100( 1 α )% 2 ICµ µ x y t n n α s = ( ) ± 2 ( ; / 2) comb + n n 1 2

24 Como usar um Intervalo de Confiança para fazer um Teste de Hipóteses Bilateral? H 0 : µ d = µ 0 H A : µ d µ 0 O intervalo de 100(1-α)% de confiança para µ d contém o valor µ 0? NÃO SIM rejeitamos H 0 ao nível de α% % de significância não rejeitamos H 0 ao nível de α% de significância

25 Exemplo Num estudo sobre os efeitos da suplementação de vitamina A, crianças de 4 a 24 meses de idade, com sarampo e complicações (pneumonia e diarréia grave) foram divididas em dois grupos: um grupo recebeu vitamina A nas doses recomendadas pela OMS e outro grupo recebeu um placebo. Durante o acompanhamento, foram medidas as seguintes variáveis: PC duração da pneumonia clínica (dias), DI duração da diarréia (dias) e GP ganho de peso após 6 semanas (g).

26 H 0 : µ A - µ P = 0 H A : µ A - µ P 0 Média e desvio-padrão (entre parênteses) para as três características dos grupos de Placebo e Vitamina A Placebo Vitamina A Intervalo de 99% de Confiança para (µ A µ P ) PC (dias) 4,50 (0,79) 4,10 (0,40) -0,82 a 0,02 (não rejeitar H 0 a 1% de sig.) DI (dias) 3,60 (0,35) 3,30 (0,71) -0,67 a 0,07 (não rejeitar H 0 a 1% de sig.) GP (g) 900 (140) 1150 (310) 70 a 430 (rejeitar H 0 a 1% de sig.)

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