Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Estatística Inferência Estatística 2 (ET593) Fases de uma Análise Estatística

Transcrição

1 Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Estatística Inferência Estatística 2 (ET593) Fases de uma Análise Estatística Dados Organização Estatística Descritiva Interpretação Os Dados vêm da amostra ou população? População Amostra Inferência Estatística Conclusão Inferência Estatística: Conjunto de métodos que permitem inferir o comportamento de uma população a partir do conhecimento da amostra. Na primeira parte do curso, ênfase foi dada aos problemas de estimação que se subdividem em dois tipos: Estimação Pontual; Estimação Intervalar. O objetivo é procurar, segundo algum critério especificado, valores que representem adequadamente os parâmetros desconhecidos. Na segunda parte do curso, daremos ênfase aos problemas de testes de hipóteses, cujo objetivo é verificar a validade de afirmações sobre um valor 1

2 (ou valores) do(s) parâmetro(s) desconhecido(s). Em muitas situações temos interesse em tomar a decisão de rejeitar ou não rejeitar determinada afirmação baseando-se em um conjunto de evidencias. Um exemplo comum é o caso em que um indivíduo está sendo julgado por determinado delito. Com base nas evidências (testemunhas, fatos, etc.), o júri terá que decidir pela culpa ou inocência do indivíduo. Podemos, então, concluir que o júri formula duas hipóteses: e a alternativa H 0 : o indivíduo é inocente H 1 : o indivíduo é culpado. Com base nas evidências apresentadas, o júri terá que se decidir por H 0 ou por H 1. Ao tomar, por exemplo, a decisão de rejeitar H 0 o júri pode estar cometendo um erro, pois, apesar das evidências, o indivíduo pode ser inocente. O mesmo pode acontecer com relação à não rejeição da hipótese H 0 como verdadeira. Nesse caso, o júri estaria considerando como inocente um indivíduo culpado. Outro exemplo comum é o problema de se decidir sobre a eficiência ou não de certa vacina utilizada no combate à determinada doença. Os pesquisadores formulam então as hipóteses e H 0 : a vacina não é eficiente H 1 : a vacina é eficiente. Nesse caso, um experimento é planejado, envolvendo um grupo possivelmente grande de indivíduos em que uma parte (escolhida ao acaso) recebe a vacina e o restante recebe uma substância inóqua. Com base nos resultados desse experimento, os pesquisadores terão então que se decidir por H 0 ou H 1. Novamente, não está descartada a possibilidade de que erros sejam cometidos ao se considerar, por exemplo, a vacina eficiente (H 0 falsa) quando, na verdade, ela não o é (H 0 é verdadeira), o que seria bastante prejudicial à população. 2

3 O estatístico envolvido na pesquisa deve procurar utilizar técnicas que tornem mínima a probabilidade de se cometer erros. Definição 1. Chamamos de hipótese estatística qualquer afirmação a- cerca da distribuição de probabilidades de uma ou mais variáveis aleatórias. Denotamos por H 0 (hipótese nula) a hipótese de interesse. Caso H 0 seja rejeitada, não rejeitamos como verdadeira a hipótese alternativa H 1. Dizemos então que estamos testando H 0 contra H 1 ou H 0 versus H 1. Seja θ Θ um parâmetro (escalar ou vetor) desconhecido. As hipóteses são formuladas das seguintes maneiras: H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1, em que Θ 0 Θ, Θ 1 Θ, Θ 0 Θ 1 = φ e Θ 0 Θ 1 = Θ. Quando Θ 0 é constituído de um único elemento (Θ 0 = {θ 0 }), dizemos que H 0 é simples. Caso contrário (se H 0 possui mais de um elemento), dizemos que H 0 é composta. O mesmo vale para a hipotese alternativa H 1. Os problemas uniparamétricos em que os valores de θ especificados em Θ 1 podem estar somente à direita ou somente à esquerda dos valores especificados em Θ 0 são chamados de unilaterais. Ou seja, H 0 : θ θ 0 versus H 1 : θ > θ 0 H 0 : θ θ 0 versus H 1 : θ < θ 0. A forma mais frequente de um problema bilateral é: em que θ 0 é um valor fixo em Θ. H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ θ 0, Ao realizarmos um teste de hipóteses decidimos por H 0 ou H 1 conforme a informação contida na amostra de uma população X f(x θ). Um teste será então uma regra que, para qualquer ponto amostral (x 1,, x n ) obtido especifica a decisão a ser tomada: rejeitar H 0 (o que significa não rejeitar H 1 ) ou não rejeitar H 0 (o que significa rejeitar H 1 ). Denotemos por χ o espaço amostral associado à amostra X = (X 1,, X n ). Seja C 0 χ e x = (x 1,, x n ) a amostra observada. Procedimento (teste): 3

4 se x C 0, rejeite H 0 se x / C 0, não rejeite H 0. Estabelecer um teste é o mesmo que determinar C 0. Este conjunto é chamado de região crítica (região de rejeição). Ao realizarmos um teste de hipóteses, decidimos por H 0 ou H 1, conforme a informação contida na amostra. Ao fazermos isto, estamos cometendo dois tipos de erro: ERRO TIPO I (ETI): Rejeitar H 0 dado que H 0 é verdadeira ERRO TIPO II (ETII): Não rejeitar H 0 dado que H 0 é falsa. Podemos resumir todas as possíveis decisões que podemos tomar através de uma tabela. Gostaríamos que as probabilidades de cometer os dois tipos de erros fossem nulas. Isto, em geral, não é possível. Geralmente, não conseguimos controlar simultaneamente os dois tipos de erros. Seja X = (X 1,, X n ) uma amostra aleaória, X f(x θ), θ Θ parâmetro desconhecido (escalar ou vetor). Queremos testar as hipóteses: H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ = θ 1, através de uma região crítica. Temos que Θ = {θ 0, θ 1 }. (Aqui a hipótese nula especifica um único valor para θ). As probabilidades de cometer os erros tipo I e II são dadas, respectivamente. por: α = P (ETI) = P (rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) = P (X C 0 θ = θ 0 ) β = P (ETII) = P (Não rejeitar H 0 H 0 é falsa) = P (X / C 0 θ), θ Θ 1. Note que β é função de θ (β = β(θ)). Se H 0 é composta, então chamamos de α, à quantidade Sup θ Θ0 P (X C 0 θ). Esta quantidade é chamada de tamanho (size) do teste. Função Poder Π(θ) = 1 β(θ) = 1 P (X / C 0 θ) = P(X C 0 θ), θ Θ 1. 4

5 O poder do teste é a probabilidade de rejeitar H 0 dado que H 0 é falsa. Observe que Π(θ 0 ) = α. Observação: O poder é uma probabilidade de acerto! Como não conseguimos controlar as duas probabilidades de erro simultaneamente, é usual se fixar um valor α 0 para α (este valor é chamado de nível de significância) e procurar um teste que minimize β (ou seja, maximize o poder). Observação: Como somente a probabilidade do erro tipo I é controlada, deve-se estabelecer hipóteses de tal forma que o erro tipo I seja o erro mais grave do que o erro tipo II. Definição: Consideramos como nível descritivo, que denotamos por ˆα, como o menor nível de significância para o qual a hipótese nula H 0 seria rejeitada. Observe que, se α > ˆα, rejeitamos H 0 e, se α < ˆα, não rejeitamos H 0. Testes ótimos, como os testes mais poderosos para hipótese nula simples contra alternativa simples e testes uniformemente mais poderosos para hipóteses compostas, são obtidos utilizando o conhecido Lema de Neyman Pearson. Situações mais complexas, como o caso de hipóteses bilaterais, são tratadas utilizando-se a estatística da razão de verossimilhanças generalizada. 5