Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2018/2

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1 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2018/2 Aula #03 de Inferência Estatística: 09/11/2018 1

2 Testes de Hipóteses: Na aula de hoje veremos a terminologia usada em testes de hipóteses (hipóteses nula e alternativa, erros tipo I e tipo II, hipóteses unilaterais e bilaterais, etc); como construir um teste de hipóteses; testes de hipóteses sobre a média e a proporção populacionais. Referências Principais: Bussab e Morettin. Estatística Básica. Editora Saraiva. Quinta edição. (Cap. 12). Triola. Introdução à Estatística. LTC. Nona edição. (Cap. 7). 2

3 Exemplo 1: Resultados da pesquisa fotopolicial : o que eles revelam? Uma pesquisa em Minnesota foi realizada com o objetivo de revelar opiniões sobre o fotopolicial que usa câmeras posicionadas de modo a flagrarem motoristas que desrespeitam o sinal vermelho. As câmeras fotografam as placas dos carros que avançam o sinal vermelho. Um jornal local patrocinou uma pesquisa devido à legislação de Minnesota, ainda pendente, que aprovaria o uso de câmeras por violações de trânsito. Os pesquisadores entrevistaram 829 adultos de Minnesota e verificaram que 51% se o- punham à legislação sobre o fotopolicial. 3

4 Exemplo 2: A maioria de nós ultrapassa um sinal vermelho? Em uma pesquisa, de nível nacional, com 880 motoristas selecionados aleatoriamente, 56% admitiram que avançavam um sinal vermelho. Ao escrever um artigo distribuído pela Associated Press, a repórter Sonja Barisic escreveu: Praticamente todos os americanos admitem que avançar um sinal vermelho é perigoso, mas mais da metade admitiu que já o fez, em geral porque estavam com muita pressa. Essa frase inclui a maioria (mais de 50%) de todos os motoristas americanos ultrapassa um sinal vermelho. Os resultados da pesquisa realmente confirmam essa alternativa? 4

5 Na aula de hoje apresentaremos os métodos padrão para testes de afirmativas tais como as dadas a seguir, baseadas nos dois exemplos anteriores. Há evidência amostral suficiente para apoiar a afirmativa de que a proporção de todos os adultos de Minnesota que se opõem à legislação do foto-policial é maior que 0,5? Há evidência amostral suficiente para apoiar a afirmação de que a proporção dos motoristas americanos que ultrapassa um sinal vermelho é maior do que 0,5? 5

6 Conceitos Básicos Em estatística, uma hipótese é uma afirmação sobre um parâmetro, ou seja, sobre uma característica da população. Um teste de hipótese é um procedimento para testar uma hipótese baseado numa amostra da população. Regra do Evento Raro. Se a probabilidade de um evento particular observado sob uma dada suposição é excepcionalmente pequena, concluímos que a suposição provavelmente não é verdadeira. 6

7 Exemplo 3: Escolha de sexo. As Indústrias ProCare comercializaram um produto chamado Gender Choice que, de acordo com a propaganda, permitia aos casais aumentar suas chances de ter um menino em até 85%, e uma menina, em até 80%. Suponha a realização do seguinte experimento com 100 casais que desejam ter uma menina e usam o produto Gender Choice para aumentar as chances de gerar uma menina. Com o propósito de testar o produto faremos a suposição de que o produto não apresenta qualquer efeito, ou seja, de que, a probabilidade de gerar uma menina é 50%, mesmo usando o produto. 7

8 Usando o bom senso e nenhum método formal de Estatística, o que poderíamos concluir sobre a suposição de nenhum efeito do Gender Choice, se 100 casais que querem uma menina e usam o produto têm 100 bebês, sendo (a) cinquenta e duas (52) meninas? (b) noventa e sete (97) meninas? Solução (a) Em geral, esperamos cerca de 50 meninas em 100 nascimentos. O resultado 52 meninas é próximo de 50 de modo que não podemos concluir que o Gender Choice seja eficaz. Se os 100 casais não tivessem usado qualquer método especial de escolha de sexo, o resultado de 52 meninas poderia facilmente ocorrer ao acaso. 8

9 A suposição de nenhum efeito do Gender Choice parece ser adequada. Com base nesses resultados do experimento, não há evidência suficiente para dizer que o produto seja eficaz. (b) O resultado 97 meninas em 100 nascimentos é extremamente improvável de ocorrer por acaso. Poderíamos explicar a ocorrência de 97 meninas de uma de duas maneiras: ou um evento extremamente raro ocorreu por acaso, ou o Gender Choice é eficaz. A probabilidade extremamente baixa de 97 meninas em 100 nascimentos é evidência forte contra a hipótese de que o Gender Choice não tenha qualquer efeito. Logo, com base nesses resultados do experimento, o produto parece ser eficaz em aumentar as chances de se gerar uma menina. 9

10 O ponto-chave nesse exemplo é o de que devemos concluir que o produto é eficaz apenas se obtivermos significativamente mais meninas do que em geral esperaríamos. Embora os resultados de 52 meninas e 97 meninas estejam ambos acima da média (50), o resultado 52 não é significativo, enquanto que o de 97 é um resultado significativo. Esse exemplo ilustra a abordagem básica u- sada em testes de hipóteses. O método formal envolve uma variedade de termos e condições padrões, incorporados em um procedimento organizado. 10

11 Fundamentos do Teste de Hipótese 1. Hipóteses Nula (H 0 ) e Alternativa (H 1 ) A hipótese nula, denotada por H 0, é uma afirmativa sobre um parâmetro. Por exemplo: µ = 90, p = 0, 10, σ 2, etc. A hipótese alternativa, denotada por H 1, é uma afirmativa complementar à hipótese nula tal que não exista interseção entre as duas hipóteses. Por exemplo: µ > 90, p 0, 10, σ < 2, etc. Temos que decidir por uma das duas hipóteses baseando-nos numa amostra da população. Logo, estamos sujeitos a dois erros diferentes. Decisão H 0 é verdadeira H 0 não é verdadeira Rejeitar H 0 Erro tipo I sem erro Não rejeitar H 0 sem erro Erro tipo II 11

12 2. Estatística de Teste: é uma função que produz um valor real com base nos dados amostrais. Uma regra de decisão ou procedimento de teste consiste em especificar um conjunto de valores da estatística de teste para os quais rejeitaremos a hipótese nula (H 0 ). Chamamos esse conjunto de valores, para os quais rejeitaremos H 0, de Região Crítica do teste. Como escolher a estatística de teste? Isso dependerá das hipóteses que serão testadas. Para cada teste, há uma escolha natural. Por exemplo, num teste sobre a média populacional usamos a média amostral ou o seu valor padronizado de acordo com a hipótese nula. 12

13 Como especificar a região crítica do teste? 4. Nível de Significância (α) do teste: é a probabilidade de se cometer o erro tipo I, ou seja, é a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira. No procedimento clássico de testes de hipóteses, fixa-se o valor do nível de significância, geralmente em 1%, 5% ou 10%, e, usando a distribuição amostral da estatística de teste, é possível determinar a Região Crítica do teste. Esse procedimento baseia-se na suposição de que o erro tipo I é o mais grave. 13

14 5. Erro tipo II: usamos a letra grega β para representar a probabilidade de cometer o erro tipo II: não rejeitar uma hipótese nula falsa. Por convenção, a hipótese nula será sempre uma hipótese simples, isto é, admitirá um único valor para o parâmetro. Desse modo, calcular a probabilidade de se cometer o erro I, é trivial, pois se H 0 é verdadeira, o valor do parâmetro está determinado. No entanto, a hipótese alternativa será composta, ou seja, admitirá mais de um valor possível para o parâmetro. Logo, a suposição de que H 0 é falsa implicará em mais de uma possibilidade de valor para o parâmetro, tal que a probabilidade de se cometer o erro tipo II é uma função dos valores admitidos sob essa condição. 14

15 Exemplo 4: Especificação da hipótese nula sob o procedimento clássico. Nas situações a seguir, escolha como hipótese nula, aquela que para você leva a um erro tipo I mais grave. Descreva quais são os dois erros em cada caso. a. O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses 1. está começando um ataque; 2. tudo bem, apenas uma leve interferência. b. Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: 1. o acusado é inocente; 2. o acusado é culpado. c. Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. As hipóteses que pode testar são: 1. a vacina é eficaz; 2. a vacina não é eficaz. 15

16 6. Testes Bilaterais e Unilaterais: estão associados à forma da hipótese alternativa e, consequentemente, da região crítica. Suponha um teste sobre a média populacional e que a média amostral é usada como estatística de teste. Suponha também que H 0 : µ = µ 0. Se a hipótese alternativa é do tipo µ µ 0, rejeitaremos H 0 para valores da média amostral significativamente afastados de µ 0, à esquerda ou à direita de µ 0. Nesse caso, temos um teste bicaudal/bilateral. Se a hipótese alternativa é do tipo µ > µ 0, rejeitaremos H 0 para valores da média amostral significativamente afastados de µ 0, à direita de µ 0. Nesse caso, temos um teste unicaudal/unilateral. Se a hipótese alternativa é do tipo µ < µ 0, rejeitaremos H 0 para valores da média amostral significativamente afastados de µ 0, à esquerda de µ 0. Nesse caso, temos um teste unicaudal/unilateral. 17

17 7. Procedimento Clássico de Testes de Hipóteses: Passo 1: Fixe a hpótese nula a ser testada e qual é a forma da hipótese alternativa. Passo 2: Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística será usada no teste. Obtenha a distribuição amostral da estatística de teste. Passo 3: Fixe o nível de significância α do teste, isto é, a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira e determine a região crítica do teste. Passo 4: Use a amostra para calcular o valor amostral da estatística de teste. Passo 5: Se o valor amostral cair na região crítica, rejeite H 0, caso contrário, não rejeite H 0. 18

18 Vejamos como ficam esses passos no exemplo dos motoristas que avançam o sinal vermelho. Lembre que n = 880 e ˆp = 0, 56, a proporção amostral dos motoristas que avançam um sinal vermelho. Seja p, a proporção populacional dos motoristas que avançam um sinal vermelho. Podemos fixar como hipóteses { H0 : p = 0, 50 H 1 : p > 0, 50. H 1 representa a afirmação da repórter de que a maioria dos motoristas americanos avança um sinal vermelho (p > 0, 50). Como estatística de teste vamos usar a proporção amostral ˆp. 19

19 Do Teorema Central do Limite (TCL) temos, para n grande ˆp p p(1 p)/n a N(0, 1). Fixemos o nível de significância do teste, ou seja, a probabilidade de rejeitar H 0, quando ela é verdadeira em 5%: α = 0, 05. Como o teste é unilateral, a forma da região crítica será unicaudal à direita (H 1 : p > 0, 50). Dizer que H 0 é verdadeira nesse exemplo equivale a ter p = 0, 50 tal que ˆp 0, 5 0, 5 (1 0, 5)/880 a N(0, 1) sob H 0. 20

20 Como φ(1, 64) 0, 95, conforme a figura a seguir, segue que a região crítica será do tipo Z 0 = ˆp 0, 5 0, 25/880 > 1, 64 ou, equivalentemente, ˆp > 0, 5 + 1, 64 0, , 528. Como o valor amostral é z 0 = 0, 56 0, 5 0, 25/880 3, 56 (ˆp = 0, 56), ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula de que p = 0, 50 em favor da hipótese alternativa de que p > 0,

21 8. Terminologia: Aceitar/Não Rejeitar Alguns textos dizem aceitar H 0 em vez de não rejeitar H 0. Qualquer que seja a expressão usada: aceitar ou não rejeitar, devese reconhecer que não estamos provando a hipótese nula; estamos apenas dizendo que a evidência amostral não é forte o bastante para garantir a sua rejeição. É como um júri dizendo que não há evidência suficiente para condenar um suspeito. O termo aceitar é, de alguma forma enganoso, pois parece implicar que a hipótese nula foi comprovada. A sentença não rejeitar H 0 diz mais corretamente que a evidência não é forte para garantir a rejeição de H 0. 22

22 9. Valor-p, p-valor, Nível Descritivo ou Probabilidade de Significância O procedimento clássico de testes de hipóteses parte da fixação do valor do nível de significância α. Outra maneira de proceder consiste em apresentar o p-valor do teste. De maneira informal, o p-valor caracteriza o grau de adesão dos dados amostrais à hipótese nula. É calculado usando-se uma probabilidade condicional, supondo que H 0 é verdadeira. Portanto, o p- valor está entre 0 e 1. Na prática, rejeitaremos H 0 para p-valores muito pequenos. A diferença é que aqui não se constrói uma região crítica. Nesse procedimento, calculamos o valor amostral da estatística de teste e verificamos como esse valor se apresenta com relação à distribuição amostral sob a suposição de H 0 ser verdadeira. 23

23 Se o valor amostral da estatística de teste estiver muito na cauda dessa distribuição, concluiremos que os dados não estão trazendo evidência a favor de H 0. Caso contrário, não teremos evidência contra H 0. O cálculo do p-valor dependerá se o teste é uni ou bilateral. Vejamos como fica o p-valor no exemplo dos motoristas que avançam o sinal vermelho. Sob H 0, vimos que ˆp 0, 5 0, 25/880 a N(0, 1). O valor amostral da estatística de teste é z 0 = 0,56 0,50 3, 56 tal que 0,25/880 p-valor = P (Z 0 3, 56 H 0 ) 0, Sob H 0 a distribuição de Z 0 é N(0, 1). 24

24 Ou seja, se H 0 é de fato verdadeira, a probabilidade de termos obtido uma proporção amostral tão grande ou maior que 0,56 é de apenas um para cada Portanto, concluímos que os dados não trazem evidência a favor de H 0 e devemos rejeitá-la. Observe que apesar de usarmos um procedimento diferente, chegamos a mesma conclusão quando adotamos o procedimento clássico com nível de significância de 5%. 25

25 De fato, o p-valor corresponde ao maior nível de significância para o qual aceitaremos H 0. Para qualquer nível de significância α p-valor, aceitamos H 0. Fisher (1954) sugeriu uma escala de evidência com base no p-valor p-valor Natureza da evidência contra H 0 0,10 marginal 0,05 moderada 0,025 substancial 0,01 forte 0,005 muito forte 0,001 fortíssima 26

26 Se o teste for bilateral, deveremos calcular a área das duas caudas correspondentes ao valor amostral padronizado supondo H 0 verdadeira. A maioria dos softwares estatísticos retornam o p-valor dos testes executados. Por isso é fundamental saber interpretá-los. Assim, lembre-se de em todo teste ter clareza de quem é a hipótese nula e quem é a hipótese alternativa. Além disso, lembre que o p-valor fornece um grau de evidência amostral contra H 0, no sentido de quanto menor ele é, mais forte é a evidência contra a hipótese nula. Lembre: podemos pensar no p-valor como uma medida de adesão dos dados amostrais à hipótese nula. Se ele não é muito pequeno é porque é razoável que eles tenham sido gerados pela distribuição proposta por H 0. 27