Introdução à Bioestatística Turma Nutrição
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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Introdução à Bioestatística Turma Nutrição Aula 9: Testes de Hipóteses - Conceitos Básicos e Testes para Média e Proporção
2 Exemplo Inicial: Um pesquisador afirma que o perfil sócio-econômico dos estudantes de certa universidade, se comparado ao perfil de dez anos atrás, se elevou: a renda familiar aumentou e menos alunos trabalham (proporcionalmente). Há dez anos, a renda familiar média dos estudantes era de 1500 reais* e 20% dos estudantes trabalhavam. Hipóteses do pesquisador sobre o perfil dos estudante hoje: a média da renda familiar per capita é maior que 1500 reais; a proporção deles que trabalha é menor que 0.20 (20%). *Corrigido para valores atuais.
3 Hipóteses do pesquisador: a média da renda familiar per capita é maior que 1500 reais; a proporção deles que trabalha é menor que 0.20 (20%). O pesquisador não tem acesso às informações de renda e ocupação de todos os (30 mil) estudantes da universidade (da população) para saber qual é o valor desta média e desta proporção e, assim, poder verificar, sem erro, se suas hipóteses são verdadeiras ou não. Vamos chamar estes valores desconhecidos de média e proporção na população (todos os estudantes da universidade) de: µ valor da média da renda familiar per capita na população; p valor da proporção de estudantes que trabalha na população.
4 Ele selecionou aleatoriamente 100 estudantes e perguntou, para cada estudante desta amostra, sua renda familar per capita e o se estudante trabalha ou não. Ele pretende usar os valores da média de renda dos estudantes da amostra ( x) e da proporção de estudantes da amostra que trabalham ( pˆ ) para verificar suas hipóteses sobre toda a população de estudantes.
5 Vamos considerar uma hipótese do pesquisador sobre os estudantes da universidade: a proporção deles que trabalha é menor que 0.20 (20%). ou seja, p < Vamos chamar esta hipótese de hipótese alternativa (H 1 ): ou seja, H 1 : p < O oposto da hipótese do pesquisador é que p Vamos chamar esta hipótese de hipótese nula ( ): ou seja, : p Sem perda de generalidade, apenas para facilitar o raciocínio, vamos simplificar a hipótese nula para : p 0.20.
6 Temos, então, as duas hipóteses: Hipótese nula: : p 0.20 Hipótese alternativa: H 1 : p < 0.20 Toda a informação que temos sobre a proporção populacional p está na amostra, através do valor da proporção amostral : pˆ Se for próxima (ou maior) de 0.20, acreditamos mais em ; pˆ Se for menor que 0.20, acreditamos mais em H 1. pˆ Mas quanto pˆ tem que ser menor que 0.20 para rejeitarmos, ou seja, para acreditarmos na hipótese do pesquisador (H 1 )? E se o pesquisador estiver errado, ou seja, se p 0.20, qual a probabilidade de errarmos ao rejeitar?
7 Se a hipótese : p 0.20 é verdadeira:
8 Histograma dos valores da proporção em 1000 amostras aleatórias de tamanho 100 retiradas da população com p 0.20 (ou seja, sob )
9 Critério de Rejeição 1: rejeita-se : p 0.20 se pˆ % das amostras levariam à rejeição incorreta de
10 Critério de Rejeição 2: rejeita-se : p 0.20 se pˆ % das amostras levariam à rejeição incorreta de
11 A teoria da probabilidade diz que, sob : p 0.20 os valores da proporção em amostras aleatórias de tamanho 100 têm, aproximadamente, (0.2)(1 0.2) 100 distribuição Normal com média 0.20 e d.p. 0.04
12 Critério de Rejeição 3: rejeita-se : p 0.20 se? tal que 5% das amostras levariam à rejeição incorreta de. pˆ Rejeita-se : p 0.20 se pˆ 0.13.
13 % das amostras que levariam à rejeição incorreta de Critério de Rejeição: Rejeitar : p 0.20 se ˆ 0.16 p ˆ 0.13 p 3.0 pˆ Quanto menor o risco que toleramos correr de rejeitar incorretamente......mais distante de 0.20 (para baixo) deve estar a proporção amostral (mais forte deve ser a evidência amostral contra ). O valor tolerado para a probabilidade de rejeitar incorretamente é chamado de nível de significância do teste (denotado por α). Rejeitar incorretamente é chamado de Erro Tipo I.
14 Critério de Rejeição: rejeita-se : p 0.20 (em favor de : p 0.20 ) tal que P(rejeição incorreta de ) α, se se? pˆ Rejeita-se : p 0.20 (em favor de : p 0.20) se
15 Teste de Hipóteses: Hipótese é uma afirmação sobre o valor desconhecido de um parâmetro da população, por exemplo: Média de uma variável quantitativa: µ Proporção de uma variável qualitativa dicotômica*: p * Tem apenas duas categorias (trabalha ou não, doente/sadio, vota/não vota) Teste de Hipóteses é a técnica estatística para escolha entre as duas hipóteses sobre o parâmetro. - Hipótese Nula ( ): ponto de partida - Hipótese Alternativa (H 1 ): hipótese do pesquisador
16 Teste de Hipóteses: Técnica que utiliza as informações sobre o parâmetro contidas na amostra para testar versus H 1. Exemplo Inicial: p proporção de estudantes da universidade que trabalha. Hipótese nula: : p 0.2 (o perfil social não se elevou) Hipótese do pesquisador: H 1 : p < 0.2 (o perfil social se elevou) µ média da renda familiar dos estudantes da universidade Hipótese nula: : µ 1500 (o perfil social não se elevou) Hipótese do pesquisador: H 1 : µ > 1500 (o perfil social se elevou) Utilizando a informação da amostra de 100 estudantes, devemos decidir entre e H 1. Sabemos que podemos tomar a decisão errada de duas maneiras: - Decidir ficar com H 1 (rejeitar ), quando é verdadeira ou - Decidir ficar com (não rejeitar H0), quando é falsa.
17 Erros associados a um Teste de Hipóteses Decisão baseada no teste Rejeitar Não rejeitar Situação real (desconhecida) é verdadeira Decisão incorreta (Erro Tipo I) Decisão correta é falsa Decisão correta Decisão incorreta (Erro Tipo II) Erro tipo I: Erro tipo II: Rejeitar quando é verdadeira. Não rejeitar quando é falsa.
18 Exemplo Inicial: Erros associados a um Teste de Hipóteses p proporção de estudantes da universidade que trabalha. Hipótese nula: : p 0.2 (o perfil social não se elevou) Hipótese do pesquisador: H 1 : p < 0.2 (o perfil social se elevou) Erro tipo I: rejeitar, quando é verdadeira Concluir que o perfil se elevou quando, na verdade, ele não se elevou. Erro tipo II: não rejeitar, quando é falsa Concluir que o perfil não se elevou quando, na verdade, ele se elevou
19 Nível de Significância do Teste de Hipóteses O Erro Tipo I geralmente é o mais grave. Assim pretende-se controlá-lo, pré-fixando sua probabilidade de ocorrência em um valor pequeno α : P(Erro tipo I) P(Rejeitar quando é verdadeira) α. Usualmente tem-se: α 0.10 ou α 0.05 ou α Este valor pré-fixado para a probabilidade do Erro Tipo I é chamado nível de significância do teste. Se, por exemplo. for escolhido o valor de α 0.05, diz-se que é um teste de hipóteses ao nível de significância de 5%.
20 A escolha do nível de significância (α) está diretamente ligada à escolha do ponto de corte para decisão do teste: No exemplo : p 0.2 (o perfil social não se elevou) nível de significância escolhido 17.8% 5.0% ˆ 0.16 p pˆ % pˆ proporção amostral de estudantes trabalhadores para rejeitar Quanto menor o nível de significância escolhido (menor probababilidade de rejeitar incorretamente ), mais difícil fica rejeitar, pois menor deverá ser a proporção amostral de estudantes trabalhadores.
21 Componentes de um Teste de Hipóteses Hipótese nula: é a afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional (média µ ou proporção p) expressa a condição de igualdade a um valor pré-estabelecido: : µ µ 0 : p p 0 Hipótese alternativa: é a afirmação contrária à hipótese nula. Assume uma de três formas: H A : µ < µ 0 ou H A : µ > µ 0 ou H A : µ µ 0 H A : p < p 0 ou H A : p > p 0 ou H A : p p 0 Nível de significância do teste (α): valor máximo tolerado para a probabilidade do Erro Tipo I (rejeitar quando é verdadeira).
22 Exemplo Inicial: p proporção de estudantes da universidade que trabalha. Hipótese nula: : p 0.2 (o perfil social não se elevou) Hipótese do pesquisador: H 1 : p < 0.2 (o perfil social se elevou) µ média da renda familiar dos estudantes da universidade Hipótese nula: : µ 1500 (o perfil social não se elevou) Hipótese do pesquisador: H 1 : µ > 1500 (o perfil social se elevou) Nível de significância escolhido: 5% (α0.05).
23 Componentes de um Teste de Hipóteses Estatística de teste: mede a distância entre o que foi observado na amostra e o que seria esperado se a hipótese nula fosse verdadeira. Teste sobre uma média µ: (Teste T) : µ µ 0 T obs x s µ o / n n: tamanho da amostra : média na amostra s: desvio-padrão na amostra Teste sobre uma proporção p: : p p 0 (Teste Z) Zobs p pˆ 0 p (1 n 0 p 0 ) n: tamanho da amostra : proporção na amostra
24 Exemplo Inicial: o pesquisador tomou uma amostra aleatória de 100 estudantes da universidade e encontrou que 15 deles trabalham e que a média da renda na amostra foi de 1565 reais (e desvio-padrão de 300 reais). Ele escolheu nível de significância de 5%, ou seja, α0.05. Teste sobre a média de renda (µ): : µ 1500 H 1 : µ > 1500 n s 300 x µ T obs s / n / Teste sobre a proporção que trabalha p: : p 0.20 H 1 : p < 0.20 n Z obs p pˆ 0 p (1 n 0 ) (1 0.20) p 2.00
25 Distribuição de Referência do teste: De acordo com o tipo de teste de hipóteses feito, uma distribuição de probabilidades é associada à estatística de teste. Teste sobre uma média µ: µ: : µ µ 0 T obs x s µ o / n T-Student com (n-1) g.l. Teste sobre uma proporção p: : p p 0 Zobs p pˆ ˆ 0 p (1 n 0 p 0 ) Normal Padrão (Z) Quando é verdadeira, a estatística de teste segue a distribuição de referência, ou seja, se é verdadeira, então o valor da estatística de teste deve ser um valor típico (não extremo) da distribuição de referência.
26 Valor-p: é a probabilidade da estatística de teste ter valores tão ou mais extremos que o valor calculado na amostra, quando verdadeira. Se o valor-p é alto > pode ser verdadeira > não rejeito Se o valor-p é baixo > não deve ser verdadeira > rejeito Mas alto ou baixo em relação a quê? Ao nível de significância α. O valor-p < α? NÃO SIM Não rejeita : a amostra não contém evidências suficientes para a rejeitar a hipótese nula. Rejeita : a amostra contém evidências suficientes para a rejeitar a hipótese nula. O valor-p é calculado na distribuição de referência da estatística de teste e depende do sinal (<, > ou ) da H 1.
27 No Teste Z para uma Proporção (p) : pˆ p 0 Z obs p (1 p ) Hipóteses Valor-p Desenho 0 n 0 : p p 0 H 1 : p < p 0 P( Z < Z obs ) : p p 0 H 1 : p > p 0 P( Z > Z obs ) : p p 0 H 1 : p p 0 2 P( Z > Z obs )
28 Exemplo Inicial: o pesquisador tomou uma amostra aleatória de 100 estudantes da universidade e encontrou que 15 deles trabalham. Ele escolheu nível de significância de 5%, ou seja, α0.05. Teste sobre a proporção que trabalha p: : p 0.20 n 100 H 1 : p < Z obs pˆ p p 0 (1 n 0 ) 0.20(1 0.20) Valor-p P(Z < Z obs ) P(Z < -2.00) p 2.00 Como o valor p < 0.05, rejeita-se ao nível de significância de 5%. Conclui-se que a proporção dos estudantes que trabalham é menor que 20%.
29 No Teste T para uma Média (µ) : T obs x s µ n o Hipóteses Valor-p Desenho : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 P( T (n-1) < T obs ) : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 P( T (n-1) > T obs ) : µ µ 0 H 1 : µ µ 0 2 P(T (n-1) > T obs )
30 Exemplo Inicial: o pesquisador tomou uma amostra aleatória de 100 estudantes da universidade e encontrou que a média da renda na amostra foi de 1565 reais (e desvio-padrão de 300 reais). Ele escolheu nível de significância de 5%, ou seja, α0.05. Teste sobre a média de renda (µ): : µ 1500 H 1 : µ > 1500 n 100 x µ T obs s 300 s / n 300 / Valor-p P(T 99 > T obs ) P(T 99 > 2.17)? Valor-p está entre e (veja slide seguinte). Como o valor p < 0.05, rejeita-se ao nível de significância de 5%. A média de renda dos estudantes é maior que 1500 reais.
31 P(T 99 > 2.17)? P(T 99 > 2.17) está entre e (entre 1.5% e 2.0%).
32 Exemplo 2: Teste de Hipóteses sobre uma Média Uma indústria farmacêutica especifica que em certo analgésico a quantidade média de ácido acetilsalicílico deve ser 5.5 mg por comprimido. A indústria suspeita que houve problemas na produção de um determinado lote e que, nesse lote, a quantidade média dessa substância está diferente da especificada. Para verificar essa suspeita, a indústria selecionou uma amostra aleatória de 30 comprimidos desse lote, observando uma quantidade média de ácido acetilsalicílico igual a 5.8 mg e um desvio-padrão de 0.8 mg. Os dados da amostra confirmam a suspeita da indústria, ao nível de significância de 10%?
33 Parâmetro: µ quantidade média de ácido acetilsalicílico (em mg) de certo analgésico no lote supeito da indústria farmacêutica. Valor de comparação: µ α 0.10 Hipóteses : µ 5.5 H a : µ 5.5 a Erro Tipo I: Dizer que o lote tem problema, quando na verdade, o lote não tem problema Erro Tipo II: Dizer que o lote não tem problema, quando na verdade, o lote tem problema Dados amostrais: n30, x 5.8, s0.8. Estatística de teste: T obs x µ o s / n / /
34 : µ 5.5 H a : µ 5.5 α 0.10 Valores mais extremos que T obs menores maiores Valor-p 2 x P(t 29 > 2.1) Na t 29, o valor 2.1 está entre e Então P(t 29 > 2.1) está entre e Logo, valor-p está entre 0.04 e Como o valor p < 0.10, rejeita-se ao nível de significância de 10%. Conclui-se que o lote está com problema.
35 Exemplo 3: Teste de Hipóteses sobre uma Proporção A ProCare Industries LTDA lançou um produto chamado Gender Choice* alegavam aumentar sua chance do nascimento de uma menina. p probabilidade do nascimento de uma menina com o produto. Probabilidade natural de ter uma menina: 50% : produto não funciona (p 0.50) H 1 : produto funciona (p > 0.50) Em um experimento para verificar a eficácia deste produto, suponha que n100 casais que queriam uma menina fizeram uso do produto e se observou o nascimento de 61 meninas. Ao nível de significância de 5%, podemos dizer que o produto funciona? * "Gender Choice a 'gross deception.'". FDA Consumer. FindArticles.com. 22 Sep,
36 Parâmetro: p proporção de meninas em nascimentos usando o produto. Valor de comparação: p α 0.05 Hipóteses : p 0.5 H 1 : p > 0.5 Estatística De teste: Z obs Dados amostrais: n100, pˆ 61/ p pˆ 0 p ( 1 p 0 n ) 0.5(1 0.5) Valor-p P[ Z > 2.2] , ou seja, valor-p < Rejeita-se ao nível de significância de 5%. Podemos dizer que o produto funciona.
37 Passos para Teste de Hipóteses 1) Defina o parâmetro (média ou proporção) a ser testado. 2) Defina as hipóteses nula ( ) e hipótese alternativa (H 1 ). 3) Escolha um valor α para o nível de significância do teste. 4) Calcule a estatística de teste (depende do parâmetro). 5) Calcule o valor-p da estatística de teste (depende de H 1 ). 6) Rejeite se valor-p < α. 7) Conclua o teste.
38 Erro Tipo II e Poder do Teste de Hipóteses P(Erro tipo II) P(Não rejeitar quando é falsa) β. β não pode ser fixado, mas pode ser calculado. β é reduzido aumentando-se o tamanho da amostra Poder do teste P(Rejeitar quando é falsa) 1 -β. 0 0 Um teste de hipótese com um poder de 90%, por exemplo, rejeitará corretamente com 90% de probabilidade*. * Para uma dada distância de )
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