Lecture 3a Testes de Hipótese

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1 Métodos Quantitativos em Contabilidade I Programa de Pós-Graduação em Controladoria e Contabilidade Lucas Barros Henrique Castro Universidade de São Paulo 1 of 19 Lecture 3a Testes de Hipótese 2 of 19 Sumário Lecture 3a: Testes de Hipótese Testes de Hipóteses Fundamentos dos Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses sobre a Média Cálculo e Uso de p-valores Erro do Tipo I e Erro do Tipo II 3 of 19 Testes de Hipóteses: Introdução Lecture 3a: Testes de Hipóteses Uma das aplicações mais importantes da inferência estatística é o teste de hipóteses sobre o valor de parâmetros populacionais. Estes testes buscam oferecer respostas do tipo sim ou não a questões de interesse. Exemplos Um programa de treinamento de pessoal aumenta a produtividade média dos trabalhadores? Há discriminação racial na contratação de trabalhadores? A estrutura de propriedade das empresas influencia suas práticas tributárias? Ver Exemplos no Apêndice C do livro-texto (LW), script lecture-03.r e os Video Lecture Examples with R. 4 of 19

2 Testando Conjecturas (1) Lecture 3a: Fundamentos dos Testes de Hipóteses Seja θ um parâmetro (desconhecido) de interesse. Hipóteses podem ser representadas como conjecturas sobre o valor de θ, do tipo: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 ou H 0 : θ θ 0 H 1 : θ > θ 0 etc. (L3a.1) θ 0 é o valor de θ por nós conjecturado. Chamamos H 0 de hipótese nula e assumimos que H 0 é verdadeira até que os dados provem o contrário. O teste verificará se H 0 é estatisticamente plausível tendo como base de comparação a hipótese alternativa H 1. 5 of 19 Testando Conjecturas (2) Lecture 3a: Fundamentos dos Testes de Hipóteses Este procedimento é implementado por meio da construção de uma estatística de teste. Uma estatística de teste é um tipo de estimador (função de variáveis aleatórias) e por isso é ela mesma uma v.a. A ideia por trás de qualquer teste é mensurar uma distância entre a estimativa obtida para θ e o valor conjecturado, θ 0, e determinar se ela é grande o suficiente para rejeitarmos H 0. Um passo fundamental é determinar a distribuição da estatística de teste sob H 0, ou seja, assumindo que H 0 é verdadeira. Em seguida, separamos a distribuição numa região de rejeição e numa região de não-rejeição da hipótese nula. 6 of 19 Testes de Média (1) Testes de hipótese frequentemente se referem a médias (ou proporções). Neste caso, conjecturamos que a média populacional µ é igual a µ 0 (H 0 : µ = µ 0 ). Assumindo que H 0 é verdadeira, podemos definir uma estatística de teste (representada por T ): T = Y µ 0 S/ n. (L3a.2) A distribuição de T, sob H 0, será t n 1 se a população tiver distribuição normal (e a amostra for aleatória). 7 of 19 Testes de Média (2) O TCL também nos garante que a distribuição de T (sob H 0 ) se aproximará de uma normal padrão, na medida em que aumenta o tamanho da amostra (aleatória). Com base na estatística de teste e em sua distribuição, podemos definir uma regra de rejeição que determine quando H 0 deve ser rejeitada em favor de H 1. As regras de rejeição são baseadas na comparação do valor da estatística com um valor crítico c. A regra de rejeição que escolheremos dependerá da natureza da hipótese alternativa, havendo três possibilidades: H 1 : µ > µ 0, H 1 : µ < µ 0 ou H 1 : µ µ 0. As duas primeiras são alternativas unilaterais, enquanto que a última é bilateral. 8 of 19

3 Testes de Média (3) Suponha que fixamos um nível de significância de 5%. Então, o valor crítico c pode ser determinado de forma que P(T > c H 0 ) = Neste caso, uma vez encontrado o valor de c, a regra de rejeição será: t > c rejeitar a hipótese nula, sendo t o valor de T numa amostra específica. Neste exemplo, o valor crítico c indica que, se a H 0 fosse correta e sorteássemos infinitas amostras, em apenas 5% dos casos observaríamos valores de T superiores a c. Logo, encontrar t > c é um indício de que a H 0 não é muito plausível. t > c não prova, entretanto, que H 0 é falsa. Ver Exemplo C.5 no Apêndice C do livro-texto (LW) e script em lecture-03.r. 9 of 19 p-valores (p-values) (1) Lecture 3a: Cálculo e Uso de p-valores Em muitos estudos, queremos reportar também o chamado p-valor ou nível de significância observado. Exemplo Considere o problema de testar H 0 : µ µ 0 e suponha que T possui distribuição normal padrão, sob H 0. Suponha que o valor de T observado para uma determinada amostra seja t = Podemos encontrar o maior nível de significância no qual não poderíamos rejeitar H 0. p-valor = P(T > 1.52 H 0 ) = 1 Φ(1.52) = (L3a.3) sendo Φ(.) a fdc da normal padrão. 10 of 19 p-valores (p-values) (2) Lecture 3a: Cálculo e Uso de p-valores No exemplo acima, o p-valor indica que, se a H 0 fosse correta e sorteássemos infinitas amostras, em 6.5% dos casos observaríamos valores de T superiores a t (1.52). Podemos comparar este valor com o nível de significância desejado para o teste. Por exemplo, não podemos rejeitar a H 0 no nível de 5% ou de 1%, mas podemos rejeitá-la no nível de 10%. O cálculo de um p-valor para um teste bilateral é semelhante, mas devemos considerar a natureza bilateral da regra de rejeição: P( T > t ) = 2P(T > t ). (L3a.4) Ou seja, compute o valor absoluto da estatística t, encontre a área à direita desse valor e multiplique a área por dois. 11 of 19 Tipos de erro (1) É claro que podemos cometer um erro rejeitando uma H 0 verdadeira. Por exemplo, se adotamos um nível de significância de 10%, isso significa que P(T > c H 0 ) = 0.1, ou seja, em 10% dos casos encontraremos valores da estatística de teste superiores ao valor crítico mesmo sendo a H 0 verdadeira. Usando a regra de rejeição, se t > c, rejeitamos a H 0. Caso ela seja verdadeira, cometemos um erro, conhecido como erro do tipo I. Naturalmente, a probabilidade de ocorrência deste erro é igual ao nível de significância α escolhido (10%, 5% ou 1%, em geral). 12 of 19 P (erro do tipo I) = P (rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) = α.

4 Tipos de erro (2) O segundo tipo de erro é a impossibilidade de rejeitar H 0 quando ela for efetivamente falsa. Este é chamado de erro do tipo II. A probabilidade de não-rejeitarmos uma H 0 falsa pode ser representada por β: P (erro do tipo II) = P (não-rejeitar H 0 H 0 é falsa) = β. A quantidade 1 β é chamada de poder do teste, definido como a probabilidade de rejeitarmos uma hipótese nula falsa: P (rejeitar H 0 H 1 ) = 1 β. É bem mais difícil determinar o valor de β do que o valor de α. 13 of 19 Tipos de erro (3) Após tomarmos a decisão de rejeitar ou não a hipótese nula, ou nossa decisão foi correta ou cometemos um erro, o que dificilmente saberemos com certeza. H 0 verdadeira H 0 falsa não-rejeita H 0 decisão correta erro do tipo II rejeita H 0 erro do tipo I decisão correta Naturalmente, gostaríamos de minimizar a probabilidade de cometermos os dois tipos de erro. Infelizmente, é impossível minimizar α e β simultaneamente, pois existe um trade-off entre eles: quanto menor for α, maior será β e vice-versa (Ex.: StatisticalPower.CDF). Por exemplo, se eu quisesse fazer α = 0, bastaria construir um teste que nunca rejeitasse H 0. O problema é que, neste caso, H 0 seria sempre aceita mesmo se fosse falsa, e portanto teríamos β = of 19 Tipos de erro (4) Na prática, fixamos α em um nível baixo aceitável e torcemos para que β não seja muito grande. Às vezes, mas nem sempre, conseguimos verificar isso ou mesmo atuar nesta direção. O poder do teste depende de vários fatores, principalmente: 1. Do nível de significância escolhido. 2. Do tamanho da amostra (quanto maior, melhor). 3. Da distância (padronizada) entre o valor conjecturado e o valor verdadeiro do parâmetro ( tamanho do efeito ). Em geral, um poder na faixa de 80% é considerado bom (e pode ser difícil de alcançar este patamar em alguns casos). Alguns testes podem ter poder muito baixo, especialmente em amostras pequenas (Ex.: PowerCurveOfAMeanTest.CDF). 15 of 19 Tipos de erro (5) Privilegiamos o controle do erro do tipo I porque, em geral, este erro é considerado mais grave do que o erro do tipo II. H 0 representa, na maior parte das aplicações, o status quo ou a ausência de efeito. A ideia é exigir evidências fortes para declarar que o status quo deve ser modificado. Usando uma metáfora jurídica, a H 0 implica ausência de culpa : Consideramos que é mais grave condenar um inocente (erro do tipo I) do que absolver um culpado (erro do tipo II): in dubio pro reo. Este é um princípio de conservadorismo científico. 16 of 19

5 Cuidado com o p-valor (1) Muito cuidado com a interpretação do nível de significância e do p-valor ela é mais estreita do que parece. Mesmo quem conhece estatística pode se atrapalhar ao interpretar resultados de testes de hipóteses. Exemplo Suponha que você encontrou p-valor = É comum cairmos na tentação de concluir que a probabilidade de que a hipótese nula é verdadeira é igual a 5%, neste caso. Entretanto, isto pode estar muito longe da realidade. 17 of 19 Cuidado com o p-valor (2) Para interpretar corretamente um teste de hipótese, precisamos relembrar a regra de Bayes P (A e B) = P (A B) P (B) = P (B A) P (A), P (A B) = P (B A) P (A). (L3a.5) P (B) Utilizando (??), entendemos a diferença entre P (rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) e P (H 0 é verdadeira rejeitar H 0 ). P (H 0 T > c) = P (T > c H 0) P (H 0 ). (L3a.6) P (T > c) 18 of 19 Cuidado com o p-valor (3) Também sabemos que P (T > c) = P (T > c H 0 ) P (H 0 ) + + P (T > c H 1 ) P (H 1 ). (L3a.7) Sendo que: P (T > c H 0 ) = α (nível de significância do teste). P (T > c H 1 ) = 1 β (poder do teste). Aplicando (??) e (??) descobrimos que a probabilidade da H 0 ser verdadeira quando a estatística de teste cai na zona de rejeição (ou seja, p-valor < α) pode ser muito diferente de α (e do próprio p-valor) (Ex.: CuidadoP-valor.XLSX). 19 of 19

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