1. Hipótese nula H0 é uma hipótese que contém uma afirmação de igualdade, tal como, = ou.

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1 Aula 8 Testes de hipóteses Introdução Teste de hipótese é um processo que usa estatísticas amostrais para testar a afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional. Pesquisas em campos tais como medicina, psicologia e negócios confiam nos testes de hipóteses para tomada de decisões. Suponha, por exemplo, que um fabricante de automóveis anuncie que seu novo carro híbrido tem média de milhagem de 50 milhas por galão. Como é possível mostrar se esse anúncio é verdadeiro ou falso? É impossível testar todos os veículos, mas você pode tomar uma amostra aleatória da população de veículos, medir a milhagem e encontrar uma média amostral. De acordo com o resultado você decidir que o anúncio está certo ou errado. Estabelecendo uma hipótese Uma afirmação sobre parâmetro populacional é chamada de hipótese estatística. Para testar um parâmetro populacional você deve afirmar um par de hipóteses. Uma representa a afirmação e outra seu complemento. Quando uma hipótese for falsa a outra deve ser verdadeira. Qualquer uma das hipóteses a hipótese nula ou a hipótese alternativa pode representar a afirmação original. Definição: 1. Hipótese nula H0 é uma hipótese que contém uma afirmação de igualdade, tal como, = ou. 2. A hipótese alternativa H1 é o complemento da hipótese nula. É uma afirmação que deve ser verdadeira se H0 for falsa e contém uma afirmação de desigualdade estrita tal como >, ou <. Estabelecendo as hipóteses nula e alternativa: Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a afirmação. Exemplos: 1. Uma universidade publica que a proporção de seus estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%.

2 2. Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5 galões por minuto. 3. Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do que 20 onças. Faça você 1. Um analista de consumo reporta que a vida útil média de certo tipo de bateria automotiva não é de 74 meses. 2. Um fabricante de televisores publica que a variância da vida útil de certo tipo de televisor é menor ou igual a 3,5. 3. Uma estação de rádio publica que sua proporção de audiência de ouvintes locais é maior que 39%. Tipos de erros: Não importa qual das hipóteses representa a afirmação, você começa o teste de hipótese assumindo que a condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira. Então quando realizar um teste de hipótese, você toma uma dessas duas decisões: 1. Rejeita a hipótese nula ou, 2. Falha ao rejeitar a hipótese nula. Pelo fato de sua decisão ser baseada em uma amostra ao invés de ser baseada na população inteira, há sempre a possibilidade de você tomar a decisão errada Testes de hipóteses - instruções: Estatística do teste - Encontrando valores P: O valor P depende da estatística do teste : unicaudal a direita, unicaudal a direita e bicaudal. Graficamente: Se H1 contém o símbolo de < o teste é unicaudal à esquerda.

3 Se H1 contém o símbolo > o teste é unicaudal à direita. Se H1 contém o símbolo de o teste é bicaudal Identificando a natureza de um teste de hipóteses: 1. Uma universidade publica que a proporção de estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%. 2. Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio do fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5 galões por minuto. 3. Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do que 20 onças. Atividade I Nos exercícios a seguir escreva as hipóteses nula e alternativa. Identifique qual é a afirmação. 1. Um fabricante de lâmpadas afirma que a vida útil média de certo tipo de lâmpada é mais do que 750 horas. 2. Conforme a afirmação do departamento de embarque de uma empresa, o número de erros de embarque por milhão de embarques tem desvio padrão de menos de O desvio padrão do preço base de certo tipo de veículo para qualquer tipo de terreno não é mais que $ Uma organização de pesquisas, reporta que 28 % dos residentes em Ann Harbor, Michigan, são estudantes universitários. 5. Os resultados de um estudo recente mostram que a proporção de pessoas nos Estados Unidos que usam cintos de segurança quando estão em um carro ou caminhão é de 81%.

4 Interpretando erros 6. Uma empresa especializada na fabricação de paraquedas afirma que o índice de falha de seu principal paraquedas não é mais do que 1%. Você realiza um teste de hipótese para determinar se a afirmação da empresa é falsa. Quais são as consequências no caso de você tomar uma decisão errada? Atividade II Nos exercícios 1 e 2 determine se o teste é unicaudal à direita, à esquerda ou bicaudal, esboce um gráfico de distribuição normal e sombreie a área para o valor P. 1.Um analista de consumo reporta que a vida útil média de certo tipo de bateria automotiva não é 74 meses. 2. Uma estação de rádio publica que sua proporção de audiência de ouvintes locais é maior que 39%. 3. Pelo menos 14% de todos de todos os proprietários de residências têm um alarme de segurança. 4. Um fabricante de relógios de pêndulo afirma que o tempo médio de perdas de seus relógios não é mais que 0,02 segundos por dia. 5. Um relatório do governo afirma que a proporção de casos de câncer de pulmão causados por cigarros é de 87%. 6. A vida útil de certo pneu não mais do que milhas. 7. Um analista de finanças afirma que o índice de retorno de um título norte-americano de 15 anos tem desvio padrão de 5,3%. 8. Um instituto de pesquisas afirma que a duração média da maioria dos sonhos é maior do que 10 minutos. Testes de hipóteses para a média (amostras pequenas n < 30) Encontrando valores críticos: Passo a passo: 1. Identifique o nível de confiança 2. Identifique os graus de liberdade (gl) = n 1

5 3. Encontre os valores críticos na tabela A. ATENÇÃO: a. Se o teste for unicaudal multiplique o nível de confiança por 2. b. Se o teste for unicaudal è esquerda use o valor encontrado com sinal negativo. c. Se o teste for unicaudal à direita use o valor encontrado com sinal positivo. d. Se o teste for bicaudal use o valor encontrado com sinal positivo e negativo. Exemplos: 1. Encontre o valor crítico t 0 para um teste unicaudal à esquerda dado α = 0,05 e n = Encontre o valor crítico t 0 para um teste unicaudal á direita dado α = 0,01 e n = Encontre o valor crítico t 0 para um teste bicaudal dado α = 0,05 e n = 26. Testando t para a média. Para testar a hipótese vamos utilizar a estatística do teste padronizado.: (média amostral (média hipotética) Erro padrão x μ S n

6 Instruções: Em palavras 1. Expresse a afirmação matemática e verbalmente. Identifique a hipótese nula e a alternativa. Em símbolos Afirme H 0 e H 1 2. Identifique o nível de significância. Identifique α 3. Identifique os graus de liberdade e faça a distribuição da amostragem gl = n Determine os valores críticos. 5. Determine as regiões de rejeição. 6. Encontre a estatística do teste padronizado x μ S n 7. Tome uma decisão de rejeitar ou aceitar a hipótese nula. Se t estiver na região de rejeição, rejeite H o. Caso contrário aceite 8. Interprete a decisão no contexto da afirmação original. Exemplo 1. Um revendedor de carros diz que o preço médio de um Honda Fit 2012 é de pelo menos $ Você suspeita que a afirmação é incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem média de preço de $ e desvio padrão de $ Há evidências para rejeitar a afirmação do revendedor em um nível de significância de 5%? Exemplo 2 Uma indústria afirma que a média do nível do ph na água do rio mais próximo e de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de ph de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α = 5%? Assuma que a distribuição é normalmente distribuída. Testes de hipóteses para a média (amostras pequenas n < 30)

7 Encontrando valores críticos: Passo a passo: 1. Identifique o nível de confiança 2. Identifique os graus de liberdade (gl) = n 1 3. Encontre os valores críticos na tabela A. ATENÇÃO: a. Se o teste for unicaudal multiplique o nível de confiança por 2. b. Se o teste for unicaudal è esquerda use o valor encontrado com sinal negativo. c. Se o teste for unicaudal à direita use o valor encontrado com sinal positivo. d. Se o teste for bicaudal use o valor encontrado com sinal positivo e negativo. Exemplos: 1. Encontre o valor crítico t 0 para um teste unicaudal à esquerda dado α = 0,05 e n = Encontre o valor crítico t 0 para um teste unicaudal á direita dado α = 0,01 e n = Encontre o valor crítico t 0 para um teste bicaudal dado α = 0,05 e n = 26. Testando t para a média.

8 Para testar a hipótese vamos utilizar a estatística do teste padronizado.: (média amostral (média hipotética) Erro padrão x μ S n Instruções: Em palavras 1. Expresse a afirmação matemática e verbalmente. Identifique a hipótese nula e a alternativa. Em símbolos Afirme H 0 e H 1 2. Identifique o nível de significância. Identifique α 3. Identifique os graus de liberdade e faça a distribuição da amostragem gl = n Determine os valores críticos. 5. Determine as regiões de rejeição. 6. Encontre a estatística do teste padronizado Obs: x média hipotética, pretende se conferir a sua veracidade μ média calculada da amostra x μ S n 7. Tome uma decisão de rejeitar ou aceitar a hipótese nula. Se t estiver na região de rejeição, rejeite H o. Caso contrário aceite 8. Interprete a decisão no contexto da afirmação original. Exemplo 1. Um revendedor de carros diz que o preço médio de um Honda Fit 2012 é de pelo menos $ Você suspeita que a afirmação é incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem média de preço de $ e desvio padrão de $

9 Há evidências para rejeitar a afirmação do revendedor em um nível de significância de 5%? Exemplo 2 Uma indústria afirma que a média do nível do ph na água do rio mais próximo e de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de ph de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α = 5%? Assuma que a distribuição é normalmente distribuída.. Atividades Lista 9 de exercícios 1. Encontre o valor crítico t 0 para um teste unicaudal à esquerda dado α = 0,01 e n = 14. Esboce um gráfico. 2. Encontre o valor crítico t 0 para um teste unicaudal á direita dado α = 0,05 e n = 9. Esboce um gráfico. 3. Encontre o valor crítico t 0 para um teste bicaudal dado α = 0,01 e n = 16. Esboce um gráfico. Nos exercícios a seguir faça os seguintes procedimentos: a) Identifique a afirmação, H 0 e H 1. b) Identifique o nível de significância e os graus de liberdade.

10 c) Encontre o valor crítico t o e identifique a região de rejeição. d) Use o teste t para encontrar a estatística de teste. e) Faça o gráfico. Decida se rejeita ou aceita a hipótese nula. f) Interprete a decisão no contexto da afirmação original. 4. Um corretor de seguros diz a média do custo do seguro de um Honda Fit é de pelo menos R$ 1.350,00. Uma amostra aleatória de 9 cotas de seguro similares tem média de custo de R$ 1.290,00 e desvio padrão de R$ 70,00. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação do corretor em 99%? 5. Um restaurador de micro-ondas diz que a média do custo para conserto de microondas com problemas é de R$ 100,00. Você trabalha para esse restaurador e quer testar essa afirmação. Você descobre que uma amostra aleatória de 5 fornos micro-ondas tem uma média de custo para conserto de R$ 75,00 e um desvio padrão de R$ 12,50. Você tem evidências para dar suporte à afirmação do restaurador com = 0,01? 6. Um restaurador de computadores acredita que a média do custo para conserto de computadores com problemas é maior que R$ 95,00. Para testar a afirmação, você determina os custos do conserto de 7 computadores escolhidos aleatoriamente e descobre que a média dos custos é R$ 100,00 por computador, com um desvio padrão de R$ 42,50. Com um nível de confiança de 99%, você tem evidências para dar suporte à afirmação do restaurador? 7. Um ambientalista estima que a média de lixo reciclado por adultos nos Estados Unidos seja maior que 1 libra por pessoa por dia. Você quer testar essa afirmação e descobre que a média de lixo reciclado por pessoa ao dia para uma amostra aleatória de 12 adultos nos Estados Unidos é de 1,46 libras e o desvio padrão é 0,28 libras. Com = 0,05, você pode dar suporte a essa afirmação?