PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Parte II

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Parte II Prof.ª Sheila Regina Oro Projeto Recursos Educacionais Digitais Autores: Bruno Baierle e Maurício Furigo

2 TESTE PARA UMA PROPORÇÃO H0: p = p 0 e H1: p p 0 (p 0 é um valor dado); No caso de teste unilateral, a hipótese alternativa seria H1 : p > p 0 (unilateral à direita) ou H1 :p < p (unilateral à esquerda). Suponha amostra suficientemente grande para aproximação da binomial à normal: n. p 0 5 e n. (1 p 0 ) 5.

3 TESTE PARA UMA PROPORÇÃO Sejam: p = y n = número de elementos com o atributo de interesse n y = y 0,5 se y > n. p 0 ; ou y = y + 0,5 se y < n. p 0 (correção de continuidade). Onde: p : é a proporção de elementos com atributo de interesse na amostra.

4 TESTE PARA UMA PROPORÇÃO Cálculo da estatística do teste: z = y n. p 0 n. p 0 (1 p 0 ) Onde: p 0 : valor da proporção, segundo H0; n : tamanho da amostra; y : correção de continuidade.

5 TESTE PARA UMA PROPORÇÃO ABORDAGEM DO VALOR -P Amostra Se bilateral: Cálculo de z z = y n. p 0 n. p 0 (1 p 0 ) Se unilateral à direita: Obtenção de p pela tabela da normal Se unilateral à esquerda:

6 TESTE PARA PROPORÇÃO ABORDAGEM DO VALOR -P Aceita H0 Rejeita H0

7 EXEMPLO 8.6 BARBETTA Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua linha de produção para análise de qualidade. As peças da amostra são classificadas como defeituosas ou não, sendo que a política da empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidência de mais que 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra foram encontradas 9 peças defeituosas. Usando um nível de significância de 1%, o processo precisa ser revisto?

8 RESULTADO H0: p = 0,015; H1: p > 0,015; Usar α = 0,01; Amostra: y = 9 em n = 500; p = = 0,018 z = y n. p 0 n. p 0 (1 p 0 ) = 8,5 500 (0,015) 500 0,015 (1 0,015) = 1 2,718 0,37

9 RESULTADOS Aceita-se H0 ao nível de significância de 1%.

10 TESTE PARA PROPORÇÃO ABORDAGEM CLÁSSICA Nível de significância α Obtenção do valor crítico pela tabela normal...

11 TESTE PARA PROPORÇÃO ABORDAGEM CLÁSSICA

12 TESTE PARA PROPORÇÃO ABORDAGEM CLÁSSICA Nível de significância α Se bilateral: Obtenção do valor crítico pela tabela normal Cálculo do valor z Rejeita H0 Aceita H0 RejeitaH0

13 TESTE PARA PROPORÇÃO ABORDAGEM CLÁSSICA Nível de significância α Se unilateral a direita: Obtenção do valor crítico pela tabela normal Cálculo do valor z Aceita H0 Rejeita H0

14 EXEMPLO 8.6 BARBETTA H0: p = 0,015; e H1: p > 0,015. Usar α = 0,01 Regra de decisão: Aceita H0 Rejeita H0

15 RESULTADO Da amostra temos: z = y n.p 0 n.p 0 (1 p 0 ) = 0,37 Portanto, chegamos a conclusão de que não há provas estatísticas suficientes para recomendar a revisão do processo produtivo.

16 TESTE PARA UMA MÉDIA É aplicável em situações que queremos verificar se uma variável na população pode ser considerada, em média, igual a certo valor. Para teste bilateral: H0: μ = μ 0 e H1: μ μ 0 Para teste unilateral: Para este caso a hipótese alternativa seria: H1 : μ > μ 0 (unilateral à direita); ou H1 :μ < μ 0 (unilateral à esquerda).

17 TESTE PARA UMA MÉDIA CASO DE VARIÂNCIA CONHECIDA Cálculo da estatística do teste: z = x μ 0 n σ Onde: x: média da amostra; μ 0 : valor da média segundo H0; n : tamanho da amostra; σ : variância populacional; O teste é feito com a distribuição normal, análogo ao da proporção.

18 TESTE PARA UMA MÉDIA CASO DE VARIÂNCIA DESCONHECIDA Cálculo da estatística do teste: t = x μ 0 n s Onde: x: média da amostra; μ 0 : valor da média segundo H0; n : tamanho da amostra; s : variância populacional. Uso da distribuição t com gl = n 1 (supondo população com distribuição normal).

19 EXEMPLO 8.8 (BARBETTA pg. 220) O tempo para transmitir 10 MB determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, com média 7,4 s e variância 1,3 s². Depois de algumas mudanças na rede, acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados, além de uma possível alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB e foram anotados os tempos de transmissão, em segundos: 6.8, 7.1, 5.9, 7.5, 6.3, 6.9, 7.2, 7.6, 6.6, 6.3; Existe evidência suficiente de que o tempo médio de transmissão foi reduzido? Use nível de significância de 1%.

20 RESULTADOS H0: μ = 7,4 s; H1: μ < 7,4 s; Amostra: N=10; Média da amostra=6,82; Desvio padrão da amostra=0,551; t = 6,82 7,4 10 0,551 = 3,33

21 RESULTADOS Uso da tabela t para obter o valor p:

22 RESULTADOS Uso da tabela t para obter o valor p:

23 RESULTADOS Como observado na tabela t, a área apontada é entre 0,0025 < valor p < 0,005, então o teste estatístico rejeita H0 em favor de H1. Portanto, com este resultado, podemos afirmar que houve redução no tempo de transmissão de dados com as alterações nas redes de computadores.

24 COMPARAÇÃO ENTRE TRATAMENTOS AMOSTRAS INDEPENDENTES Para realizar este tipo de experimento, dividese as unidades experimentais em g grupos, submetendo cada grupo a um tratamento. Dessa forma temos g amostras independentes. Podemos construir também h blocos de unidades experimentais semelhantes similares, sorteando os tratamentos em cada bloco.

25 AMOSTRAS INDEPENDENTES Ex. 9.1(BARBETTA) Considere o problema de comparar dois materiais (A e B), para sola de tênis, em termos do grau de desgaste após um certo período de uso. Seguem dois projetos de experimentos alternativos: Projeto I Um grupo de indivíduos usa tênis com solas feitas com o material A; e outro grupo usa tênis com solas feitas com o material B.

26 AMOSTRAS INDEPENDENTES Mensuração do grau de desgaste Mensuração do grau de desgaste

27 AMOSTRAS PAREADAS (se g>2) Projeto II Fabricam-se, para a realização do experimento, pares de tênis com os dois tipos de sola, isto é, um dos pés com o material A e o outro pé com o material B. Em cada par, o material usado em cada pé (direito ou esquerdo) é decidido por sorteio Alocação aleatória de A e B em cada par; Mensuração do grau de desgaste

28 AMOSTRAS PAREADAS Importância de considerar os pares na análise: Indivíduo (par de unidades experimentais)

29 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS H0: μ 1 = μ 2 e H1: μ 1 μ 2 ; Onde: μ 1 : valor esperado da resposta sob o tratamento 1; μ 2 : valor esperado da resposta sob o tratamento 2; Na abordagem unilateral, a hipótese alternativa é do tipo: H1 : μ 1 > μ 2 ou H1 : μ 1 < μ 2.

30 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS Caso os dados na amostra possuam um nível de mensuração qualitativo (ordinal ou nominal), mensuração quantitativa com indícios de que a distribuição não é normal ou quando há interesse em realizar inferência sobre outras características da população, usa-se os testes não paramétricos. No caso do teste t para duas amostras independentes, o teste não paramétrico substituto é o teste Mann-Whitney. Para duas amostras pareadas o teste indicado é o de Wilcoxon.

31 EXEMPLO 9.2(Barbetta, pg 235) Seja o problema de verificar se um novo algoritmo de busca em um banco de dados é mais rápido que o algoritmo atualmente usado. Para se fazer a comparação dos dois algoritmos, planeja-se realizar uma amostra aleatória de 10 buscas experimentais (ensaios). Em cada ensaio, uma dada busca é realizada pelos dois algoritmos e o tempo de resposta de cada algoritmo anotado. Observamos que em cada ensaio os dois algoritmos são usados em condições idênticas, caracterizando 10 pares de observações.

32 EXEMPLO H0: em média, os dois algoritmos são igualmente rápidos; e H1: em média, o algoritmo novo é mais rápido do que o algoritmo em uso; Ou: H0: μ 1 = μ 2 e H1: μ 1 < μ 2 ; Onde: μ 2 é o tempo esperado de resposta do algoritmo novo; e μ 1 é o tempo esperado de resposta do algoritmo antigo.

33 EXEMPLO

34 EXEMPLO Como os dados são pareados, pode ser verificado em cada ensaio a diferença entre os dois tratamentos(algoritmo): D = X 2 X 1 Em termos da variável diferença, as hipóteses ficam: H0: μ D = 0 e H1: μ D > 0.

35 EXEMPLO A estatística do teste será calculada da seguinte maneira: t = d s d n Onde: d: é a média das diferenças observadas; n : é o tamanho da amostra(número de pares); s d : é o desvio padrão das diferenças observadas.

36 EXEMPLO Supondo populações de distribuição normal, usase a distribuição t de Student, com gl = n 1 graus de liberdade. Dos dados apresentados anteriormente temos: Valores de D: 3, 7, -2, 6, -1, 6, 2, 9, -1, 5: d = 3,4; n = 10 s d = 1 n 1 i d i 2 n d 2 = 246 (10)(3,4)² 9 = 3,81

37 EXEMPLO A estatística fica da seguinte forma: t = d n 3,4 10 = = 2,82 s d 3,81 Conferindo na tabela t com gl = 10 1 = 9:

38 EXEMPLO O valor calculado, t = 2,82, está bem próximo de 2,821 apresentado na tabela de distribuição t, o que nos fornece um valor para p = 0,01, menor que o nível de significância adotado, de 5%(0,05). Portanto, podemos afirmar que o algoritmo de busca novo é, em média, mais rápido que o antigo, rejeitando assim H0: μ D = 0.

39 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Exemplo 9.3(Barbetta, pg 238) Desejamos verificar se os catalisadores A e B têm efeitos diferentes no rendimento de uma certa reação química. As hipóteses são: H0: em média, os dois catalisadores são iguais em termos de rendimento; H0: μ 1 = μ 2 ; e H1: em média, os dois catalisadores são diferentes em termos de rendimento. H1: μ 1 μ 2.

40 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Rendimentos (%) de uma reação química em função do catalisador utilizado. Catalisador A Catalisador B

41 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Diagrama de pontos dos resultados do experimento:

42 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Estatística do teste: s a 2 = s s 2 2 Onde: s 1 2 : variância da amostra 1; s 2 2 : variância da amostra 2; s a 2 : variância agregada das duas amostras. 2

43 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Estatística do teste: t = x 1 x 2 n 2 s a 2 Onde: x 1 : média da amostra 1; x 2 : média da amostra 2; n : tamanho da amostra em cada grupo.

44 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Usa-se para o cálculo a distribuição t de Student com graus de liberdade (supondo populações com distribuição normal). Continuação(ex. 9.3): Amostra 1: n = 10; x 1 = 49,9; e s 2 1 = 35,656; Amostra 2: n = 10; x 2 = 44,7; e s 2 2 = 42,233; Variância Agregada: s a 2 = 35,656+42,233 2 t = 49,9 44,7 = 38,945; ,94 = 1,86

45 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES Graus de Liberdade: gl = 2n 2 = = 18; Abordagem do valor p:

46 TESTE T PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES O valor de t obtido pelo cálculo aponta para uma região entre 0,025 e 0,05, mas como o teste é bilateral, a área deve ser dobrada para se obter o valor correto: Portanto, 0,05 < p < 0,1, aceitamos H0 ao nível de significância de 5%, afirmando que os dados não comprovam uma diferença entre os dois catalisadores.

47 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS AMOSTRAS INDEPENDENTES: A análise estatística para a comparação de g grupos independentes é feita geralmente por análise de variância ANOVA, acompanhada por um teste F, que supõe: as observações devem ser independentes; as variâncias populacionais devem ser iguais nos g grupos; a distribuição das observações em cada grupo deve ser normal.

48 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS Ex. 9.4(Barbetta, pg. 252) Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre duas máquinas. Experimento (projeto completamente aleatorizado com um fator): 8 replicações com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais fatores controláveis.

49 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS Ex. 9.4; Projeto do experimento: Seqüência número Uso da dos testes do ensaio rede 1 16 C C C3 4 6 C C3

50 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS Ex. 9.4; Perguntas a serem respondidas pela análise estatística: Existe diferença real (significativa) entre os 3 tipos de rede? Qual é a estimativa do tempo de resposta para cada tipo de rede?

51 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS Ex. 9.4; Hipóteses para o problema: H0: os tempos esperados de transmissão são iguais para os três tipos de rede; H1: os tempos esperados de transmissão não são todos iguais (dependem do tipo de rede);

52 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS Dados do experimento: Replicação Tipo de Rede C1 C2 C3 1 7,2 7,8 6,3 2 9,3 8, ,7 7,1 5,3 4 8,9 8,6 5,1 5 7,6 8,7 6,2 6 7,2 8,2 5,2 7 8,8 7,1 7, ,8 6,8 Soma 65,7 63,5 48,1 Média 8,21 7,94 6,01

53 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS MODELO ANOVA: g = 3 grupos; y ij = μ + τ i + e ij Tratameto (1) (2) (3) y 11 y 21 y 31 Onde: y ij : observação; μ : média global; τ i : efeito do tratamento i; e ij : erro aleatório; y 12 y 22 y 32 y 1n y 2n y 3n Média Global Média y 1. y 2. y 3. y.. μ i = μ + τ i = média do fator i.

54 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS HIPÓTESES: H0: τ 1 = τ 2 = = τ g = 0 ou μ 1 = μ 2 = = μ g ; H1: τ i 0 ou μ i μ j As observações: Sob H1: Sob H0: y ij = μ + τ i + e ij y ij = μ + μ ij

55 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS HIPÓTESES E MODELO SUBJACENTE: H0: τ 1 = τ 2 = = τ g = 0 y ij = μ + τ i + e ij y ij = μ + μ ij

56 COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS TRATAMENTOS HIPÓTESES E MODELO SUBJACENTE: Sob H1: τ i 0 para algum i: y ij = μ + τ i + e ij

57 Análise de variância (ANOVA), com um fator

58 Análise de variância (ANOVA), com um fator Soma de quadrados totais: g SQ Tot = (y ij y.. ) ² n i=1 j=i Onde: g : grupos; n : repetições; Graus de Liberdade: Onde: N : tratamentos; gl = N 1 N = n g

59 Análise de variância (ANOVA), com um fator Soma de Quadrados do Tratamento: SQ Trat = g i=1 n j=1 Onde: g : grupos; n : repetições Graus de Liberdade: y i. y.. 2 = n gl = g 1 g i=1 ( y i. y.. )²

60 Análise de variância (ANOVA), com um fator Soma de quadrados do erro: SQ Erro = g i=1 n j=1 Onde: g : grupos; n : repetições; Graus de liberdade: gl = N g Onde: N : tratamentos; (y ij y i. )²

61 Análise de variância (ANOVA), com um fator Fonte de Variação Entre Tratamentos SQ Trat = Soma de Quadrados gl Quadrados Médios g yi. 2 i=1 2 n y.. N g 1 QM Trat = SQ Trat gl Trat Dentro Trat. (Erro) SQ Erro = SQ Tot SQ Trat N g QMErro = SQ Erro gl Erro Razão f f = QM Trat QM Erro Total SQ Tot = g i=1 n j=i y ij 2 y.. 2 N N 1

62 TESTE F Se H0: τ 1 = τ 2 = = τ g = 0 for verdadeira e considerando as suposições anteriormente enunciadas, a estatística f tem distribuição F com (g - 1) graus de liberdade no numerador e (N - g) graus de liberdade no denominador. f

63 TESTE F Após calculada a estatística f, usa-se a tabela de distribuição F de Snedecor, para encontrar (), com graus de liberdade no numerador, e graus de liberdade no denominador. A regra de decisão é dada por: Se f < f c, então aceita H0; Se f f c, então rejeita H0;

64 Continuação Ex. 9.4 Soma global: y.. = 177,3; g n SQ: y 2 ij = 7, ,3 2 + = 1344,25 i=1 j=1 SQ Trat = 67, ,5 2 + (48,1)² 8 177, = 22,99 SQ Tot = 1344,25 177, = 34,45 SQ Erro = 34,45 22,99 = 11,46

65 Continuação Ex. 9.4 Fonte de Variação SQ gl QM f Entre Trat. 22, ,50 21,07 Dentro Trat. (Erro) 11, ,55 Total 34,45 23

66 REGRA DE DECISÃO ABORDAGEM DO VALOR P Como regra de decisão, usa-se α=nível de significância, usualmente 0,05(5%), que é probabilidade tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira; Rejeita H0 (Provase estatisticamente H1) Aceita H0 (Dados não mostram evidências para aceitar H1)

67 ANÁLISE DOS RESÍDUOS Avaliação das suposições da ANOVA através de gráficos dos resíduos:

68 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS Intervalo de confiança para o valor esperado da resposta sob o i-ésimo tratamento (nível de conf. γ): IC μ i, γ = y i. ± t γ QM Erro n Onde: t γ : valor encontrado na tabela t; γ : nível de confiança;

69 ESTIMAÇÃO DAS MÉDIAS Ex. 9.4: Usando nível de confiança de 95% e gl = N g = 24 3 = 21, temos t 95% = 2,08, então, para a rede C1 temos: IC μ i, 95% = 8,21 ± 2,08 0,55 8 = 8,21 ± 0,55

70 ANOVA COM UM FATOR No caso em que as amostras não possuem distribuição normal, ou que tenham um nível de mensuração qualitativo, usa-se o teste Kruskal- Wallis.

71 TESTE F PARA AMOSTRAS EM BLOCOS Notação para os dados:

72 TESTE F PARA AMOSTRAS EM BLOCOS Modelo para os dados: Y ij = μ + τ i + β j + ε ij Onde: μ : é a média global da resposta; τ i : é o efeito do i-ésimo tratamento; β j : é o efeito do j-ésimo bloco; ε ij : é o efeito aleatório (i = 1, 2,, n; j = 1, 2,, h).

73 TESTE F PARA AMOSTRA EM BLOCOS QUADRO ANOVA Fonte de Variação Soma de Quadrados gl Quadrados Médios Razão f Entre Trat. SQ Trat = Entre Blocos SQ Bloco = g yi. 2 i=1 2 h y.. N h y.j 2 j=1 2 g y.. N g 1 h 1 Erro SQ E = SQ Tot SQ Trat SQ B (g 1)(h 1) Total SQ Tot = g i=1 n j=i y ij 2 y.. 2 N N 1 QM Trat = SQ Trat gl Trat QM B = SQ B gl B QM Trat = SQ E gl E f = QM Trat QM E

74 Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256) Seja o problema de comparar 3 algoritmos de busca em um banco dedados. Realiza-se um experimento com 6 buscas experimentais, sendo que em cada uma é sorteado um número aleatório que indica o registro do banco de dados a ser localizado. Em cada um dos 6 processos de busca, são usados separadamente os três algoritmos em estudo, mas sob as mesmas condições, em termos dos fatores controláveis. São anotados os tempos de resposta ao usuário. Hipóteses: H0: em média, os três algoritmos são igualmente rápidos; H1: em média, os três algoritmos não são igualmente rápidos;

75 Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256) Dados do exercício: Ensaio (Bloco) Algoritmos de Busca A1 A2 A3 1 8,3 8,1 9,2 2 9,3 8,9 9,8 3 9,1 9,3 9,9 4 9,9 9,6 10,3 5 8,2 8,1 8,9 6 10,9 11,2 13,1 Soma 55,8 55,2 61,2 Média 9,3 9,2 10,2

76 Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256) Soma de Quadrados SQ Trat = 55, ,2 2 + (61,2)² 6 172, = 3,64 SQ B = 5007, , = 21,95 SQ Tot = 8, , , , = 26,86 SQ Erro = 26,86 21,95 3,64 = 1,27

77 Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256) Tabela ANOVA: Fonte de Variação SQ gl QM Entre Trat. 3,64 2 1,82 14,29 Entre Blocos 21,95 5 4,39 Erro 1, ,13 Total 26,86 17 Adotando α = 0,05, com gl = 2 no numerador e gl = 10 no denominador, temos o valor crítico f c = 4,10. O que podemos concluir?

78 Ex. 9.5(Barbetta, pg. 256) Como o valor calculado é superior ao valor crítico, então o teste rejeita H0, provando estatisticamente que há diferença entre os três algoritmos de busca em termos do tempo médio de resposta.

79 ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS Nos estudos experimentais, em geral procuramos avaliar ou testar o efeito de mais de um fator sobre uma resposta de interesse, por exemplo: O engenheiro civil quer conhecer o quanto o tempo de hidratação, a dosagem de cimento e o uso de aditivos interferem na resistência a compressão de um concreto; Um projeto é dito fatorial quando cada nível de um fator é testado com todos os níveis dos outros fatores, sem restrições.

80 ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS As observações podem ser descritas pelo seguinte modelo: Y ijk = μ + τ i + β j + (τβ) ij + ε ijk Onde: μ : é a média global da resposta; τ i : é o efeito do i-ésimo nível do fator A; β j : é o efeito do j-ésimo nível do fator B; (τβ) ij : é o efeito da interação entre τ i e β j ; ε ijk : é o efeito aleatório ou erro experimental.

81 ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS Notação para os dados:

82 ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS SOMAS DE QUADRADOS Somas das observações em cada célula: y ij. = n k=1 y ijk Soma de quadrados entre as células: SQ Subtot = g i=1 h j=1 2 yij. 2 n y N

83 Fonte de Variação ANOVA EM PROJETOS FATORIAIS Soma de Quadrados gl Quadrados Médios Razão f Fator A Fator B Interação A*B SQ A = SQ B = g yi. 2 i=1 h j=1 2 hn y N 2 y.j. 2 gn y N g 1 h 1 SQ AB = g 1 = SQ Subtot SQ A SQ B (h 1) QM A = SQ A gl A f = QM A QM Erro QM B = SQ B gl B f = QM B QM Erro QM AB = SQ AB gl AB f = QM AB QM Erro Erro SQ Erro = SQ Tot SQ Subtot hg(n 1) QM Erro = Total SQ Tot = g h n i=1 j=1 k=1 y 2 ijk y 2 N N 1 = SQ Erro gl Erro

84 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) Considere o problema de comparar 3 topologias de rede de computadores (C1, C2 e C3) e 2 protocolos (L1 e L2), em termos do tempo de resposta ao usuário. Realizouse um experimento com 4 replicações em cada combinação de topologia e protocolo. Deseja-se verificar se há diferenças entre as topologias, entre os protocolos e eventual interação entre topologia e protocolo. Então, quer-se testar as seguintes hipóteses nulas: H 0 (A) :os tempos esperados de resposta são iguais para as três topologias; H 0 (B) : os tempos esperados de resposta são iguais para os dois protocolos; H 0 (AB) : a mudança de protocolo não altera as diferenças médias do tempo de resposta nas três topologias (ausência de interação).

85 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) Dados do experimento: Protocolo Topologia Soma Média C1 C2 C3 L1 6,2 5,9 5,9 y.1. = 82,8 7,45 7,6 8,4 6,2 7,2 7,1 5,2 8,8 7,1 7,2 L2 9,0 7,1 6,2 y.2. = 95,9 7,99 8,9 8,6 6,1 9,4 9,1 8,9 8,0 7,8 6,8 Soma y 1.. = 65,1 y 2.. = 61,1 Y 3.. = 52,5 y... = 178,7 7,45 Média 8,1375 7,6375 5,5625

86 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) SQ Subtot = 5393, ,69 24 = 17,77 SQ Tot = 1365, ,69 24 = 34,92 SQ A = 10727, ,69 24 = 10,36 SQ B = 16052, ,69 24 = 7,15

87 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) ANOVA: Fonte de Variação SQ gl QM f f c Topologia 10,36 2 5,18 5,44 3,55 Protocolo 7,15 1 7,15 7,51 4,41 Interação 0,26 2 0,13 0,14 3,55 Erro 17, ,95 Total 34,92 23

88 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) Conclui-se assim que tanto as diferentes topologias C1, C2 e C3, (f = 5,44 > f c = 3,55), quanto os diferentes protocolos utilizados L1 e L2, (f

89 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) Análise dos resíduos e do perfil das médias para comprovar as suposições de normalidade e variância constante dos dados. As médias são determinadas pela equação: n y ij. = 1 n k=1 y ijk Os resíduos são a diferença entre os valores observados e a média dos subgrupos: e ijk = y ijk y ij.

90 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) (a) Perfil das médias (b) Análise dos Resíduos

91 EXEMPLO 9.6( Barbetta, pg. 260) Observando o perfil das médias podemos observar diferenças entre os níveis dos dois fatores e a ausência de interação. Observando o perfil dos resíduos, observamos que os resíduos se encontram distribuídos de forma aleatória em torno da linha horizontal, associada ao resíduo nulo, isso sugere também que as suposições de normalidade e variância constantes são atendidas, validando os resultados da ANOVA.

92 REFERÊNCIAS BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo. M.; BORNIA, Antonio C. Estatística para cursos de engenharia e informática. 3 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2010.