Universidade Federal do Pará Instituto de Ciências Exatas e Naturais Faculdade de Estatística Bacharelado em Estatística

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1 Universidade Federal do Pará Instituto de Ciências Exatas e Naturais Faculdade de Estatística Bacharelado em Estatística Disciplina: Estatística Aplicada Professores: Héliton Tavares e Regina Tavares Aluna: Débora Fernanda Castro Vianna Oliveira Matrícula: Belém, 08 de Outubro de 014

2 INTRODUÇÃO As primeiras técnicas de inferência sobre testes de hipótese faziam diversas suposições sobre a natureza da população da qual se extraíam os dados, como por exemplo: distribuição normal, sendo assim os valores relacionados com a população são denominados parâmetros, portanto estas técnicas estatísticas foram denominadas paramétricas. Entretanto, em diversas análises as suposições da população em estudo não se verificam ou são atendidas parcialmente, contudo foram desenvolvidas algumas técnicas, as quais são rigorosas na especificação de condições sobre os parâmetros da população da qual a amostra foi obtida, sendo estas técnicas chamadas de não paramétricas. A Estatística Não-Paramétrica pode ser definida como uma coleção de métodos estatísticos, aplicada a conjuntos de dados onde às suposições distribucionais necessárias para aplicação de uma técnica clássica (Intervalo de Confiança, Teste de Hipótese) não são satisfatoriamente atendidas. Vantagens: Não exigem a normalidade dos dados. Em geral, as probabilidades das afirmativas obtidas na maioria dos testes não-paramétricos, são exatas, salvo quando se usam aproximações para grandes amostras. Independem da forma da população da qual a amostra foi obtida. São, em geral, de mais fácil aplicação e exigem, quase sempre, menor volume de cálculos. Alguns testes não-paramétricos permitem trabalhar com dados de diferentes populações, o que não é possível com os paramétricos. São úteis no caso de variáveis ordinais, em que é difícil estabelecer uma escala de valores quantitativos para os dados, sendo possível apenas dizer que um dado tem mais ou menos da característica que está sendo analisada, sem poder precisar ou quantificar as diferenças. São mais eficientes do que os testes paramétricos, quando os dados da população não têm distribuição normal. Quando a população é normalmente distribuída, sua eficiência, em alguns casos, é levemente inferior à dos concorrentes.

3 Desvantagens: Em muitos casos ocorre um desperdício de informações, ao desconsiderar, por exemplo, a magnitude dos dados, transformando-os em sinais ou ordem. Para se obter a mesma eficiência com um teste não-paramétrico quando as suposições do modelo estatístico paramétrico são satisfeitas é necessária uma amostra maior. Sua aplicação está restrita a modelos simples, pois a estatística nãoparamétrica não permite testar interações, exceto a aditividade em casos especiais. TIPOS DE TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS Os testes não-paramétricos podem ser divididos em testes para: Uma amostra Duas amostras relacionadas Duas amostras independentes K amostras relacionadas K amostras independentes O CASO DE UMA AMOSTRA Teste de Qui-Quadrado de Aderência Utilizado quando os dados se enquadram em diversas categorias, o teste quiquadrado de aderência poderá ser utilizado. Tem como objetivo estabelecer o grau de correspondência entre as observações observadas e as esperadas em cada categoria. Se existe uma diferença significante entre um número observado de objetos ocorrendo em cada categoria e um número esperado. As hipóteses a serem testadas são: H 0 : As frequências observadas seja igual a frequência esperada. H 1 : As frequências observadas não seja igual a frequência esperada. A estatística teste: ( O i Ei E ) i onde, O i é o número de casos observados na i-ésima categoria E i é o número de casos esperados na i-ésima categoria quando H 0 é verdadeira k é o número de categorias

4 CASO ESPECIAL O teste qui-quadrado de aderência com uma amostra não deve ser usado se mais de 0% das frequências esperadas são menores que 5 ou se qualquer frequência for menor que 1. Pois a distribuição χ é assintoticamente qui-quadrado se as frequências amostrais forem. Teste de Kolmogorov-Smirnov Faz-se necessário conhecer a média e o desvio padrão da população em que se esta trabalhando. Especificar a distribuição de frequência acumulada que ocorreria dada a distribuição teórica e compará-la com a distribuição de frequência acumulada observada. As hipóteses a serem testadas são: H 0 : As frequências observadas não diferem da distribuição esperada, com base nos dados da população. H 1 : As frequências observadas diferem da distribuição esperada, com base nos dados da população. O CASO DE DUAS AMOSTRA RELACIONADAS Teste de Wilcoxon Equivale ao teste paramétrico t de student para amostras pareadas. Compara dados pareados de uma amostra obtidos em ocasiões distintas: antes e depois. As hipóteses a serem testadas são: H 0 : Não há diferença no tratamento em estudo entre antes e depois de uma certa modificação. H 1 : Há diferença no tratamento em estudo entre antes e depois de uma certa modificação. Exemplo: Pretende-se comparar um método de estimação do volume de árvores baseado no diâmetro basal com outro método baseado no dap. Para tal, os volumes (m 3 ) de madeira dos mesmas 15 pinheiros foram estimados pelos dois métodos: No quadro a seguir é apresentado o cálculo do teste:

5 A fim de calcular a estatística de teste para proceder à decisão do teste, temos em primeiro lugar de fazer a aproximação à função de distribuição normal. Os parâmetros desta aproximação são: Media Variância Estatística de teste Para um nível de significância α = 5%, e tratando-se de um teste bilateral, pode-se conclui que não há evidência estatística para rejeitar a hipótese nula. A partir da estatística Z = , também se pode calcular a probabilidade limite: p value = 0.93, sendo a decisão a mesma que anteriormente.

6 Teste de Sinais Neste teste trabalha-se com os sinais ( + ) e ( - ). Os pares com resultados iguais são eliminados. Define a diferença dos escores antes e depois do procedimento investigatório. As hipóteses a serem testadas são: H 0 : Não há diferença no tratamento em estudo entre antes e depois de uma certa modificação. H 1 : Há diferença no tratamento em estudo entre antes e depois de uma certa modificação. O CASO DE DUAS AMOSTRA INDEPENDENTES Teste Exato de Fisher O Teste exato do Fisher tem este nome em homenagem ao seu inventor, Ronald. A. Fisher, e é usado quando se tem uma amostra pequena em geral. O seu objetivo é calcular a probabilidade de associação das características que estão em análise, ou seja, a probabilidade de tais características serem independentes. É um teste bastante útil para analisar dados nominais ou ordinais e é adequado quando os escores das duas amostras aleatórias independentes se enquadram em uma de duas classes mutuamente exclusivos. O teste é feito quando se organiza os escores numa tabela de contingência x. A B C D A probabilidade de observar determinado conjunto de frequências em uma tabela X, considerando os totais marginais fixos, é dada pela distribuição hipergeométrica: p A C B D A B ( A B)!( C D)!( A C)!( B D)! n n! A! B! C! D! A B Porém, este teste é recomendado apenas quando se tem amostras pequenas. Caso contrário, o aconselhável é usar o teste de Qui-quadrado. De modo geral, o recomendável é usar este teste quando o número de amostras for menor que 0, ou que se o tamanho amostral estiver no intervalo de 0 a 40, a menor freqüência esperada for 5. As hipóteses a serem testadas são:

7 H 0 : não há evidências suficientes de diferença entre os dois tratamentos H 1 : Há evidências suficientes de diferença entre os dois tratamentos. Exemplo: Para avaliar a eficácia e segurança de duas drogas, foram estudadas 19 pacientes, sendo 10 pacientes tratados com a droga A e 9 pacientes com a droga B. Dos pacientes avaliadao, a cura completa ocorreu em 10 pacientes que tomaram a droga A e em 7 pacientes que tomaram a droga B. Os outros pacientes tiveram efeitos adversos. Pelos dados apresentados, pode-se observar que existe duas populações 1) Pacientes tratados com a Droga A ) Pacientes tratados com a Droga B E também duas categorias 1) Pacientes curados ) Pacientes com efeitos adversos A Tabela de contigência pode ser montada da seguinte maneira: Droga A Droga B Cura 10 7 Efeitos Adversos 0 Assim, a probabilidade é dada por p 17!! 10!9! 19! 10!7!0!! 0,105 ou seja, não há evidências suficiente de diferença entre os dois tratamentos tanto em termos de cura como na ocorrência de efeitos diversos. Teste Qui-Quadrado Utiliza-se este teste quando os dados se apresentam sob forma de frequências em categorias discretas e o teste exato de Fisher não possa ser aplicado. Pode usado para testar independência ou homogeneidade. Ou seja, pode-se aplicar o teste determinar a significância de diferenças entre dois grupos independentes e consequentemente, com respeito a frequências relativas com que os componentes do grupo se enquadram nas diversas categorias. Ou para verificar se diferentes populações têm as mesmas características (são homogêneas). Essa dependência entre as duas variáveis significa apenas que as duas variáveis estão relacionadas, não especifica o tipo de relação. para

8 Tanto para testar homogeneidade quanto independência, a hipótese nula pode ser testada mediante a estatística r i1 k onde O ij é o número de casos observados na linha i da coluna j, e E ij, o número de j1 casos esperados, sob H 0, na linha i da coluna j. O ij E Os valores de obtidos pela fórmula acima, tem distribuição aproximadamente qui-quadrado com gl = (r - 1)(k - 1), onde r é o número de linhas e k é o número de colunas. Para obter a freqüência esperada E ij em cada célula, multiplicam-se os totais marginais comuns a uma determinada célula e divide-se produto por n (total de observações). O Teste da Mediana O teste da mediana verifica a probabilidade de grupos independentes serem provenientes de populações com a mesma mediana. O teste da mediana é particularmente útil quando existem dados censurados (alguns dados ficam além dos limites estabelecidos para coleta) ou valores aberrantes. Para esse teste, a variável em análise também deve ser medida em escala ordinal ou numérica. E ij ij Procedimento: a) Formular as hipóteses: a hipótese em teste é a de que os grupos provêm de populações com a mesma mediana. b) Juntar os grupos em comparação em um só conjunto. Calcular a mediana de todos os dados. c) Contar, em cada grupo, o número de dados que estão acima e o número de dados que estão abaixo da mediana geral. Arranjar as contagens em uma tabela x ; Obs.: Se ocorrer o caso em que algumas observações coincidam com a mediana deve-se dicotomizar os dados segundo as observações que excedam a mediana e as que não a excedam, sendo incluídos na segunda categoria as observações que coincidem com a mediana. Teste U de Mann-Whitney É usado para testar se duas amostras independentes foram retiradas de populações com médias iguais. Esse teste é, portanto, uma alternativa para o teste t

9 para amostras independentes quando a amostra for pequena e/ou as pressuposições, exigidas pelo teste t, estiverem seriamente comprometidas. A única exigência do teste de Mann-Whitney é a de que as observações sejam medidas em escala ordinal ou numérica. Dependendo da quantidade amostral, pode-se calcular este teste de maneiras diversas. Para pequenas amostras: a) Determinar os valores de n 1 e n. Em que n 1 é o número de casos no grupo menor e n é o número de casos no grupo maior. b) Dispor em conjunto os escores dos dois grupos, ordenando-os em ordem crescente, identificando a qual grupo pertence o escore. c) Determinar a estatística U do seguinte modo: observar a identificação das observações ordenadas conjuntamente e contar, para cada um dos grupos, o número de escores do grupo contrário que precedem cada observação desse grupo. Somar esses valores. A estatística U será a menor soma. d) A distribuição amostral de U, sob H 0, é conhecida e pode-se então determinar-se a probabilidade associada à ocorrência, sob H 0, de qualquer valor de U tão extremo quanto o valor observado. Quando nem n 1 e nem n são superiores a 8, pode-se utilizar a tabela J (Siegel, pg ) para determinar a probabilidade exata associada à ocorrência, sob H 0, de qualquer U tão extremo quanto o valor observado. Para grandes amostras: a) Determinar os valores de n 1 e n. Em que n 1 é o número de casos no grupo menor e n é o número de casos no grupo maior. b) Dispor em conjunto os escores dos dois grupos, atribuindo o posto 1 ao menor escore. Os postos variarão de 1 a N onde N = n 1 + n. Às observações empatadas atribuir a média dos postos correspondentes. Calcular R 1 = soma dos postos do grupo 1; c) Calcular a estatística de Mann-Whitney (U): n1 n1 1 U n1. n R1, onde R 1 é a soma dos postos do menor grupo.

10 d) Obter a média e o desvio padrão dos postos para então obter o valor de z calculado. n 1 n R R n 1 n n1 n 1 Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras 1 U - z R Quando utilizado, comprova se elas foram extraídas da mesma população (ou de populações com a mesma distribuição). Tal como o teste de para uma amostra, o teste utiliza aqui as distribuições acumuladas. O teste de uma amostra se refere a concordância entre a distribuição de um conjunto de valores amostrais e determinada distribuição teórica. O teste de duas amostras visa a concordância entre dois conjuntos de valores amostrais. Para aplicar o teste de Kolmogorov-Smirnov de duas amostras, constrói-se a distribuição das freqüências acumuladas relativas de cada uma das amostras, utilizando os mesmos intervalos (amplitude de classes) para cada uma delas. Em cada intervalo subtraí-se uma função da outra. O teste utiliza como estatística a maior destas diferenças. Sejam Sn 1 (x) = função acumulada observada para a primeira amostra, isto é, Sn 1 (x) = k / n 1, onde k = número de escores não superiores a x. Seja Sn (x) = função acumulada observada da segunda amostra, isto é, Sn (x) = k / n. O teste K-S toma a maior destas diferenças em módulo que é denominada de desvio máximo e é anotada por D. Assim: D = max[sn 1 (x) - Sn (x)] para uma prova bilateral e D = max Sn 1 (x) - Sn (x) para uma prova unilateral. A distribuição amostral de D, sob H 0, para uma prova bilateral é conhecida e se encontra tabelada. O CASO DE K AMOSTRAS RELACIONADAS Quando se deseja comparar três ou mais amostras ou condições em um experimento, faz-se necessário utilizar testes estatísticos que verifique a diferença global entre as k amostras. A técnica paramétrica para comprovar se várias amostras provém de amostras idênticas é a análise de variância, porém esta precisa de muitas suposições. Caso o pesquisador considera essas suposições irreais para os seus dados ou deseja evitar as suposições a fim de tornar suas conclusões mais gerais, poderá fazer uso de um dos testes a seguir. Teste Q de Cochran O teste Q de Cochran tem como objetivo comprovar se três ou mais conjuntos correspondentes de frequências ou proporções diferem entre si significativamente. Este R

11 teste é indicado quando a mensuração dos dados é feita em escala nominal ou dicotomizada. As hipóteses a serem testadas são: H 0 : As amostras são provenientes da mesma população ou os tratamentos são iguais em termos de eficiência. H 1 : As amostras não são provenientes da mesma população ou há diferença em termos de eficiência. A estatística para o teste é Q k( k 1) k k i1 k J 1 L i ( G k J i1 G ) L i onde k é o número de tratamento, G J o total da coluna para o J-ésimo tratamento, N é o número de blocos, L i o total da linha para o i-ésimo tratamento. Q tem distribuição aproximadamente qui-quadrado com k - 1 graus de liberdade. Teste Friedman Quando os dados de k amostras dependentes se apresentam pelo menos em escala ordinal, a prova de Friedman é útil para comprovar a hipótese de nulidade, e que as k amostras tenham sido extraídas da mesma população. Assim como o teste de Cochran, é uma saída da análise de variância, quando este apresenta as suas presssuposições comprometidas. Neste teste, o número de casos é o mesmo em cada amostra. Estuda-se o mesmo grupo de indivíduos sob cada uma das k condições. As hipóteses a serem testadas são: H 0 : As amostras são provenientes da mesma população ou os tratamentos são iguais em termos de eficiência. H 1 : As amostras não são provenientes da mesma população ou há diferença em termos de eficiência. Procedimento: a) Formular as hipóteses: a hipótese em teste é a de que os grupos tem a mesma distribuição b) Atribuir um posto a cada lado, trabalhando por linha c) Calcular o somatório dos postos de cada grupo d) Calcular a estatística de teste, que tem distribuição aproximadamente quiquadrado com k-1 graus de liberdades

12 r 1 Nk( k 1) k i1 ( R ) i 3N( k 1) onde N é o número de linhas, k o número de colunas e R é o valor dos postos na coluna i. e) Compara o valor crítico calculado com o valor crítico tabelas com k 1 graus de liberdade. O CASO DE K AMOSTRAS INDEPENDENTES O teste Qui-Quadrado O teste de qui-quadrado para k amostras independentes, é uma extensão direta do mesmo teste para duas amostras independentes. Em geral, o teste é o mesmo, tanto para duas, como para k amostras independentes. Sua estatística teste também é a mesma, e há dois tipos de teste, para testar a homogeneidade e a independência. r i1 k onde O ij é o número de casos observados na linha i da coluna j, e E ij, o número de j1 casos esperados, sob H 0, na linha i da coluna j. O teste da Mediana O ij E Assim como o teste qui-quadrado para k amostras é uma extensão do mesmo de duas amostras, o teste da mediana para k amostras independentes, também é uma extensão do mesmo teste de duas amostras independentes. Ele tem como objetivo verificar a probabilidade de grupos independentes proverem de populações com a mesma mediana. O seu procedimento para a realização do teste também é o mesmo. a) Formular as hipóteses: a hipótese em teste é a de que os grupos provêm de populações com a mesma mediana. b) Juntar os k grupos em comparação em um só conjunto. Calcular a mediana de todos os dados. c) Contar, em cada grupo, o número de dados que estão acima e o número de dados que estão abaixo da mediana geral. Arranjar as contagens em uma tabela x k. d) Aplicar o teste de qui-quadrado para esta hipótese. O teste de Kruskal-Wallis Este teste nada mais é que uma extensão do teste de Mann-Whitney, e é útil para decidir se k amostras independentes provém de populações com médias iguais. Porém, este teste só é recomendável ser utilizado quando o tamanho da amostra for pequeno E ij ij

13 e/ou as pressuposições necessárias para se fazer a análise de variância estiverem comprometidas. Assim como o teste de Mann-Whitney, o teste de Kruskal-Wallis condiciona que a variável em análise seja medida em escala normal ou numérica. O procedimento para a realização do teste é: a) Dispor em ordem crescente, as observações de todos os k grupos, atribuindo postos de 1 a n. Caso haja empates, atribuir o posto médio. b) Determinar o valor da soma dos postos para cada um dos k grupos: R i, i=1,,..., k. c) Calcular a estatística teste: 1 H N( N 1) k i1 R i n j 3( N 1) sendo k o número de amostras, n j o número de elementos na amostra j, R j a soma dos postos na amostra j e N é o número total de elementos em todas as amostras combinadas. Pode-se mostrar que se as k amostras forem efetivamente retiradas de uma mesma população, isto é, se H 0 é verdadeira. Então H (estatística de Kruskal-Wallis) tem uma distribuição qui-quadrado com k -1 graus de liberdade, desde que os tamanhos das k amostras não sejam muito pequenos. Porém, alguns pressupostos são necessários para a execução deste teste, como por exemplo, a exigência de variância iguais, ou seja, caso as diferentes amostras tiverem variâncias muito diferentes, não se deve utilizar o teste de Kruskal-Wallis, e se o número de empates for grande, será preciso aplicar uma correção na estatística. Computacionalmente, os pacotes estatísticos já fazem essa correção automaticamente. Esta correção é feita ao dividir H por 3 ( t t) 1 3 N N onde t é o número de empates para cada um dos escores que empataram. REFERÊNCIAS [1] NOETHER, G. E., Introdução à Estatística Uma Abordagem Não-Paramétrica..ed., Rio de Janeiro: Guanabara Dois, [] SIEGEL, S.; JR. CASTELLAN, N. J. Estatística Não-Paramétrica para Ciência do Comportamento..ed., Porto Alegre: Artmed, 006.

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