Lucas Santana da Cunha de outubro de 2018 Londrina

Transcrição

1 e Lucas Santana da Cunha de outubro de 2018 Londrina 1 / 31

2 Obtenção de uma amostra Há basicamente duas formas de se obter dados para uma pesquisa cientifica: Estudos observacionais: os dados são obtidos à medida que se tornam disponíveis. Utiliza-se técnicas de amostragem ou não. Exemplo: censo demográfico, pesquisa eleitoral. Experimentos planejados: o pesquisador faz variações propositais nas variáveis controláveis de alguns sistemas ou processos. Exemplo: os índices de retorno no valor ĺıquido usando três tipos de alavancagem financeira. 2 / 31

3 Como técnica sistemática de pesquisa, a experimentação se difundiu no século XX, quando foi formalizada através da estatística, por Fisher em O objetivo da experimentação é o estudo dos experimentos, isto é, seu planejamento, execução, análise dos dados obtidos e interpretação dos resultados. 3 / 31

4 A metodologia de análise estatística a ser utilizada no estudo depende da maneira como os dados foram obtidos; Assim, o planejamento e a análise estatística de experimentos estão extremamente associados. 4 / 31

5 Experimento ou ensaio É um trabalho previamente planejado para estudar os efeitos dos tratamentos que se quer comparar. 5 / 31

6 Experimento ou ensaio É um trabalho previamente planejado para estudar os efeitos dos tratamentos que se quer comparar. Fator (tratamento) É o método, elemento ou material cujo efeito se deseja medir ou comparar em um experimento. : Marcas de carros, alavancagem financeira, tipos de gasolina, etc. 5 / 31

7 Variável resposta É a variável mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos. : Altura, peso, diâmetro, km/l, valor em reais, etc. 6 / 31

8 Variável resposta É a variável mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos. : Altura, peso, diâmetro, km/l, valor em reais, etc. Unidade experimental ou parcela É a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados que deverão refletir seu efeito. : um carro, uma pessoa, uma empresa, dois carros, um lote de peças. 6 / 31

9 Delineamento experimental É o plano utilizado na experimentação e implica na forma como os tratamentos serão designados às unidades experimentais. : Delineamento inteiramente casualizado (1 fator), blocos casualizados (2 fatores), quadrado latino, etc. 7 / 31

10 Delineamento experimental É o plano utilizado na experimentação e implica na forma como os tratamentos serão designados às unidades experimentais. : Delineamento inteiramente casualizado (1 fator), blocos casualizados (2 fatores), quadrado latino, etc. Erro experimental É o efeito de fatores que atuam de forma aleatória e que não são passíveis de controle pelo experimentador. 7 / 31

11 Para realizar experimentos são necessários alguns princípios básicos para que as conclusões que venham ser obtidas se tornem válidas. Estes princípios são: Repetição; Casualização; Controle local. 8 / 31

12 Repetição As unidades experimentais do mesmo grupo recebem, em estatística, o nome de repetições e sua finalidade é obter uma estimativa do erro experimental; 9 / 31

13 Casualização Consiste em se aplicar os tratamentos às parcelas, através do sorteio. Tem por finalidade propiciar a todos os tratamentos a mesma probabilidade de serem designados a qualquer das unidades experimentais; 10 / 31

14 Controle Local É uma técnica usada para melhorar a precisão do experimento, cuja finalidade é dividir um ambiente heterogêneo em sub-ambientes homogêneos e tornar o delineamento experimental mais eficiente, pela redução do erro experimental. 11 / 31

15 Inteiramente ao Acaso: um fator É o mais simples dos experimentos e deve ser implantado em uma área experimental totalmente homogênea. Leva em conta apenas o princípio da repetição e da casualização. 12 / 31

16 Blocos casualizados: dois fatores Quando a área experimental é heterogênea, será necessário subdividir esta área em partes homogêneas pelo princípio do controle local. Ex: Diferentes materiais, indivíduos, dias, etc. Na sua forma mais simples, todos os blocos recebe todos os tratamentos, constituindo o bloco completo. Quando não for possível colocar todos os tratamentos num mesmo bloco, podemos caracterizar os blocos incompletos. 13 / 31

17 1 Os tratamentos que serão comparados; 14 / 31

18 1 Os tratamentos que serão comparados; 2 Área e unidade experimental; 14 / 31

19 1 Os tratamentos que serão comparados; 2 Área e unidade experimental; 3 O número de repetições; 14 / 31

20 1 Os tratamentos que serão comparados; 2 Área e unidade experimental; 3 O número de repetições; 4 A variável em análise; 14 / 31

21 1 Os tratamentos que serão comparados; 2 Área e unidade experimental; 3 O número de repetições; 4 A variável em análise; 5 O delineamento experimental; 14 / 31

22 Exemplo Considere um experimento cujo objetivo é comparar diferentes marcas de carros em relação ao consumo de combustível. 15 / 31

23 Uma das formas de planejar esse experimento seria: 1 Os tratamentos que serão comparados: quatro marcas de carros (A, B, C e D), sendo um total de 4 tratamentos. 16 / 31

24 Uma das formas de planejar esse experimento seria: 1 Os tratamentos que serão comparados: quatro marcas de carros (A, B, C e D), sendo um total de 4 tratamentos. 2 Área e unidade experimental: Em uma pista de testes. 16 / 31

25 Uma das formas de planejar esse experimento seria: 1 Os tratamentos que serão comparados: quatro marcas de carros (A, B, C e D), sendo um total de 4 tratamentos. 2 Área e unidade experimental: Em uma pista de testes. 3 O número de repetições: 6 carros de cada marca, ou seja, 6 repetições totalizando 24 carros no total. 16 / 31

26 Uma das formas de planejar esse experimento seria: 1 Os tratamentos que serão comparados: quatro marcas de carros (A, B, C e D), sendo um total de 4 tratamentos. 2 Área e unidade experimental: Em uma pista de testes. 3 O número de repetições: 6 carros de cada marca, ou seja, 6 repetições totalizando 24 carros no total. 4 A variável em análise: O consumo de combustível em km/l. 16 / 31

27 Uma das formas de planejar esse experimento seria: 1 Os tratamentos que serão comparados: quatro marcas de carros (A, B, C e D), sendo um total de 4 tratamentos. 2 Área e unidade experimental: Em uma pista de testes. 3 O número de repetições: 6 carros de cada marca, ou seja, 6 repetições totalizando 24 carros no total. 4 A variável em análise: O consumo de combustível em km/l. 5 O delineamento experimental: delineamento inteiramente ao acaso (mesma pista de testes para todos os carros). 16 / 31

28 Teste de hipóteses Estatística do teste A análise de variância, ANAVA, é uma técnica de análise estatística que permite decompor a variabilidade total, ou seja, a variação existente entre todas as observações, em partes atribuídas a causas conhecidas e independentes e a uma parte residual de origem desconhecida e de natureza aleatória (erro experimental ou resíduo). É o procedimento apropriado para para comparar três ou mais tratamentos. 17 / 31

29 Teste de hipóteses Estatística do teste No entanto, para que esta técnica seja empregada é necessário que sejam satisfeitas as seguintes pressuposições: 1 aditividade: os efeitos devem se somar (não há interação); 2 independência: As amostras são aleatórias e independentes; 3 normalidade: As populações têm distribuição normal; 4 homocedasticidade ou homogeneidade de variâncias: As variâncias populacionais são iguais, ou seja, possuem uma variância comum σ 2 ; 18 / 31

30 Teste de hipóteses Teste de hipóteses Estatística do teste As hipóteses nula e alternativa da análise a serem testadas na análise de variância, para a tratamentos (grupos) são: H 0 : as médias populacionais são iguais. µ i = µ, i = 1,, a H 1 : Pelo menos uma das médias é diferente das demais. µ i µ i, i i 19 / 31

31 Estatística F Teste de hipóteses Estatística do teste A estatística do teste é F = ŝ2 trat ŝ 2 res = QM trat QM res F (α;a 1,a(b 1)) tem uma distribuição F com a 1 e a(b 1) graus de liberdade. Se F c F tab então rejeita-se H 0 e conclui-se que pelo menos duas médias dos tratamentos diferem entre si; Se F c < F tab então não rejeita-se H 0 e conclui-se que as médias dos tratamentos são iguais. 20 / 31

32 Teste de hipóteses Estatística do teste Gráfico da distribuição F P(F) Região de rejeição de Ho no nível de 5% Região de rejeição de Ho no nível de 1% Região de aceitação Ftab(5%) Ftab(1%) F 21 / 31

33 Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses Uma análise de variância expressa uma medida da variação total num conjunto de dados como uma soma de termos, cada um dos quais é atribuído a uma fonte ou causa específica de variação. Quando há somente um fator além do acaso, nos referimos à análise como uma análise de variância de um critério. 22 / 31

34 Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses Tabulação dos dados Suponha que haja a tratamentos ou diferentes níveis de um único fator que se queira comparar. A resposta observada de cada dos a tratamentos é uma variável aleatória. Os dados seriam da forma: Tratamentos Observações Totais Médias 1 y 11 y 12 y 1b T 1 ȳ 1 2 y 21 y 22 y 2b T 2 ȳ a y a1 y a2 y ab T a ȳ a em que y ij representa a j-ésima observação do i-ésimo tratamento; T i = b y ij ȳ i = j=1 b j=1 y ij b e ȳ = a b i=1 j=1 y ij ab. 23 / 31

35 Modelo estatístico Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses O modelo estatístico para a é: y ij = µ + τ i + ɛ ij, { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b (1) em que, y ij é o valor observado para a variável resposta obtido para o i-ésimo tratamento em sua j-ésima repetição; µ é a média de todos os valores possíveis da variável resposta; τ i é o efeito do tratamento i no valor observado y ij ; ɛ ij é o erro experimental associado ao valor observado y ij ; 24 / 31

36 Hipóteses Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses Temos que o objetivo geral é verificar se existe diferença significativa entre pelo menos duas médias de tratamentos. As hipóteses testadas são: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a H 1 : µ i µ j (Pelo menos duas médias de trat. diferem entre si) Uma forma equivalente de escrever as hipóteses anteriores é em termos dos efeitos dos tratamentos τ i, que é: H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 H 1 : τ i 0 Há efeito de tratamento 25 / 31

37 Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses Para verificarmos se a hipótese nula (H 0 ) é rejeitada ou não, completase o seguinte Quadro da : Tabela 1: Quadro da. CV G.L. S.Q. Q.M. F calc F tab Tratamentos a - 1 SQTrat SQTrat a 1 QMTrat QMRes F (α;gltrat,gl Res ) Resíduo a(b-1) SQRes SQRes a(b 1) - - Total ab - 1 SQTotal Se F cal > F (α;gltrat,gl Res ), então rejeita-se H 0, ou seja, há pelo menos duas médias de tratamentos que diferem entre si. 26 / 31

38 Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses Tem-se que a soma de quadrados total que corresponde à soma de quadrados dos desvios de todos os dados em relação à média é particionada da seguinte forma: a b (y ij ȳ) 2 = i=1 j=1 a b (y ij ȳ i + ȳ i ȳ) 2 i=1 j=1 Fazendo manipulações algébricas, tem-se a b (y ij ȳ) 2 = i=1 j=1 a b a b (ȳ i ȳ) 2 + (y ij ȳ i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 SQ total = SQ trat + SQ res 27 / 31

39 Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses SQ total = a b (y ij ȳ) 2 = i=1 j=1 a b i=1 j=1 yij 2 ( a b i=1 j=1 y ij) 2 ab SQ trat = a b (ȳ i ȳ) 2 = i=1 j=1 a i=1 T 2 i b ( a b i=1 j=1 y ij) 2 ab em que T i é o total do i-ésimo tratamento. SQ res = SQ total SQ trat 28 / 31

40 Tabulação dos dados Modelo estatístico Hipóteses Como vimos anteriormente, a análise de variância para testar essas hipóteses só é válida se forem satisfeitas as seguintes condições: 1 aditividade: os efeitos devem se somar (não há interação); 2 independência: os erros (ɛ ij ) devem ser independentes; 3 normalidade: os erros (ɛ ij ) devem possuir uma distribuição normal (teste Shapiro-Wilks e análise gráfica); 4 homocedasticidade ou homogeneidade de variâncias: os erros (ɛ ij ) devem possuir uma variância comum σ 2 (teste de Bartlett, teste F máximo e teste de Levene); 29 / 31

41 Exemplo 1 Os dados abaixo fornecem a quilometragem por litro (km/l) de um carro para 4 tipos de gasolina: Tipos de Gasolina A B C D 15,1 14,9 15,4 15,6 15,0 15,2 15,2 15,5 14,9 14,9 16,1 15,8 15,7 14,8 15,3 15,3 15,4 14,9 15,2 15,7 15,1 15,3 15,2 15,7 Considerando que as pressuposições da análise de variância foram satisfeitas, a um nível de 5% de significância, verifique se há diferença significativa entre os tipos de gasolina em relação à média de consumo. 30 / 31

42 Exemplo 2 Um técnico de laboratório quer comparar a resistência à ruptura de três marcas de fio e, inicialmente, ele limita sua análise aos seguintes resultados (em quilogramas): Fio 1 18,0 16,4 15,7 19,6 16,5 18,2 Fio 2 21,1 17,8 18,6 20,8 17,9 19,0 Fio 3 16,5 17,8 16,1 16,0 Supondo que esses dados constituem amostras aleatórias de três populações normais com o mesmo desvio-padrão, efetue uma análise de variância para testar, ao nível de 1% de significância, se as diferenças entre as médias amostrais são significantes. 31 / 31