EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS

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1 EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística 29 de julho de 2017

2 Parcelas Subdivididas Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididas não se refere a um tipo de delineamento e sim ao esquema do experimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos são organizados.

3 Parcelas Subdivididas Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididas não se refere a um tipo de delineamento e sim ao esquema do experimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos são organizados. Nos experimentos em parcelas subdivididas, em geral, estuda-se simultaneamente dois tipos de fatores os quais são geralmente denominados de fatores primários e fatores secundários. Em um experimento em parcelas subdivididas, as unidades experimentais são agrupadas em parcelas as quais devem conter um número de unidades experimentais (subparcelas) igual ao número de níveis do fator secundário.

4 Na instalação os níveis do fator primário (A) são distribuídos às parcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC, DBC, DQL.

5 Na instalação os níveis do fator primário (A) são distribuídos às parcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC, DBC, DQL. Posteriormente os níveis do fator secundário (B) são distribuídos ao acaso às subparcerlas de cada parcela.

6 Na instalação os níveis do fator primário (A) são distribuídos às parcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC, DBC, DQL. Posteriormente os níveis do fator secundário (B) são distribuídos ao acaso às subparcerlas de cada parcela. Tal disposição permite obter uma estimativa geral de maior precisão para os efeitos dos tratamentos do segundo fator.

7 Nos experimentos em parcelas subdivididas tem-se dois resíduos distintos: um correspondente às parcelas e outro às subparcelas dentro das parcelas. Em casos mais complexos, as subparcelas podem, também, ser repartidas em subsubparcelas. Tem-se, neste caso, três resíduos distintos: Resíduo (a), referente às parcelas; Resíduo (b), à subparcelas e Resíduo (c), correspondendo às subsubparcelas.

8 Vantagens Parcelas Subdivididas a) Em comparação com experimentos fatoriais, experimentos em parcelas subdivididas são mais fáceis de instalar;

9 Vantagens Parcelas Subdivididas a) Em comparação com experimentos fatoriais, experimentos em parcelas subdivididas são mais fáceis de instalar; b) Quando os tratamentos associados aos níveis de um dos fatores exigem maior quantidade de material na unidade experimental do que os tratamentos do outro fator.

10 Vantagens Parcelas Subdivididas a) Em comparação com experimentos fatoriais, experimentos em parcelas subdivididas são mais fáceis de instalar; b) Quando os tratamentos associados aos níveis de um dos fatores exigem maior quantidade de material na unidade experimental do que os tratamentos do outro fator. c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional é incorporado num experimento, para ampliar seu objetivo.

11 Vantagens Parcelas Subdivididas a) Em comparação com experimentos fatoriais, experimentos em parcelas subdivididas são mais fáceis de instalar; b) Quando os tratamentos associados aos níveis de um dos fatores exigem maior quantidade de material na unidade experimental do que os tratamentos do outro fator. c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional é incorporado num experimento, para ampliar seu objetivo. d) Através da prévia informação, sabe-se que maiores diferenças podem ser esperadas entre os níveis de um certo fator do que entre os níveis do outro fator.

12 Desvantagens Parcelas Subdivididas a) Do ponto de vista estatístico, os fatoriais são, em geral, mais eficientes que os em parcelas subdivididas;

13 Desvantagens Parcelas Subdivididas a) Do ponto de vista estatístico, os fatoriais são, em geral, mais eficientes que os em parcelas subdivididas; b) Enquanto nos fatoriais temos um só resíduo para todos os F e comparações de médias, no split-plot há dois resíduos, um para comparações de parcelas e outro para subparcelas;

14 Desvantagens Parcelas Subdivididas a) Do ponto de vista estatístico, os fatoriais são, em geral, mais eficientes que os em parcelas subdivididas; b) Enquanto nos fatoriais temos um só resíduo para todos os F e comparações de médias, no split-plot há dois resíduos, um para comparações de parcelas e outro para subparcelas; c) Para parcela, o número de GL geralmente é pequeno, levando à pouca sensibilidade na análise;

15 Desvantagens Parcelas Subdivididas a) Do ponto de vista estatístico, os fatoriais são, em geral, mais eficientes que os em parcelas subdivididas; b) Enquanto nos fatoriais temos um só resíduo para todos os F e comparações de médias, no split-plot há dois resíduos, um para comparações de parcelas e outro para subparcelas; c) Para parcela, o número de GL geralmente é pequeno, levando à pouca sensibilidade na análise; d) Sempre que possível, é preferível utilizar experimentos fatoriais em lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.

16 Parcelas Subdivididas O modelo linear para o experimento em parcelas subdivididas no delineamento em blocos ao acaso é dado por: i = 1, 2,..., a y ijk = µ + τ i + γ k + (τγ) ik + β j + (τβ) ij + (τβγ) ijk, j = 1, 2,..., b k = 1, 2,..., r em que: y ijk é o valor observado no i-ésimo tratamento, k-ésimo bloco e j-ésima subparcela; µ é uma constante; τ i é o efeito do i-ésimo fator A; γ k é o efeito do k-ésimo bloco; (τγ) ik é o resíduo (a) da parcela; β j é o efeito do j-ésimo fator B; (τβ) ij é a interação entre o i-ésimo fator A e o j-ésimo fator B; (τβγ) ijk é o resíduo (b) da subparcela; (1)

17 No experimento em parcelas subdivididas com 2 fatores, deseja-se testar a significância de ambos os fatores. Há interesse em testar hipóteses sobre a igualdade dos efeitos do fator primário, isto é: H 0 : τ 1 = τ 2 =... τ a = 0 H 1 : Pelo menos um τ i 0 e a igualdade nos efeitos do fator secundário, ou seja: H 0 : β 1 = β 2 =... β b = 0 H 1 : Pelo menos um β j 0 e, ainda, se há interação entre os fatores: H 0 : (τβ) ij = 0 para todo i, j H 1 : Pelo menos um (τβ) ij 0

18 A decomposição do número de graus de liberdade de um experimento em parcela subdividida com a tratamentos primários, b tratamentos secundários e r repetições. Tabela 1: Parcela subdividida no delineamento inteiramente casualizado CV GL Tratamento A a 1 Resíduo(a) a(r 1) Parcelas ar 1 Tratamento B b 1 A B (a 1)(b 1) Resíduo(b) a(b 1)(r 1) Total abr 1

19 Tabela 2: Parcela subdividida no delineamento em blocos casualizados. CV GL Blocos r 1 Tratamento A a 1 Resíduo(a) (a 1)(r 1) Parcelas ar 1 Tratamento B b 1 A B (a 1)(b 1) Resíduo(b) a(r 1)(b 1) Total abr 1

20 Tabela 3: Parcela subdividida no delineamento em quadrado latino. CV GL Linhas a 1 Colunas a 1 Tratamento A a 1 Resíduo(a) (a 1)(a 2) Parcelas a 2 1 Tratamento B b 1 A B (a 1)(b 1) Resíduo(b) a(a 1)(c 1) Total a 2 b 1

21 Tabela 4: Quadro da em um delineamento em blocos. C.V. G.L. S.Q. Q.M. F calc Blocos r 1 SQ Blocos SQ Blocos r 1 A a 1 SQ A SQ A a 1 QM Blocos QM Res(a) QM A QM Res(a) Resíduo(a) (a 1)(r 1) SQ Res(a) SQ Res(a) (a 1)(r 1) (Parcelas) (ar 1) (SQ Parcelas ) B b 1 SQ B SQ B b 1 A B (a 1)(b 1) SQ AxB SQ AxB (a 1)(b 1) QM B QMRes(b) QM AxB QM Res(b) Resíduo(b) a(r 1)(b 1) SQ Res(b) SQ Res(b) a(r 1)(b 1) Total abr 1 SQ Total

22 Em que as somas de quadrados são dadas por: SQ Total = SQ A = SQ Blocos = a i=1 1 r b 1 a b b r j=1 k=1 y 2 ijk C C = a TA 2 C i=1 r TBloco 2 C k=1 ( a i=1 b j=1 r k=1 y ijk abr ) 2 SQ Parcelas = 1 b a r TParcela 2 C i=1 k=1 SQ Res(a) = SQ Parcelas SQ A SQ Blocos

23 SQ B = 1 a r b TB 2 C j=1 SQ A,B = 1 r a b TA 2 i,b j C i=1 j=1 SQ AxB = SQ A,B SQ A SQ B SQ Res(b) = SQ Total SQ Parcelas SQ A SQ AxB

24 1 Suponha o caso de um experimento com três rações (A, B, e C), em seis blocos casualizados, cada parcela constituída por dois animais. Em uma determinada fase do ensaio, os bovinos, dentro de cada parcela, passaram a receber, por sorteio, um dos tipos de suplementos minerais (M ou P). Os ganhos de pesos individuais, ao final do experimento, são apresentados na tabela abaixo.

25 1 Tabela 5: Ganhos de pesos, em quilos, ao final do experimento. Tipos de Ração Blocos A B C Totais M P M P M P I II III IV V VI Totais A um nível de significância de 5%, faça a análise de variância e considerando um experimento em parcela subdividida no delineamento em blocos ao acaso, em que o tipo de suplemento mineral está na subparcela.

26 Tabela 6: Tabela auxiliar para cálculo das somas de quadrados das parcelas. Blocos (2) Tipos de Ração A B C Totais I II III IV V VI Totais (12) (12) (12) 3.740

27 Para o cálculo das somas de quadrados das Parcelas, tem-se: ( a b c i=1 j=1 k=1 y ijk C = N ) 2 = SQTotal = ( )2 = , a b c yijk 2 C i=1 j=1 k=1 = ( ) , 4 = 6.061,556 SQRac = = 1 b c a i=1 y 2 i C ( ) , 4 = 1.173,722

28 SQBlocos = = 1 a c b y 2 j C j= ( ) , 4 = 582,2222 SQParcelas = 1 c a i=1 b j=1 y 2 ij C = 1 2 ( ) , 4 = 2.377,556 SQRes(a) = SQParcelas SQTrat SQBlocos = 2.377, , , 2222 = 621,6111 Para o cálculo das demais somas de quadrados, utiliza-se a seguinte tabela auxiliar.

29 Tabela 7: Tabela auxiliar para cálculo das somas de quadrados das Subparcelas. Suplementos (6) Tipos de Ração A B C Totais M P Totais (12) (12) (12) 3.740

30 SQSup = = SQRac,Sup = 1 a b c y 2 k C k= ( ) , 4 = 2.773,778 1 a c b c j=1 k=1 y 2 i C 1 = 3 2 ( ) , 4 = SQInter = SQRac, Sup SQRac SQSup = 4.057, , , 778 = 110,3889 SQRes(b) = SQTotal SQParcelas SQSup SQInter = 6.061, , , , 3889 = 799,8333

31 Tabela 8: Quadro da análise de variância do experimento em parcelas subdivididas no delineamento em blocos ao acaso. Causa da Variação S.Q. g.l. Q.M. F calc Pr(> F ) Blocos 582, , 44 Ração 1.173, , 86 9, 441 0, Resíduo(a) 621, , 16 (Parcelas) 2.377, Suplementos 2.773, , 78 52, , ( 6) Ração Suplementos 110, , 19 1, , 3792 Resíduo(b) 799, , 32 Total 6.061, Os efeitos das Rações e dos Blocos são testados usando o Resíduo(a). Os efeitos dos Suplementos e da Interação são testados usando o Resíduo(b).

32 Verifica-se da Tabela 8 que a interação entre os tipos de Ração e Suplementos não foi significativa, havendo efeito dos fatores principais: Ração e Suplemento. Logo, aplica-se o teste de Tukey para verificar quais os tipos de Ração que diferem entre si. No caso de ração, temos o QMRes utilizado será o Residuo(a) da Tabela 8. QMRes(a) = q r 62, = 3, = 8,8 kg

33 Construindo-se a tabela das médias ordenadas em ordem decrescente, tem-se: Médias (kg) Ração B 111,25 a Ração A 103,0833 ab Ração C 97,3333 b em que letras iguais indicam médias semelhantes. No caso dos suplementos, basta observar que a média de ganho de peso dos animais que foram alimentados com o suprimento M foi de e com o suprimento F foi de ȳ M = 112, 7 kg ȳ F = 95, 1 kg mostrando que o suprimento M foi mais eficiente no ganho de peso.

34 Interação Significativa Quando a hipótese H 0 para a interação entre os fatores é rejeitada, então dizemos que a interação é significativa. Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nível do outro fator. Assim, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente tal como foi apresentado para o caso da interação não significativa.

35 O procedimento recomendado é realizar o desdobramento do efeito da interação. Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator.

36 Desdobramento A/B Tabela 9: Análise de variância para o desdobramento do fator A dentro de cada nível de B. C.V. G.L. S.Q Q.M. F cal B b 1 SQ B QM B = SQ B b 1 A B 1 a 1 SQ A B1 QM A B1 = SQ A B 1 a 1 A B 2 a 1 SQ A B2 QM A B2 = SQ A B 2 a 1 F calc = QM B QM Res(b) F cal = QM A B 1 QM ResComb F cal = QM A B 2 QM ResComb..... A B j a 1 SQ A Bj QM A Bj = SQ A Bj a 1 QM A Bj F cal = QM ResComb ResComb n SQ ResComb QM ResComb = SQ ResComb n - Total SQ Total abn 1 - -

37 Para comparar os níveis de um fator principal em cada nível do fator secundário, é necessário fazer uma combinação das duas estimativas obtidas para o erro experimental bem como do número de graus de liberdade associado as mesmas. Esta combinação é denominada de resíduo combinado (ResComb).

38 A estimativa do quadrado médio deste resíduo combinado é obtida por QM ResComb = QM Res(a) + (b 1)QM Res(b) b O número de graus de liberdade associado a esta estimativa é obtido pela fórmula dos graus de liberdade de Satterhwaitte (n ) dada por n = [ QMRes(a) + (b 1)QM Res(b) ] 2 [QM Res(a) ] 2 GL Res(a) + [(b 1)QM Res(b)] 2 GL Res(b)

39 Desdobramento B/A Tabela 10: Análise de variância para o desdobramento do fator B dentro de cada nível de A. C.V. G.L. S.Q Q.M. F cal A a 1 SQ A QM A = SQ A a 1 B A 1 b 1 SQ B A1 QM B A1 = SQ B A 1 b 1 B A 2 b 1 SQ B A2 QM B A2 = SQ B A 2 b 1 F calc = QM A QM Res(a) F cal = QM B A 1 QM Res(b) F cal = QM B A 2 QM Res(b)..... B A j b 1 SQ B Aj QM B Aj = SQ B Aj b 1 Res(b) ab(n 1) SQ Res(b) QM Res(b) = SQ Res(b) ab(n 1) QM B Aj F cal = QM Res(b) - Total SQ Total abn 1 - -

40 2 Considere o exemplo apresentado por Pimentel Gomes (1990), que consiste de um experimento com 8 tratamentos (7 adubos verdes e milho) em blocos ao acaso, com 4 repetições, realizado em dois anos consecutivos nas mesmas parcelas. Os dados são apresentados na próxima Tabela.

41 2 Tabela 11: Produção de adubos verdes e milho (kg de matéria seca verde por parcela). Tratamentos Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 1 o ano 2 o ano 1 o ano 2 o ano 1 o ano 2 o ano 1 o ano 2 o ano Totais Mucuna preta 86,8 90,2 76,8 94,0 88,6 86,4 81,6 82,2 686,6 Feijão de porco 44,0 83,8 56,6 72,2 52,4 88,6 52,2 83,2 533,0 Crot. juncea 102,4 120,2 90,8 104,6 92,0 112,0 84,8 113,6 820,4 Guandu 68,4 91,0 55,2 78,8 49,0 83,4 61,2 91,2 578,2 Teph. Candida 34,0 57,2 32,4 54,0 24,4 50,8 30,0 46,2 329,0 Soja 33,0 33,6 34,8 33,2 32,0 33,4 33,6 42,6 276,2 Crot. grantiana 25,8 77,0 21,6 62,4 19,2 63,6 21,0 63,4 354,0 Milho 138,8 110,2 106,4 80,0 108,0 92,0 81,8 90,6 807,8 Totais 533,2 663,2 474,6 579,2 465,6 610,2 446,2 613, ,2 Pode-se proceder à análise considerando um experimento em parcela subdividida no delineamento em blocos ao acaso, em que o tempo é a subparcela.

42 Tabela 12: Totais de cada parcela Tratamentos 1 o bloco 2 o bloco 3 o bloco 4 o bloco Totais Mucuna preta 177,0 170,8 175,0 163,8 686,6 Feijão de porco 127,8 128,8 141,0 135,4 533,0 Crot. juncea 222,6 195,4 204,0 198,4 820,4 Guandu 159,4 134,0 132,4 152,4 578,2 Teph. Candida 91,2 86,4 75,2 76,2 329,0 Soja 66,6 68,0 65,4 76,2 276,2 Crot. grantiana 102,8 84,0 82,8 84,4 354,0 Milho 249,0 186,4 200,0 172,4 807,8 Totais 1196,4 1053,8 1075,8 1059,2 4385,2

43 Tabela 13: Totais anuais Tratamentos 1 o ano 2 o ano Totais Mucuna preta 333,8 352,8 686,6 Feijão de porco 205,2 327,8 533,0 Crot. juncea 370,0 450,4 820,4 Guandu 233,8 344,4 578,2 Teph. Candida 120,8 208,2 329,0 Soja 133,4 142,8 276,2 Crot. grantiana 87,6 266,4 354,0 Milho 435,0 372,8 807,8 Totais 1919,6 2465,6 4385,2