9 a 14 de Setembro Pós-Graduação em Produção Vegetal UFPR. Éder David Borges da Silva Renato Gonçalves de Oliveira

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1 9 a 14 de Setembro Pós-Graduação em Produção Vegetal UFPR Éder David Borges da Silva Renato Gonçalves de Oliveira

2 Conteúdo abordado: Revisão de Estatística básica Princípios básicos de experimentação Delineamento inteiramente casualizado (DIC) Delineamento blocos ao acaso (DBA) Delineamento Quadrado latino (DQL) Esquema Fatorial Delineamento em parcela subdividida Delineamento em faixas Introdução ao Software R Análise de variância DIC DBA Fatorial 3x Parcelas subdivididas Analise de regressão linear Analise de regressão não linear Planejamento e análise de Experimentos

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5 Circularidade do Método científico HIPÓTESE PLANEJAMENTO CONCLUSÃO/DESENV. TEORIA EXPERIMENTO TESTE DA HIPÓTESE ANÁLISE ESTATÍSTICA Planejamento e análise de Experimentos 5

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7 Funções de distribuição de probabilidade normal f x,, 1 x exp Planejamento e análise de Experimentos 7

8 4 Intervalos de confiança e teste de hipótese N(0,1), z crít 0 z crít rejeição de H 0 z <<< 0 Se H 0 falsa aceitação de H 0 z = 0 Se H 0 verdadeira 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 rejeição de H 0 z >>> 0 Se H 0 falsa 1 N( 0, ) n N( 1, ) n 0, X + crít 1 Planejamento e análise de Experimentos 8

9 Tipos de erro no teste de hipóteses Realidade Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta Não Rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II Planejamento e análise de Experimentos 9

10 Propriedades da distribuição F g / ( g g ) [( g g ) ] g g f x x x x ( g ) ( g ) g g g1 / 1 1 ( ) EX ( ) Var( X ) g g g ( g1 g ) g ( g ) ( g 4) 1 X ~ F g 1, g (lê-se: X tem distribuição F com g 1 e g graus de liberdade) 0 + Propriedades: a) seu ~ g e V 1 ~ g então 1 b) se X ~ F g 1, g então ~ F g, g 1 U/ g V / g 1 ~ F g, g 1 1 P( Fg, g F) P( Fg, g ) F X 1 1 F g 1, g 0 F + F g, g Planejamento e análise de Experimentos F 10

11 Teste F F calc QMT QME F r 1, nt r H 0 verd F crít H 0 falso ac. H 0 rej. H 0 Planejamento e análise de Experimentos 11

12 P-valor Planejamento e análise de Experimentos 1

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14 Princípios básicos da experimentação Casualização Repetição Controle local A aleatorização torna os testes estatísticos válidos A repetição torna os testes estatísticos possíveis O controle local torna o experimento mais eficiente Planejamento e análise de Experimentos 14

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16 Pressupostos de modelos lineares (ANOVA) Y X Planejamento e análise de Experimentos 16

17 Pressupostos de modelos lineares (ANOVA) Normalidade da distribuição dos erros; Homogeneidade das variâncias; Aditividade dos efeitos dos fatores de variação; Independência dos erros; Planejamento e análise de Experimentos 17

18 f(x) Normalidade da distribuição dos erros x Analise gráfica e pelo teste Shapiro-Wilk W n i 1 n i 1 a x i i x i _ x Planejamento e análise de Experimentos 18

19 Resíduos Homogeneidade das variâncias, t1 t t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 Linhagens Analise gráfica e pelo teste Bartlett C k 1 k i 1 1 ni 1 n 1 k K n k logqmre C i K 1 ni 1 logs i ~ X k 1 Planejamento e análise de Experimentos 19

20 Aditividade dos efeitos dos fatores de variação y ij i ij Cada componente do modelo deve ter efeito aditivo; Planejamento e análise de Experimentos 0

21 Resíduos Independência dos erros: Linhagens Os erros devem possuir independência dos demais cov( ij, ' ij ) 0 Planejamento e análise de Experimentos 1

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23 Definição Efeitos fixos: Os níveis em estudo forem escolhidos pelo pesquisador, de modo que o interesse concentre-se nesses níveis; Inferência restrita aos níveis em estudo. Efeitos aleatórios (variáveis aletórias): Os níveis em estudo correspondem a uma amostra aleatória de uma população de referência; Os níveis provem de uma distribuição de probabilidade; A inferência é extrapolada para uma população de referência; Planejamento e análise de Experimentos 3

24 Observações do experimento Os valores observados quando da avaliação dos materiais representa a média fenotípica: Observação fenotípica = Efeitos genéticos + Efeitos ambientais + Efeitos residuais Planejamento e análise de Experimentos 4

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26 Modelo estatístico inteiramente casualizado y ij i ij onde ij IDD ~ N(0, ) yij é o valor do i-ésimo tratamento na j-ésima parcela é a constante geral do modelo (normalmente a média) i ij é o efeito do i-ésimo tratamento é o erro experimental associado ao i-ésimo tratamento na j-ésima parcela Planejamento e análise de Experimentos 6

27 Quadro de anova DIC Fonte Tratamento Erro Total ( t GL t 1 1)( r tr 1 1) SQ SQtrat SQerro SQtotal ( t QM SQtrat t 1 SQerro 1)( r 1) EMEF r t i 1 EMEA r Planejamento e análise de Experimentos 7

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29 Delineamentos blocos ao acaso Considerações importantes: O bloco é uma restrição à casualização; Isto implicará em perda de precisão experimental e ganho na facilidade de condução do experimento; Isso se deve a perda de graus de liberdade do resíduo; O bloco não é necessariamente espacial, áreas desuniformes, ele pode ser virtual, no caso de épocas de plantio por exemplo. Planejamento e análise de Experimentos 9

30 Modelo estatístico Blocos ao acaso y ij i j ij onde ij IDD ~ N(0, ) yij é o valor do i-ésimo tratamento na j-ésima parcela é a constante geral do modelo (normalmente a média) i é o efeito do i-ésimo tratamento ij j é o efeito do j-ésimo bloco é o erro experimental associado ao i-ésimo tratamento na j-ésima parcela Planejamento e análise de Experimentos 30

31 Quadro de anova DBA Fonte Bloco Tratamento Erro ( j GL j 1 t 1 1)( t 1) SQ SQbloco SQtrat SQerro QM QMbloco QMtrat QMerro EMEF t j j t 1 t 1 j j EMEA t j t Total jt 1 SQtotal QMtotal Planejamento e análise de Experimentos 31

32 DBA Outra Estufa E N T R A D A Canteiro Corredor _RS _Tke _Pe _P _RSe _RS _RS _P _RSe _RSe _Pe _Tke _P _RSe _TK _TK _Tke _Pe _Pe _TK _TKe _P _TK _RS C E R C A Planejamento e análise de Experimentos 3

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34 Modelo estatístico Quadrado latino y ijk i l j c k ijk onde ijk IDD ~ N(0, ) y ij é o valor do i-ésimo tratamento na j-ésima parcela é a constante geral do modelo (normalmente a média) l c i j k ij é o efeito do i-ésimo tratamento é o efeito da j-ésima linha é o efeito da k-ésima linha é o erro experimental associado ao i-ésimo tratamento na j-ésima parcela Planejamento e análise de Experimentos 34

35 Delineamento Quadrado latino Casualização: Somente uma repetição de cada tratamento aparece em cada bloco; Limitação: O número de tratamentos deve ser igual ao número de repetições. Isso implica na necessidade de grandes áreas e grande volumes de material experimental; Desvantagem: O número de repetições aumentará a medida que o número de tratamentos também aumente; Planejamento e análise de Experimentos 35

36 Delineamento Quadrado latino Linhas Colunas I II III IV V I D A B C E II C E A B D III E B C D A IV B D E A C V A C D E B Planejamento e análise de Experimentos 36

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38 Esquema fatorial Esquema fatorial não é um delineamento, é apenas um arranjo entre os tratamentos; O arranjo fatorial pode ser conduzido em Delineamento inteiramente casualisado; Blocos ao acaso; Quadrado latino; Outros; Planejamento e análise de Experimentos 38

39 Esquema fatorial Definições Fator: uma causa de variação conhecida e de interesse do pesquisador (um tipo de tratamento); Nível: subdivisão do fator; Efeito principal: pode-se estudar isoladamente o efeito de cada fator no experimento; Efeito da interação: quando existir, estudar o comportamento de cada fator, na presença ou ausência de níveis dos demais fatores Planejamento e análise de Experimentos 39

40 Modelo estatístico Esquema Fatorial y ( ) ijk i j ij ijk onde ij IDD ~ N(0, ) y ijk é o valor do i-ésimo tratamento na j-ésima parcela e na k-ésima repetição é a constante geral do modelo (normalmente a média) i é o efeito do i-ésimo nível do fator A j é o efeito da j-ésimo nível do fator B ( ) ij é o efeito da interação entre i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B ijk é o erro experimental entre i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B na k-ésima repetição. Planejamento e análise de Experimentos 40

41 Quadro de anova fatorial 41 Planejamento e análise de Experimentos 1) ( 1) 1)( ( ) ( 1) 1)( ( QMErro SQErro r ab Erro r b a r QMAB SQAB b a AB ar r t ar QMB SQB b TratamentoB br r a br QMA SQA a TratamentoA EMEA EMEF QM SQ GL Fonte ij j i

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43 Modelo estatístico Delineamento em parcela subdividida y ijk yijk i j ij k é o valor do i-ésimo tratamento na j-ésima parcela e na k-ésima repetição é a constante geral do modelo (normalmente a média) ik ijk onde ijk IDD ~ N(0, ) i j ij k ik ijk é o efeito do i-ésimo nível do fator A é o efeito da j-ésimo bloco é o erro experimental entre i-ésimo nível do fator A e j-ésimo bloco é o efeito da k-ésimo nível do fator B é o efeito da interação entre o i-ésimo nível do fator A e da k-ésimo nível do fator B é o erro experimental entre i-ésimo nível do fator A e j-ésimo bloco e k-ésimo nível do fator B Planejamento e análise de Experimentos 43

44 Anova de split-plot 44 Planejamento e análise de Experimentos SQtotal abr Total QMerroB SQerrob r b a ErroB r b a r QMAB SQAB b a AB ra b ra QMB SQB b B b b QMerroa SQerroa a r ErroA rb b a rb b QMA SQA a A ab b ab b QMBloco SQBloco r Bloco EMEA EMEF QM SQ GL Fonte ij j i p p 1 1) 1)( ( 1) 1)( ( ) ( 1) 1)( ( 1 1 1) 1)( ( 1 1 1

45 Experimento Split-plot Quando instalar: Em experimentos fatoriais com dois ou mais fatores; Quando há alguma limitação para instalar o experimento; Facilidade para instalação; Em alguns casos é a única forma de aplicação dos tratamentos às unidades experimentais; Planejamento e análise de Experimentos 45

46 Experimento em Split-plot Definição: Esse tipo de experimento aloca o fator A em parcelas principais, ou primária, e o fator B nas sub-parcelas, ou secundárias; Cada parcela funciona como um bloco para as subparcelas; Se existem mais de dois fatores o experimento é chamado de parcelas sub-divididas e assim por diante; Planejamento e análise de Experimentos 46

47 Experimento Split-plot Croqui de uma parcela principal de um experimento em Parcelas subdivididas Parcela principal (Fator A) Sub-parcela (Fator B) Planejamento e análise de Experimentos 47

48 Experimento Split-plot Por exemplo: Experimento com fatores (A e B), cada um com 4 níveis, dispostos em 3 blocos: A = A1; A; A3; A4 B = B1; B; B3; B4 BLOCO = I; II; IV Bloco I A1 B4 B1 B3 B A3 B1 B3 B4 B A4 B1 B3 B B4 A B B1 B3 B4 Planejamento e análise de Experimentos 48

49 Experimento Split-plot O fator de maior interesse deve ser colocado nas subparcelas quando possível (maior número de graus de liberdade); Caso não seja possível a aplicação dos tratamentos às parcelas principais ou sub-parcelas dependerá da facilidade de instalação do experimento; Planejamento e análise de Experimentos 49

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51 Experimentos em faixas ou Split Block É uma variação dos experimentos em parcelas subdivididas; Os fatores A e B são dispostos em faixas como se fossem parcelas principais; Planejamento e análise de Experimentos 51

52 Modelo estatístico Delineamento em faixas y ijk j i ij k jk ( ) ij ijk onde ijk IDD ~ N(0, ) y ijk é o valor do i-ésimo tratamento A e k-ésimo tratamento B no j-ésima bloco é a constante geral do modelo (normalmente a média) j é o efeito do j-ésimo bloco i é o efeito da i-ésimo tratamento A ij é o erro experimental entre i-ésimo nível do fator A e j-ésimo bloco k é o efeito da k-ésimo nível do fator B ( jk ) ij é o erro experimental entre k-ésimo nível do fator B e j-ésimo bloco é o efeito da interação entre o i-ésimo nível do fator A e da k-ésimo nível do fator B ijk é o erro experimental entre i-ésimo nível do fator A e k-ésimo nivel de B no j-ésimo bloco Planejamento e análise de Experimentos 5

53 Experimento Em Faixas CROQUI B4 B B3 B1 A A1 A3 Planejamento e análise de Experimentos 53

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55 Transformações mais utilizadas Logarítimica: log(x); Raiz quadrada; Raiz cúbica; Angular: arcsen(x), sem(x),...; Hiperbólica de primeiro grau: x=1/x; Hiperbólica de segundo grau; Planejamento e análise de Experimentos 55

56 Tipos de transformações mais utilizadas A transformação Box-Cox identifica a exata transformação por meio de uma família de transformações de potência de Y. Y ' Y 0,5 Y ' Y 0,5 Y ' 1 Y 0 Y ' log e Y (por definição) -1,0 Y ' 1 Y Planejamento e análise de Experimentos 56

57 Tipos de transformações mais utilizadas O procedimento Box-Cox usa o método de máxima verossimilhança para estimar, 0, 1e. A função de verossimilhança é dada por: L n 1 1 0, 1,, ) n / exp ( Y i 0 1X ( ) i ) i 1 ( Planejamento e análise de Experimentos 57

58 log-likelihood Função verossimilhança 95% Planejamento e análise de Experimentos 58

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60 Procedimentos para comparações múltiplas Teste de Tukey ou DHS (HSD): Teste de Duncan: q p, v, QME r q p, v, p QME r Planejamento e análise de Experimentos 60

61 Procedimentos para comparações múltiplas Teste Scott-Knott: SQgrupos G1 k1 G k G3 k3 0 SQmédias k v v QME r * 0 0 Planejamento e análise de Experimentos 61

62 Procedimentos para comparações múltiplas Um teste pode ter dois parâmetros; Poder do teste: Capacidade do teste em detectar diferenças reais entre os tratamentos. Rigorosidade: Confiança no resultado obtido. Planejamento e análise de Experimentos 6

63 Procedimentos para comparações múltiplas Erro tipo I por comparação: Probabilidade de se rejeitar uma hipótese verdadeira nas comparações dos tratamentos tomados dois a dois; Erro tipo I por experimento: Probabilidade de se realizar pelo menos uma inferência errada por experimento; Erro tipo III: Probabilidade de se classificar um tratamento superior ao outro quando o segundo supera o primeiro; Planejamento e análise de Experimentos 63

64 Procedimentos para comparações múltiplas Linhagens Médias 1 14,65 a 1,34 ab 3 10,4 b Ambigüidade dos resultados Planejamento e análise de Experimentos 64

65 Procedimentos para comparações múltiplas Valores médios Procedimentos de comparações múltiplas Trat. Par. Est. Tukey SNK LSD LSDB SK ,461 D C E D B ,498 D C DE CD B ,488 CD C DE CD B 85 90,74 CD BC DE CD B ,986 CD BC CD BCD B ,511 BCD BC CD BCD B ,689 ABC AB BC ABC A ,436 AB A AB AB A ,49 A A A A A ,94 A A A A A Planejamento e análise de Experimentos 65

66 Procedimentos para comparações múltiplas Comparação do teste de Scott-Knott com os demais: Comparações realizadas através de experiemntos com dados simulados; Taxas de erro tipo I sempre abaixo do nível de significância (menores que α); O poder do teste foi duas vezes maiores que os do teste de Duncan, t e SNK, oito vezes mais poderoso que o teste Tukey e semelhante ao t-bayesiano; Planejamento e análise de Experimentos 66

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68 Novas ferramentas para análise GLM: Modelos Lineares Generalizados; AMMI: Additive main effects and Multiplicative Interaction model; Selegen: Sistemas REML/BLUP de análise via modelos mistos; Planejamento e análise de Experimentos 68

69 GLM Modelos lineares generalizados; Distribuição Poisson Planejamento e análise de Experimentos 69

70 AMMI Additive main effects and Multiplicative Interaction model; Interação GxE; Interação em modelos estatísticos com efeitos fixos Planejamento e análise de Experimentos 70

71 AMMI Interação GxE; Planejamento e análise de Experimentos 71

72 AMMI Interação em modelos estatísticos com efeitos fixos; Planejamento e análise de Experimentos 7

73 Sistemas REML/BLUP REML: Máxima verossimilhança restrita; BLUP: Melhor predição linear não viesada; Planejamento e análise de Experimentos 73

74 Sistemas REML/BLUP Planejamento e análise de Experimentos 74

75 Sistemas REML/BLUP Safra 1 Safra Planejamento e análise de Experimentos 75

76 Sistemas REML/BLUP Planejamento e análise de Experimentos 76

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78 Experimento hipotético Para se estudar padrões nutricionais e expressão gênica em híbridos Bt comerciais de milho decidiu-se trabalhar com dois híbridos Bt e suas respectivas isolinhas submetendo-os a três diferentes regimes de controle de lagarta. Para esse experimento definiu-se que seriam usadas 5 repetições. Planejamento e análise de Experimentos 78

79 DIC Fontes de variação Graus de liberdade Tratamentos 11 Híbridos 3 Tratamentos Hib. x Trat. 6 Erro experimental 48 Total 59 Planejamento e análise de Experimentos 79

80 DBA Fontes de variação Graus de liberdade Blocos 4 Tratamentos 11 Híbridos 3 Tratamentos Hib. x Trat. 6 Erro experimental 44 Total 59 Planejamento e análise de Experimentos 80

81 Parcela subdividida Fontes de variação Graus de liberdade Blocos 4 Híbridos 3 Erro a 1 Tratamento Híb. x Trat. 6 Erro b 3 Total 59 Planejamento e análise de Experimentos 81

82 Parcela subdividida Fontes de variação Graus de liberdade Blocos 4 Tratamento Erro a 8 Híbrido 3 Trat. x Híb. 6 Erro b 36 Total 59 Planejamento e análise de Experimentos 8

83 Delineamento em faixas Fontes de variação Graus de liberdade Blocos 4 Híbrido 3 Erro a 1 Tratamento Erro b 8 Híb. x Trat. 6 Erro c 4 Total 59 Planejamento e análise de Experimentos 83

84 Delineamento em faixas Fontes de variação Graus de liberdade Blocos 4 Tratamento Erro a 8 Híbrido 3 Erro b 1 Trat. x Híb. 6 Erro c 4 Total 59 Planejamento e análise de Experimentos 84

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