MINISTE RIO DA EDUCAÇA O UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS DEPARTAMENTO DE CIE NCIAS EXATAS

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1 MINISTE RIO DA EDUCAÇA O UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS DEPARTAMENTO DE CIE NCIAS EXATAS Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação Agropecuária Prova do Processo Seletivo para o Doutorado 3/ Resolução xy ) Calcule f xy, para f xy, lnx y. xy Resolução: f xy, f xy, lnx y x y x y y x y y x x y x x y x y 4xy x y Se errar apenas uma das diretivas de derivação vale metade da questão. ) Dentre todos os retângulos inscritos em um círculo de raio unitário centrado na origem, obtenha, utilizando multiplicador de Lagrange e explicitando todos os cálculos, aquele de maior área.

2 Observação: A área do retângulo é x y. A xy, x y 4xy e a equação do círculo Resolução: A equação de Lagrange:,, L x y 4xy x y Lx, y, x Lx, y, y 4y x 4x y Lx, y, x y 3 4y x 4x y y x x y x y Substituindo em 3, x x e y Trata-se do quadrado de vértices nos pontos,.,,,,, e Se for montada a equação do multiplicador de Lagrange corretamente vale a metade da questão. 3) Determine o valor da integral dupla da função f xy, x na região determinada pelo triângulo dado pelos pontos,,, e,.

3 x 3 x x x xdydx x y dx x x dx Resolução Se os limites de integração estiverem corretos vale a metade da questão 4) a ) Se f x é uma função densidade de probabilidade, obtenha a expressão de f x. Resolução: 4 f x dx 4 kx dx 4 x k 6 k k 8 8 f x xi x Se a integral de zero a quatro for montada, mesmo que a expressão da função esteja errada vale a metade da questão.,4 b ) Calcule a média e a variância de f x x x 8 EXx f xdx 8 x dx

4 x E X x f xdx x dx varx E X E X A esperança de f x é 8 3 e a variância é 8 9. Se as fórmulas da esperança e da variância estiverem corretas vale a metade da questão. 5) Se X e Y são variáveis aleatórias normais independentes, prova-se que X Y tem distribuição normal. Se X : Normal(,) e Y : Normal(,3) determine a expressão da densidade da variável aleatória W X Y. 3 X Y X Y E X Y E X E Y A densidade: fw w e 5 w3 5 var var var 5 6) Se x, x,..., x n é a realização de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com função densidade exponencial verossimilhança para. x, isto é, f x e I x X,, determine a estimativa de máxima n ( xi ) xi n i Resolução: A verossimilhança é e e Tomando a log-verossimilhança tem-se i n l( ) nlog( ) ( xi ) n i. Derivando e igualando a zero tem-se n n xi i x i i x n

5 Se o candidato montar a equação de verossimilhança corretamente mas errar nas contas vale a metade da questão. X X 7) Se X, X,..., X n é uma amostra aleatória de uma Normal X, X então, em que X é a S n média amostral e S o desvio padrão amostral, é uma grandeza pivotal para a esperança populacional. Se x, 5, x, 49, x3 3, e x4, 6 é a realização de uma amostra de tamanho 4, utilize essa quantidade pivotal para obter um intervalo de confiança a 9% para a esperança populacional. X X Resolução: Pt.95 t.95.9 S n PX t S n X t S n.95 X.95.9,96,96 P,9,353 X,9,353.9 P, 64 X, Se montar a quantidade pivotal de maneira correta, vale metade da questão. 8) Numa pesquisa com plantas forrageiras, anotou- se a produção de matéria verde, em kg/parcela, no final do experimento. O delineamento foi inteiramente ao acaso com cinco repetições. Os resultados experimentais foram os seguintes: Repetições Variedades Total A B C D

6 Considere que as observações seguem o modelo aditivo yij = μ + ti + e ij, sendo μ a média geral, ti o efeito do tratamento i, com i=,,...,i e ij independente, com distribuição normal de média zero e variância e, com j =,,..., J, o erro experimental, alaeatório, i. Minimize a SQErros e obtenha os estimadores de mínimos quadrados para os parâmetros μ, ta, tb, tc, tddo modelo; ii. Com base nos resultados experimentais obtenha as estimativas dos parâmetros; iii. Faça a análise de variância, aplique o teste F e interprete os resultados; iv. Obtenha a estimativa de σ ; v. Compare a variedade A com as demais variedades juntas pelo teste de Scheffé ( α = 5% ). σ.

7 5% de

8 9) Um experimento foi conduzido para comparar quatro rações de poedeiras, utilizando-se sete repetições. A parcela constou de duas gaiolas, cada uma delas com seis aves. i. Quantas poedeiras foram utilizadas na pesquisa? ii. iii. iv. O experimento teve quantas gaiolas? Faça um esquema ilustrando a alocação das parcelas no galpão admitindo que o experimento foi instalado no delineamento inteiramente ao acaso; Faça um esquema ilustrando a alocação das parcelas no galpão admitindo que o experimento foi instalado no delineamento em blocos ao acaso.

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10 ) Um experimento foi instalado no delineamento em blocos casualizados com quatro repetições para comparar três variedades de arroz (A, B, C) em dois níveis de irrigação(, ). Os resultados obtidos para as produtividades em t/ha forneceram a seguinte análise de variância e teste F: Fontes de Variação GL SQ QM F c Variedades (V),99,995 6,7* Irrigação (I),67,67,9** Interação V*I,6433,37 8,3** Blocos 3,633,54 Erro Experimental 5,387,588 Total 3,4 Da forma como se encontra a análise percebe-se houve interação entre os fatores estudados. Faça a análise com os dois desdobramentos de interação possíveis. Comente os resultados praticamente, aplicando teste de Tukey ( α = 5% ) quando for o caso. Quadro de Interação (Variedades *Irrigação) Níveis de Irrigação Variedades A B C Totais Níveis de Irrigação 3, (4) 7, 5, 45,5 () 6,3 5,6 9,8 5,7 Totais Variedades 9,4 (8) 3,8 35, 97, (4)

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13 Apêndices Tabela. Limites unilaterais de F ao nível α = 5% de probabilidade ( n o de graus de liberdade do numerador; n o de graus de liberdade do denominador) , 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 3,,98 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95,9,85 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85,8,75 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,3,9,83,77,7,67 4 4,6 3,74 3,34 3,,96,85,76,7,65,6 5 4,54 3,68 3,9 3,6,9,79,7,64,59,54 6 4,49 3,63 3,4 3,,85,74,66,59,54,49 7 4,45 3,59 3,,96,8,7,6,55,49,45 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4 9 4,38 3,5 3,3,9,74,63,54,48,4,38 4,35 3,49 3,,87,7,6,5,45,39,35 Tabela. Limites unilaterais de F ao nível α = % de probabilidade ( n o de graus de liberdade do numerador; n o de graus de liberdade do denominador) ,56 8, 6,99 6,4 6,6 5,8 5,6 5,47 5,35 5,6,4 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5, 5,6 4,94 4,85 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,7 4,89 4,74 4,63 4,54 9,33 6,93 5,95 5,4 5,6 4,8 4,64 4,5 4,39 4,3 3 9,7 6,7 5,74 5, 4,86 4,6 4,44 4,3 4,9 4, 4 8,86 6,5 5,56 5,4 4,69 4,46 4,8 4,4 4,3 3,94 5 8,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,4 4, 3,89 3,8 6 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4, 4,3 3,89 3,78 3,69 7 8,4 6, 5,8 4,67 4,34 4, 3,93 3,79 3,68 3,59 8 8,9 6, 5,9 4,58 4,5 4, 3,84 3,7 3,6 3,5 9 8,8 5,93 5, 4,5 4,7 3,94 3,77 3,63 3,5 3,43 8, 5,85 4,94 4,43 4, 3,87 3,7 3,56 3,46 3,37

14 Tabela 3. Valores da amplitude total estudentizada (q), do teste de Tukey ao nível α = 5% de probabilidade (I n o de tratamentos; n o de graus de liberdade do erro experimental). I , 3,95 4,4 4,76 5, 5,4 5,43 5,6 5,74 5,87 3,5 3,88 4,33 4,65 4,9 5, 5,3 5,46 5,6 5,7 3, 3,8 4,6 4,57 4,8 5,3 5, 5,35 5,49 5,6 3,8 3,77 4, 4,5 4,75 4,95 5, 5,7 5,4 5,5 3 3,6 3,74 4,5 4,45 4,69 4,89 5,5 5,9 5,3 5,43 4 3,3 3,7 4, 4,4 4,64 4,83 4,99 5,3 5,5 5,36 5 3, 3,67 4,8 4,37 4,6 4,78 4,94 5,8 5, 5,3 6 3, 3,65 4,5 4,33 4,56 4,74 4,9 5,3 5,5 5,6 7,98 3,63 4, 4,3 4,5 4,7 4,86 4,99 5, 5, 8,97 3,6 4, 4,8 4,5 4,67 4,8 4,96 5,7 5,7 9,96 3,59 3,98 4,5 4,47 4,65 4,79 4,9 5,4 5,4,95 3,58 3,96 4,3 4,45 4,6 4,77 4,9 5, 5,