MAE 317 Planejamento e Pesquisa I Profa. Júlia Maria Pavan Soler

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1 MAE 37 Planeamento e Pesquisa I Profa. Júlia Maria Pavan Soler pavan@ime.usp.br IME/USP º Semestre/09

2 Delineamento Completamente Aleatorizado - DCA T T... T Y Y... Y Y Y... Y Yi... Yn Y n... Yn n Tratamentos: Fator em níveis Fator de Efeito Fixo Esquema de aleatorização: atribuição completamente aleatória das unidades experimentais aos tratamentos resposta da i-ésima unidade experimental exposta ao -ésimo tratamento n réplicas no tratamento n n

3 Motivação Considere o seguinte delineamento completamente aleatorizado (DCA) com um fator fixo em 4 níveis e seis réplicas por tratamento. Dados: Medidas de clorofila a dissolvida na água T T T3 T4 6,,7 7,0 8,3 4,8,3 4,4 7, 3,0 9,3 3,8,7 5,6 9,5 5,0 0,0 7,,7 5,5 8,5 4,8 5,3 3,,4 Discuta o delineamento experimental e a estrutura dos dados. Há evidência amostral para efeito de tratamento?

4 Motivação Dados: Tempo de coagulação (em seg) de amostras de sangue extraídas de 6 animais aleatoriamente alocados a 4 tratamentos. Média T T T3 T Discuta o delineamento experimental e a estrutura dos dados. Há evidência amostral para efeito de tratamento?

5 Dados (Problema 3., Oehlert, 00): Cientistas investigam se o gasto energético destinado à reprodução afeta a longevidade em moscas de frutas Dados (Problema 3.3, Oehlert, 00): Altura de plantas submetidas ao stress da passage (pisada) de transeuntes. Discuta o delineamento usado e a estrutura dos dados. Há evidência amostral para diferenças entre os tratamentos?

6 Motivação Dados (Problema 3.4, Oehlert, 00): Concentração de adenine no cérebro de ratos tratados com doses de cafeína Dados (Exercício 3., Oehlert, 00): Peso relative do fígado (em % do peso corporal) de ratos tratados com diferentes dietas Discuta o delineamento experimental e a estrutura dos dados. Há evidência amostral para efeito de tratamento?

7 Planeamento e Análise de Dados Estrutura Geral de Análise de Dados: (Goos and Gilmour, 0) Estrutura da Unidade Amostral amostragem, aleatorização efeitos aleatórios Estrutura do Tratamento tipo do delineamento efeitos fixos Esboço da Análise esqueleto da ANOVA Estrutura da Resposta tipo de variável Modelagem modelo inicial seleção de modelos modelo final/interpretação

8 Delineamento Completamente Aleatorizado - DCA Estrutura das Unidades Experimentais 4 unidades amostrais completamente aleatorizadas a 4 tratamentos 6 réplicas em cada tratamento (amostras balanceadas) Estrutura de Tratamentos Fator (Tratamento) em 4 níveis Fator Fixo: T, T, T3 e T4 Estrutura da variável resposta Uma única variável quantitativa de interesse: concentração de clorofila a dissolvida na água

9 N ( ; ) T... T Y... Y Yn... Yn n... n s n i i, Fontes de Variação N ( s ; ) Inicialmente, considere as seguintes fontes de variação: s n i s T ( ) n i n ( ) Variação DENTRO do tratamento é aquela devido a fontes de erro desconhecidas. Todas as unidades receberam o mesmo tratamento, logo esta variabilidade é experimental, de fatores não controlados ou até mesmo genuína Variação ENTRE tratamentos é aquela devido ao efeito dos tratamentos. Esta variabilidade informa sobre o efeito do fator de interesse no estudo

10 Estatísticas Descritivas Var. Entre = 67,5 Var. Dentro = 3,6,8 variação entre variação dentro = 67,5/3,6 = 0,60 Há evidência amostral para a existência de efeito do tratamento? Discutir

11 Boxplots of Resp b Trat (means are indicated b solid circles) 5 Resp 0 5 Trat T T T3 T4 n=6 Dotplots?

12 Suposição N ( ; ) N ( ; ) N ( ; )... População T T... T Y Y... Y Yi... Yn Yn... Yn iid n Y i ~ N n... n s s s Amostra Y i : resposta da i-ésima unidade de medida submetida ao -ésimo tratamento Normalidade Variância constante Independência H... : ( ; A : existe pelo menos uma diferença entre as médias dos tratamentos )

13 N ( ; ) N ( ; ) Variação Residual T... T Y... Y Yn... Yn n... n... s... s s R ( n ( ) i s ;,,..., n ) s n n ( n ) s S Q R n Quadrado Médio Residual (QMRes) Estimativa da consistência interna dos dados E s R s E Q M R e s R DENTRO de Tratamentos Sob as suposições de normalidade, independência e homocedasticidade!

14 Variação ENTRE Tratamentos N ( ; ) N ( ; ) T... T Y... Y n ( ) str QME Quadrado Médio de Tratamento ou Quadrado Médio Entre (QME) Sob :,, amostras balanceadas H,..., e Yn... Yn s s n... n amostras aleatórias são extraídas da mesma distribuição N ( ; ) Lembrar da distribuição amostral da média amostral

15 Variação ENTRE N ( ; ) N ( ; ) T... T Y... Y Yn... Yn s Sob H e balanceamento: ( ) r r ( ) Tr Tr E QME E s s s... str... s R Sob H as duas estatísticas estimam s s Tr R

16 ANOVA - Comparação de Médias Yi N ( ; ) H:... A: existe pelo menos uma diferença entre as médias Sob H duas estimativas de Quadrado Médio de Tratamento Quadrado Médio Residual s Tr s R F = s Tr s R valor grande Evidência de que H é falso

17 Componentes de Variabilidade i ( ) ( i ) Estatísticas associadas às somas de quadrados: i ( ) ( i ) SQTotal SQTratamento SQResidual

18 Tabela de ANOVA H:... Interprete descritivamente o valor F! Fonte de variação Grau de liberdade ENTRE - DENTRO n- TOTAL n- i i SQ QM F valor-p n ( ( i ( i ) ) ) SQE/(-) SQR/(n-) QME/QMR s Tr F = F ( -, n- ) s R Sob H Sob normalidade, homocedasticidade e independência

19 Tabela de ANOVA H:... F.V. g.l. SQ QM F valor-p ENTRE - n ( ) SQE/(K-) QME/QMR DENTRO n- TOTAL n- i i ( i ( i ) ) SQR/(N-K) F Q M E Q M R ~ F ( )( n ) R SQ E SQ Total Coeficiente de determinação: proporção da variabilidade total de Y explicada pelos tratamentos

20 Tabela de ANOVA

21 Experimento para avaliar a utilização de um inóculo de fungos no desenvolvimento de mudas de Eucalptos citriodora. O fungos audam no crescimento das plantas? Três tratamentos de interesse: IA - inóculo ausente; I S - inóculo selvagem (proveniente da raiz de grama batatais) e I M - inóculo de G. mosseae (proveniente da raiz do arroz) Sementes de mesma origem foram semeadas em sacos plásticos contendo o mesmo tipo de solo, os quais foram mantidos em Casa de Vegetação em condições ambientais consideradas homogêneas. Foram usadas 5 repetições para cada tratamento sob um delineamento inteiramente casualizado (DCA). Após 48 dias, a medição da altura das mudas foi feita. Trat Repetições Média A M S Média Duscuta o delineamento. Faça suposições. Calcule a variabilidade Entre e Dentro de tratamentos. Há evidência para o efeito de tratamento?

22 Modelo Estrutural e Distribucional Parametrização de Médias i parâmetros definem o valor esperado de : i iid N ( 0 ; ) i,...,, E Yi iid N i ( ; ) V a r V a r ; i,,..., r,,..., i i Considerando os dados de clorofila a escreva as equações impostas pelo modelo estrutural adotado!

23 Modelo Estrutural e Distribucional Parametrização de Desvios de Médias i i (+) parâmetros definem o valor esperado de : Restrições de Identificabilidade dos Parâmetros 0...,,...,, : Média geral da resposta (o valor esperado basal da resposta) : Efeito do tratamento T no valor esperado basal da resposta (é o desvio em relação à média geral da resposta)

24 Modelo Estrutural i i; / N ( 0 ; ) i componente fixo componente aleatório i i E efeito do tratamento: componente de desvios na média de Y ; i 0 V a r V a r i i

25 Modelo Estrutural e Distribucional Parametrização de Casela de Referência i i i,..., : O valor esperado da resposta para unidades submetidas ao tratamento T (considerado como referência),..., : Efeito do tratamento T em relação ao valor esperado da resposta ao tratamento T (é o desvio em relação a esta referência)

26 Modelo Estrutural e Estimadores i i ( ) ( ) i i ˆ ˆ ê i

27 Formalização Matricial Modelo ANOVA - Modelo Linear Geral i i ; 0 Y X n n n vetor de observações Matriz de Planeamento vetor de parâmetros vetor de resíduos Como está definida a matriz X no caso de Regressão? Para os dados de clorofila a escreva o modelo linear na forma matricial, considerando as diferentes parametrizações.

28 i i ; Y n X n = Parametrização de desvios de médias DCA: fator em 4 níveis e 5 réplicas en e e e 3 e4 e 5 e e e 3 e4 e 5 e3 e 3 e 33 e43 e 53 e4 e 4 e

29 Tabela de ANOVA - Notação Matricial H... : H :... 0 F.V. g.l. SQ QM F p Trat - Resíduo n- Y P J Y n n Y I P Y SQTr / (-) SQR / (n-) QMTr / QMR TOTAL n- Y In J Y n P X X X X J : matriz de s n n

30 i Procedimentos de Inferência i ; 0 Y X n n n ˆ ; m i n ˆ ˆ m i n Y X ˆ Y X ˆ ˆ X X X Y Yˆ X X X X Y P: Matriz de Proeção Solução via o Método de Mínimos Quadrados e Máxima Verossimilhança iid (sob Y i ~ N( ; ) ) conduzem aos mesmos estimadores.

31 Y X n n n Modelos Lineares ˆ ; min S Y X Y X ˆ Y X X ˆ X Y (Equações Normais) ˆ ˆ X X X Y Ŷ Yˆ X ˆ X X X X Y PY Proeção PY C(X ) Teorema de Gauss-Marov: Os estimadores de máxima verossimilhança têm variância mínima na classe dos estimadores não viesados e que seam funções lineares das observações.

32 Geometria da ANOVA r i ( i ) 0 D é ortogonal a A Y Y ^ D R r i r i ( ) 0 ( i ) 0 A é ortogonal a Tr A é ortogonal a R A Tr T r i ( )( i ) 0 R é ortogonal a Tr Y: vetor de dados A: vetor média geral D=Y-A: desvios em relação à média geral Tr: desvios das médias dos tratamentos em relação à média geral R: resíduos Y Yˆ R Yˆ A Tr S S S S Aditividade das Somas de A Tr R Quadrados (comprimento ao quadrado dos vetores)

33 Exemplo: fator em 4 níveis Ré pli cas T T i T3 T Médias Observação Y Média geral A ( ) ( i Efeito de Tratamento Tr ) Resíduo R SQTotal = SQMédia + SQTrat + SQResidual Soma de Quadrados = Número de g.l. 6 = SQTotal Corrigida = = 388

34 ANOVA iid i ~ ( ; ); ; 0 Y N H : H : existe pelo menos uma diferença entre as médias Formulação do Modelo, Construção da Tabela de ANOVA, Obtenção das Estimativas Análise de Diagnóstico das premissas do Modelo Entender o Efeito de Tratamento: Comparações Múltiplas entre Médias