MAE 317 Planejamento de Experimentos I. Profa. Júlia Maria Pavan Soler IME/USP

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1 MAE 37 Planeamento de Experimentos I Profa. Júlia Maria Pavan Soler pavan@ime.usp.br IME/USP

2 MAE 37 Planeamento de Experimentos I Profa. Júlia Maria Pavan Soler pavan@ime.usp.br IME/USP

3 Delineamento Completamente Aleatorizado - DCA T T... T Y Y... Y Y Y... Y Yi... Tratamento: Fator de Ef. Fixo aleatorização Resposta da u.e. i exposta ao tratamento Yn Y n... Yn n n replicações no tratamento

4 Exemplo Dados: Medidas de clorofila a Delineamento completamente aleatorizado (DCA com um fator em 4 níveis e seis réplicas por tratamento T T T3 T4 6,,7 7,0 8,3 4,8,3 4,4 7, 3,0 9,3 3,8,7 5,6 9,5 5,0 0,0 7,,7 5,5 8,5 4,8 5,3 3,,4

5 Fontes de Variação N ( ; N ( ; Inicialmente considere as seguintes fontes de variação: T... T Y... Y Yn... Y n s ( n i Var. DENTRO do tratamento é aquela devido a fontes de erro desconhecidas. Todas as unidades receberam o mesmo tratamento, logo esta variabilidade é experimental, de fatores não controlados ou até mesmo genuína n... n s s s T n ( Var. ENTRE tratamentos é aquela devido ao efeito dos tratamentos. Esta variabilidade informa sobre o efeito do fator de interesse no estudo

6 Estatísticas Descritivas Var. Entre = 67,5 Var. Dentro = 3,6,8 variação entre variação dentro = 67,5/3,6 = 0,60 Há evidência amostral para a existência de efeito do tratamento? Discutir

7 T T T3 T4 Resp Boxplots of Resp b Trat (means are indicated b solid circles Trat n=6 Dotplots?

8 Suposição N ( ; N ( ; N ( ;... População T T... T Y Y... Y Yi... Yn Yn... Yn n n... n s s s Amostra Yi: resposta da i-ésima unidade de medida submetida ao -ésimo tratamento Normalidade Variância constante Independência Y i ~ N ( H... : ; A : existe pelo menos uma diferença entre as médias

9 Variação DENTRO N ( ; N ( ; T... T Y... Y Yn... Y n n... n s s s R ( n s s n ( n i n ( n s SQR n Quadrado Médio Residual (QMRes Estimativa da consistência interna dos dados E s R s E QM Re s R Sob as suposições de normalidade, independência e homocedasticidade!

10 N ( ; T... T Y... Y Variação ENTRE N ( ; s T n ( QME Quadrado Médio de Tratamento ou Quadrado Médio Entre (QME Sob :,, amostras balanceadas H,..., e Yn... Y n n... n s s amostras aleatórias são extraídas da mesma distribuição N ( ; Lembrar da distribuição amostral da média amostral

11 Variação ENTRE N ( ; N ( ; Sob H e balanceamento: T... T ( r Y... Y s T ( r Yn... Y n n... n s s s T s R E Q M E E s T Sob H: as duas estatísticas estimam s T s R

12 ANOVA - Comparação de Médias Yi N ( ; H:... A: existe pelo menos uma diferença Sob H duas estimativas de Quadrado Médio de Tratamento Quadrado Médio Residual s T s R F = s T s R grande Evidência de que H é falso

13 Componentes de Variabilidade i ( ( i Estatísticas associadas às somas de quadrados: i ( ( i SQTotal SQTratamento SQResidual

14 Tabela de ANOVA H:... Interprete descritivamente o valor F! F.V. g l SQ QM F p-valor ENTRE K- n ( SQE/(K- QME/QMR DENTRO N-K TOTAL N- i i ( i ( i SQR/(N-K s T F = F ( K-, N-K normalidade s R Sob H homocedasticidade independência

15 Tabela de ANOVA H:... F.V. g l SQ QM F p-valor ENTRE K- n ( SQE/(K- QME/QMR DENTRO N-K TOTAL N- i i ( i ( i SQR/(N-K F QM E QM R ~ F( ( n R SQE SQTotal

16 Tabela de ANOVA

17 Experimento para avaliar a utilização de inoculo de fungos no desenvolvimento de mudas de Eucalptos citriodora. O fungos audam no crescimento das plantas? Três tratamentos de interesse: IA - inóculo ausente; I S - inóculo selvagem (proveniente da raiz de grama batatais e I M - inóculo de G. mosseae (proveniente da raiz do arroz As sementes, de mesma origem, serão semeadas em sacos plásticos contendo o mesmo tipo de solo que serão mantidos em casa de Vegetação em condições ambientais consideradas homogêneas. Serão usadas 5 repetições para cada tratamento em delineamento inteiramente aleatorizado. Após 48 dias, a medição da altura das mudas será realizada. Trat Repetições (i Média A M S Média Duscuta as suposições envolvidas. Calcule as F.V. Entre e Dentro de tratamentos. Há evidência para o efeito de tratamento?

18 Modelo Estrutural e Distribucional Parametrização de Médias i i iid N ( 0 ; i parâmetros definem o valor esperado de,,..., E i V a r V a r ; i,,..., r,,..., i i Considerando os dados de clorofila a escreva as equações impostas pelo modelo estrutural adotado!

19 Modelo Estrutural e Distribucional Parametrização de Desvios de Médias i (+ parâmetros definem o valor esperado de : i,,...,, Restrições de Identificabilidade dos Parâmetros 0... : Média geral da resposta, o valor esperado basal da resposta : Efeito do tratamento T no valor esperado da resposta, é o desvio em relação à média geral da resposta

20 Modelo Estrutural i i; / N ( 0 ; i componente fixo componente aleatório i i E efeito do tratamento: componente da Média de Y ; i 0 V a r V a r i i

21 Modelo Estrutural e Distribucional Parametrização de Casela de Referência i i i,..., : O valor esperado da resposta para unidades submetidas ao tratamento T (considerado como referência,..., : Efeito do tratamento T em relação ao valor esperado da resposta ao tratamento T (é o desvio em relação a esta referência

22 Modelo Estrutural / Estimadores i i i ( ( i ˆ ˆ ê i

23 Formalização Matricial Modelo ANOVA - Modelo Linear Geral i i ; 0 Y N X N N vetor de observações Matriz de Planeamento vetor de parâmetros vetor de resíduos Como está definida a matriz X no caso de Regressão? Para os dados de clorofila a escreva o modelo linear na forma matricial, considerando as diferentes parametrizações.

24 i i ; 0 DCA: fator em 4 níveis e 5 réplicas Y X N N N = Parametrização de desvios de médias

25 Tabela de ANOVA - Notação Matricial H... : H :... 0 F.V. g l SQ QM F p Trat K- Resíduo N-K Y Y H I J N H Y Y SQTr / (K- SQR / (N-K QMTr / QMR TOTAL N- Y I N J Y H X X X X J : matriz de s

26 Procedimentos de Inferência 0 ; i i N N N X Y Y X X X ˆ Y X X X X Y ˆ Matriz de Proeção ˆ ˆ m in ˆ ˆ m in ; ˆ X Y X Y Método de Mínimos Quadrados e Máxima Verossimilhança (Distr. Normal conduzem aos mesmos estimadores.

27 Modelos Lineares Y H Y X X X X X Y X Y X X Y X X X X Y X Y S X Y N N N ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ min ; ˆ Y Yˆ ˆ C(X Proeção HY Teorema de Gauss-Marov: E.M.Q. têm variância mínima na classe dos estimadores não viesados e que seam funções lineares das observações (Equações Normais

28 Geometria da ANOVA r i ( i 0 D é ortogonal a A Y Y ^ D R r i r i ( 0 ( i 0 A é ortogonal a T A é ortogonal a R A T r i ( ( i 0 R é ortogonal a T Y: vetor de dados A: vetor média geral D=Y-A: desvios em relação à média geral T: desvios das médias dos tratamentos em relação à média geral R: resíduos Y S Yˆ R S A S T S Yˆ R AT Aditividade das Somas de Quadrados (comprimento ao quadrado dos vetores

29 Exemplo: fator em 4 níveis Ré pli cas T T i T3 T Médias Observação Y Média geral A ( ( i Efeito de Tratamento T Resíduo R SQTotal = SQMédia + SQTrat + SQResidual Soma de Quadrados = Número de g.l. 6 = SQTotal Corrigida = = 388

30 Hipótese de Interesse Yi iid N ( ; H: A: existe pelo menos uma diferença Existe evidência de diferenças entre as médias? As diferenças ENTRE médias são maiores que a variação DENTRO dos tratamentos?

31 Análise de Diagnóstico Checar as suposições do modelo i i iid N ( 0 ; i Normalidade Variância constante ( homocedasticidade Independência Garantir que a estatística F da tabela de ANOVA tem distribuição F(-,n-.

32 ANOVA Análises de Diagnóstico Análises Descritivas dos Resíduos Histogramas e box-plots dos resíduos Quantis dos resíduos contra quantis da normal Distribuição simétrica? Normalidade? ˆ ordem(obs ˆ ˆ Uso dos Resíduos studentizados. erros independentes homocedasticidade tendências não modeladas

33 ANOVA Análises de Diagnóstico Análise dos Resíduos ˆ i i ˆ i i i h ii i ( h ii i h ii X i X ' X X i ~ ˆ i i QM Re s Resíduo semi-studentizado r i QM ˆ Re i s h ii Resíduo studentizado

34 Frequenc Residual Residual Residual Residual Model Diagnostics Normal Plot of Residuals I Chart of Residuals UCL=4, Mean=7,77E Normal Score Observation Number 5 LCL=-4, Histogram of Residuals Residual Residuals vs. Fits E quando os dados não satisfazem as suposições impostas pelo modelo? Quais são as medidas remédio? Fit 9 0

35 ANOVA Análises de Diagnóstico Teste para a verificação da Normalidade Teste de Shapiro-Wil, Teste de Kolmogorov-Smirnov Testes para a verificação da homocedasticidade (variâncias homogêneas Teste de Hartle (H=max(s /min(s : assume dados balanceados Teste de Bartlet (sensível a desvios da Normalidade Teste de Levene (robusto, baseado nos desvios absolutos das observações em relação à mediana

36 Hipótese de Interesse Yi iid N ( ; H: A: existe pelo menos uma diferença Existe evidência de diferenças entre as médias? As diferenças ENTRE médias são maiores que a variação DENTRO dos tratamentos? No caso da reeição de H (p e a análise de diagnóstico indicando que as premissas estão satisfeitas, o próximo passo da análise é a realização de comparações múltiplas entre as médias.

37 T T T3 T4 Resp Comparações Múltiplas Considerando os dados de Clorofila a: H : A : pelo menos uma diferença entre as médias Conclusão: F=0,59 p=0,000 há evidência amostral para a reeição de H Boxplots of Resp b Trat (means are indicated b solid circles Discuta as limitações envolvidas na realização de testes t para todas as possíveis comparações entre duas médias! Trat

38 Comparações Múltiplas Intervalo de Confiança para a Média QM Re s t( / ; r i t( / ; r r QM Re s r Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias QM Re s t / ;r ' ( ' ' r t( / ;r QM Re s r Qual é o nível de confiança global (equivalentemente, o nível de significância global quando são realizadas muitos testes simultaneamente (muitas comparações entre pares de médias?

39 Comparações Múltiplas Nível de significância é calculado para a família de comparações As comparações entre médias são definidas em termos de contrastes ( C entre médias H A : C : C c c i i 0; i i 0 c i 0 Teste de Tue: correção para as comparações entre pares de médias Correção de Bonferroni: para um número fixado de contrastes Teste de Scheffé, Teste de Dunnet, Contrastes Ortogonais

40 Comparações Múltiplas 0 : 0 0; : i i i i i c C A c c C H Considere um único contraste C: / ; ( ~ ; ( ~ i n N Y N Y / ; ( ~ ˆ / ˆ ˆ n c c N C n c C V Y c C n C t n c QM R C C t ~ / ˆ n n c Q M R t C C C I / / ( ˆ.. (

41 Método de Contrastes Ortogonais,( ~ ; / ˆ n m Cm m m m F QMR C SQ F n c C C SQ 0 c c c C c C m C m SQTrat SQ Ilustre estes resultados com os dados de clorofila a! Qual é o p-valor austado para o teste do efeito de tratamento considerando um conunto de (- contrastes ortogonais? / / 0 c c Ex.: Cm t Cm F Alguns resultados:

42 Resp Frequenc Residual Percent Residual Método de Contrastes Ortogonais Dados hipotéticos T T T3 T Tabela de ANOVA Análise de Resíduos F.V g.l. S.Q. Q.M. F P Trat 3,75 70,9 9,60 0,000 Error 8 06,75 7,38 Total 3 49,50 S =,77 R-Sq = 50,7% Análise de Contrastes Ortogonais Normal Probabilit Plot ,0 -,5 0,0,5 5,0 Residual Histogram Residual Residual Plots for Resp Versus Fits Fitted Value Versus Order Observation Order 8 6 Boxplot of Resp T T T3 T4 Médias 6,75 0,375 8,65 3, Trat 3 4 C - /3 - /3 - /3 C 0-0,5-0,5 C3 0-0 C SQ( C F t p H( -4,67 04,0 4, -3,76 0,00 H( 4,5 96,33 3 3,6 0,00 H(3,75,5,66,9 0, Como obter p para a família de comparações? Conclusão?

43 Método de Bonferroni I. C. C Cˆ B Vˆ Cˆ m m B: valor tabelado obtido da distribuição t(n- a um nível de significância igual a (/p, em que p é o número total de testes a serem realizados. Neste caso o nível de significância global (supondo testes independentes é. Outros procedimentos: Scheffé (considera múltiplas comparações entre médias incluindo possíveis contrastes sugeridos pelos dados; Duncan (considera comparações gerais entre pares de médias Ambos são baseadas na estatística F da tabela de ANOVA (F (-,n- e têm a limitação de baixo poder. m

44 Correções Baseadas em Bonferroni Gar Ohelert, 00 : nível de significância global fixado K: número total de testes p(i: nível descritivo do i-ésimo teste

45 Método de Tue C Existem (-/ contrastes entre pares de médias C Cˆ q Q M R r I. C., ( n, / / Amostras balanceadas: intervalo exato q, ( n : valor tabelado obtido da distribuição da estatística amplitude studentizada definida como max( Y min( Y / QM Re s / n, que depende de, (n- e do nível de significância global fixado. Diferença mínima (honesta significante de Tue: q(,, n I. C. C Cˆ q,( n, / QM R n n Amostras desbalanceadas: intervalo aproximado

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47 Método de Tue C Cˆ q Q M R r I. C., ( n, / / Amostras balanceadas: intervalo exato I. C. C Cˆ q,( n, / QM R n n Amostras desbalanceadas: intervalo aproximado Para um dado nível de significância, o tamanho do intervalo para C é maior quando a estatística q é usada ao invés da estatística t de Student. Quando há interesse em realizar (- comparações, como é caso da existência de um tratamento controle, a estatística q, ( n é substituída pela estatística t de Dunnett (valores tabelados.

48 Tue 95,0% Simultaneous Confidence Intervals Trat = subtracted from: Dados de Clorofila a Trat Lower Center Upper ,464 6,3833 9,303 (----* ,353-0,4333,486 (----*---- 4,497 4,467 7,336 (----* ,0 0,0 6,0,0 Trat = subtracted from: Trat Lower Center Upper ,736-6,87-3,897 (----* ,886 -,967 0,953 (----* ,0 0,0 6,0,0 Trat = 3 subtracted from: Trat Lower Center Upper ,930 4,850 7,770 (----* ,0 0,0 6,0,0

49 Exemplo: Dados de Clorofila a Tue Simultaneous Tests Response Variable Resp All Pairwise Comparisons among Levels of Trat Level Difference SE of Adusted Trat of Means Difference T-Value P-Value T-T T3-T T4-T T3-T T4-T T4-T * Conclusão? 4 3 Diferenças significativas a um nível de significância global igual a 5%

50 Exemplo Dados: Considere que as medidas de clorofila a foram obtidas sob a seguinte estrutura de tratamentos T T T3 T4 30% 00% SN N SN N 6,,7 7,0 8,3 4,8,3 4,4 7, 3,0 9,3 3,8,7 5,6 9,5 5,0 0,0 7,,7 5,5 8,5 4,8 5,3 3,,4 Luminosidade Nutrientes

51 Mean Results for Lumino = Variable Nutri N Mean SE Mean StDev Clora 6 5,50 0,575,408 6,633 0,907, Results for Lumino = Variable Nutri N Mean SE Mean StDev Clora 6 4,87 0,550, ,667 0,847,075 Interaction Plot for Clora Gráfico de Data perfis Means de médias Lumino Analise e interprete os seguintes contrates entre médias: T T T3 T Nutri Obtenha testes corrigidos (para as múltiplas comparações e intervalos de confiança simultâneos.

52 Exemplo Dados: Tempo de coagulação (em seg de amostras de sangue extraídas de 6 animais aleatoriamente alocados a 4 tratamentos. Média T T T3 T Verifique se há evidência amostral para efeito de tratamento. Faça (à mão a análise destes dados.