MAE 317 Planejamento de Experimentos I. Profa. Júlia Maria Pavan Soler IME/USP

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1 MAE 317 Planejamento de Experimentos I Profa. Júlia Maria Pavan Soler pavan@ime.usp.br IME/USP

2 Motivação Por que coletamos dados? Ciência Factual: observar fatos criar Teorias Como coletar os dados? Que critérios devem ser usados? O que estamos fazendo com os dados que coletamos? Os resultados obtidos são válidos?

3 Estatística e Conhecimento Científico Estado Atual do Conhecimento Verdadeiro Estado da Natureza Tema de Pesquisa Delineamento Experimental Ruídos Hipótese H0 (Afirmação) Diretamente Indução Dados Comprovar, Contestar Modificar H0 Atualizar o Conhecimento (Box, Hunter e Hunter, 1978) MAE 5755 Métodos Estatísticos Aplicados às Ciências Biológicas 2º Sem./2008

4 Estatística e Conhecimento Científico Como fazer Ciência? Observar fatos Criar Teorias Investigação Científica não existe um procedimento único não é uniforme mas é convergente Hipóteses bem elaboradas Assegurar Convergência planejamento ótimo de experiment. análise de dados sensível e legítima

5 História da Ciência Atualização do Conhecimento pela Experimentação Circulação Sanguínea (W. Harvey, ) inicialmente hipóteses sem consideração de sangue arterial e venoso Classificação dos elementos químicos (Mendeliev, ) através de pesos atômicos, seguido de números atômicos Unidade da matéria (Dalton, ) hipótese do átomo indivisível, seguida por sua divisibilidade A aspirina é eficiente no combate a dores de cabeça decorrentes de mádigestão, gripes mas não aquelas devido a processos traumáticos Era genômica... Muitas teorias estão sendo refutadas!!

6 Pesquisas nas Áreas Factuais Estudos Observacionais Nenhum fator controlado Casos de dengue no município Tamanho da ninhada Tamanho da no. de ninhada ninhos >3 34 Estudos Experimentais Muitos fatores controlados Efeito da luminosidade e da temperatura na qualidade da água Luz Baixa Média Alta Temp. T1 T2 T1 T2 T1 T2 O2

7 Coleta de Dados Estudos Observacionais Prospectivos Retrospectivos Transversais Estudos Experimentais Delineamentos Completamente Aleatorizados Delineamentos Aleatorizados em Blocos Delineamentos Fatoriais...

8 Planejamento de Experimentos 1. Experimentos na Agricultura Fisher (1920s): Aleatorização, replicação, bloco 2. Experimentos Industriais Box e Wilson (1950s), Box (1999): Modelos de superfície de respostas 3. Experimentos para o Controle da Qualidade Taguchi (1980s): processos robustos, insensíveis a variações transmitidas de componentes, Modelos fatoriais fracionais 4. Formalização de princípios do Planejamento de Experimentos e Expansão para muitas áreas do conhecimento

9 Planejamento de Experimentos Por que PLANEJAR? Evidenciar o efeito de FV conhecidas Reduzir o efeito de FV Desconhecidas Y = FV conhecidas + e modelo estatístico Experimentos Controlados e aleatorizados representam o Estado da Arte para a realização de Inferências Causais Exemplo: Ensaios Clínicos da indústria Famacêutica

10 Modelo Estatístico Y = FV conhecidas + e Princípio da Análise: Avaliar a importância de possíveis fontes de variação que atuam sobre uma resposta de interesse A Estatística é uma lição de humildade, pois temos que compreender o significado do termo erro.

11 Planejamento de Experimentos População Alvo e Variável Resposta (Y) Estrutura de Tratamento e Variáveis de Controle Atribuição dos Tratamentos População de Interesse Unidades amostrais Tipo da Resposta Fatores e seus níveis Unidades Experimentais Bloco, Covariáveis Aleatorização irrestrita e restrita Unidades de mensuração Réplicas e Independência

12 Unidades Amostrais: elementos amostrados aleatoriamente da população de interesse (população alvo ou população disponível para o estudo) Unidades Experimentais: elementos que são aleatorizados a receber um específico tratamento Unidades de Mensuração: elementos nos quais a resposta é medida?? u.a. u.e. u.m Pode ser ou não o mesmo elemento. MAE 5755 Métodos Estatísticos Aplicados às Ciências Biológicas 2º Sem./2008

13 Classificação de Variáveis Modelo Estatístico Y = f ( X ) + e Componente Fixo Componente Aleatório Y: var. resposta (dependente, aleatória) X: var. preditora ou fator de interesse (independente, fixo) f : função, em geral, linear e assumida conhecida, mas pode ser não linear ou desconhecida e : variável aleatória (em geral envolve somente o termo de erro, mas pode ser decomposto em efeitos aleatórios de interesse no estudo) Apresente diferentes exemplos!

14 Classificação de Variáveis Y ou X Qualitativas Nominais Ordinais Quantitativas Discretas Contínuas Consideraremos situacões com Y uma variável quantitativa e X, em geral, qualitativa (Modelos de Análise de Variância ANOVA) MAE 5755 Métodos Estatísticos Aplicados às Ciências Biológicas 2º Sem./2008

15 Princípios da Análise de Dados O que se quer EXTRAIR dos dados? Como planejar um experimento para a coleta dos dados? Adotar Modelos Estruturais e Distribuições probabilísticas aos dados Validar os pressupostos (análise de diagnóstico) Expressar a Variabilidade da variável resposta Y segundo diferentes componentes Qual a importância de possíveis fontes de variação (X) sobre Y? Variação nas respostas ENTRE tratamentos x Variação DENTRO de Tratamento

16 Aleatorização Unidade Experimental u.e.: corresponde à menor subdivisão do material experimental de forma que quaisquer duas unidades pode receber tratamentos distintos. Exemplos: Cada vaso com plantas ou cada planta; Cada pessoa ou cada olho; Cada aquário ou cada peixe; Cada sala de aula ou cada aluno dentro da sala de aula. Aleatorização: uso de um método físico e objetivo para decidir qual tratamento cada u.e. receberá. Além de eliminar vícios pode ser a base (justicativa) da análise estatística (testes de aleatorização) Há vários métodos de atribuição aleatória (sorteio) de tratamentos às u.e. Suponha que n=2r u.e. devem ser particionadas de tal forma a receber os tratamentos A ou o B: 1. Sorteie uma u.e. das n, atribua A, sorteie outra u.e, atribua A e assim por diante até a résima u.e. As demais recebem B. 2. Sorteie uma u.e. das n, atribua A, sorteie outra u.e, atribua B e assim por diante. 3. Permute aleatoriamente a sequência de u.e. e atribua A para as r primeiras e B para as demais.

17 Delineamento Completamente Aleatorizado DCA T1 T2... Tk Y11 Y12... Y1k Y21 Y22... Y2k Tratamento: 1 Fator (fixo) em k níveis aleatorização (sem restrição) de n unidades amostrais a k tratamentos Yij... Resposta da unidade Yn11 Y n22... Ynkk experimental i exposta ao tratamento j n1 n2... nk nj replicações no tratamento j n= j n j

18 Exemplo Dados: Medidas de clorofila a T1 T2 T3 T4 6,2 12,7 7,0 8,3 4,8 11,3 4,4 7,1 3,0 9,3 3,8 11,7 5,6 9,5 5,0 10,0 7,1 11,7 5,5 8,5 4,8 15,3 3,2 12,4 Discutir o planejamento do experimento sob atribuição completamente aleatória dos tratamentos às 24 amostras de água.

19 Delineamento Aleatorizado em Blocos Completos Bloco B1 B2 Br Tratamentos T1 T2... Tk Y11 Y12... Y1k Y21 Y22... Y2k Yij... Yn1 Yn2... Ynk r r... r Tratamento: fator de interesse (1 fator em k níveis) Bloco: fator de controle de fontes de variação conhecidas Blocos completos: aleatorização restrita de k unidades amostrais a k tratamentos (aleatorização é realizada dentro dos blocos) r replicações em cada tratamento

20 Delineamento Completamente Aleatorizado Delineamento Aleatorizado em Blocos Completos DCA T1 T2 Tk Aleatorização irrestrita das n unidades experimentais aos k Tratamentos n1 n2 nk n= j n j DABC B1 B2 Br T1 T2 Tk r r r n=rk Aleatorização restrita de k unidades experimentais dentro de cada bloco

21 Exemplo Dados: Medidas de clorofila a de acordo com o ponto de coleta (coluna de água de um rio) Blocos: amostras de água de cada ponto de coleta divididas em 4 garrafas Bloco T1 T2 T T4 B1 6,2 12,7 7,0 8,3 B2 4,8 11,3 4,4 7,1 B3 3,0 9,3 3,8 11,7 B4 5,6 9,5 5,0 10,0 B5 7,1 11,7 5,5 8,5 B6 4,8 15,3 3,2 12,4 DABC Elabore e discuta diferentes exemplos!

22 Delineamento Fatorial A1 A2... Aa B1 B2... Bb B1 B2... Bb... B1 B2... Bb Yijk Estrutura de Tratamento 2 ou + Fatores Cruzados (Fatorial a x b) Delineamento com Replicações em cada combinação dos níveis dos fatores Discutir delineamentos fatoriais sob atribuição dos tratamentos de forma COMPLETAMENTE ALEATORIZADA e ALEATORIZADA EM BLOCOS COMPLETOS!

23 Exemplo Dados: Medidas de clorofila a. Delineamento Fatorial 2x2 T1 T2 T3 T4 30% 100% SN N SN N 6,2 12,7 7,0 8,3 4,8 11,3 4,4 7,1 3,0 9,3 3,8 11,7 5,6 9,5 5,0 10,0 7,1 11,7 5,5 8,5 4,8 15,3 3,2 12,4 Luminosidade Nutrientes Uso de um esquema de atribuição completamente aleatória dos tratamentos às 24 amostras de água (DCA) Mas poderíamos planejar um esquena de DABC (discutir as razões)

24 Arquivo EXH.AOV Row LightOutput Temperature GlassType Fatorial 3x3 Dois fatores, cada um em três níveis 3 Réplicas em cada combinação de tratamentos Resposta: Quantidade de luz emitida

25 Modelos de Efeitos Aleatórios Ex. Temperatura Corporal (ºC) de Animais Repl A1 A2 A3 A4 A Resposta (var. dependente): Temperatura corporal Fator sob estudo: Animal em 5 níveis Fator que define a estrutura de tratamento é Aleatório (não é fixo) amostra aleatória de 5 animais da população de interesse

26 Delineamentos mais Gerais Estruturas de Tratamentos: Delineamento Fatorial 2 k (Fatores Cruzados) Delineamento Fatorial Fracional Delineamento Com Fatores Hierárquicos (Aninhados) Delineamentos Aleatorizados em Blocos Incompletos: Quadrado Latino e Generalizações Quadrado de Youden Delineamentos SplitPlot Delineamentos com Covariáveis

27 Pesquise a Pesquisa Desconfie e seja crítico com: Resultados que não podem ser explicados por fatos Resultados que destoam de resultados de outras pesquisas Variações muito grandes entre períodos amostrais curtos Procure entender por que um efeito de tratamento não foi significante (variabilidade residual muito alta?) Discuta a significância estatística e a significância biológica de resultados...

28 Pesquise a Pesquisa Questione, Desconfie e seja crítico com: Procedimentos adotados na coleta dos dados Pressupostos do modelo usados para ajustar os dados Amostragem das u.a. Aleatorização das u.e. Independência das observações entre e dentro de grupos Tipo da variável de interesse e dos fatores sob estudo Forma da distribuição dos dados Homocedasticidade Os pressupostos do modelo devem ser checados via Análises de Diagnóstico

29 U.a. Tratamento Resposta 1 A 89,7 2 A 81,4 3 A 84,5 4 A 84,8 5 A 87,3 6 A 79,7 7 A 85,1 8 A 81,7 9 A 83,7 10 A 84,5 11 B 84,7 12 B 86,1 13 B 83,2 14 B 91,9 15 B 86,3 16 B 79,3 17 B 82,6 18 B 89,1 19 B 83,7 20 B 88,5 Dados de um Experimento Industrial Box, Hunter and Hunter, 1978 Objetivo: Comparar dois métodos, A e B 1. Discuta (exaustivamente) a estrutura dos dados! 2. Há evidência amostral de que o método B é melhor que o A? 3. Qual é a significância estatística da diferença observada entre as médias dos tratamentos?

30 u.a. Tratamento Resposta 1 A 89,7 2 A 81,4 3 A 84,5 4 A 84,8 5 A 87,3 6 A 79,7 7 A 85,1 8 A 81,7 9 A 83,7 10 A 84,5 11 B 84,7 12 B 86,1 13 B 83,2 14 B 91,9 15 B 86,3 16 B 79,3 17 B 82,6 18 B 89,1 19 B 83,7 20 B 88,5 Box, Hunter and Hunter, 1978 Estrutura dos Dados Tamanho amostral Variável Resposta ( dependente ) Variáveis Explicativas ( independentes ) Variáveis de Controle da heterogeneidade Unidades amostrais (População Alvo): independência das respostas Entre grupos? independência das respostas Dentro do grupo? Aleatorização: forma de atribuição dos tratamentos às unidades experimentais irrestrita (completamente aleatorizada)? restrita (fator bloco)?

31 Comparação de Duas Populações Hipóteses de Interesse do Estudo (ParâmetrosPopulação) Delineamento Experimental Estrutura dos dados Medidas Resumo (EstatísticasAmostra) Testar hipóteses: decisão via a evidência amostral Metodologias Clássicas Uso de Distribuições de Referência (Distr. Externa) Testes de Aleatorização

32 Medidas Resumo Método A B n Média 84,24 85,54 Dif Desvio Padrão 1,3 2,9018 3, Erro Padrão 0, , > yield < scan(n=20,dec=",") > metodo < scan(n=20,what=character()) > factor(metodo) > metodo < factor(metodo) > tapply(yield,metodo,mean) sd median > tapply(yield,metodo,mean)[2]tapply(yield,metodo,mean)[1] > diff(tapply(yield,metodo,mean)) Comandos do R

33 Desenho Esquemático das Observações Boxplot: gráfico dos 5 pontos Min, Q1, Q2, Q3 Max Outras medidas: trimedia Q 2 Q2 Q 4 3 A > boxplot(yield ~ metodo) B Observações discrepantes (outliers): ocorrem fora do intervalo Q1 1,5 IQ ; Q3 1, 5IQ IQ Q3 Q1

34 u.a. Tratamento Resposta 1 A 89,7 2 A 81,4 3 A 84,5 4 A 84,8 5 A 87,3 6 A 79,7 7 A 85,1 8 A 81,7 9 A 83,7 10 A 84,5 11 B 84,7 12 B 86,1 13 B 83,2 14 B 91,9 15 B 86,3 16 B 79,3 17 B 82,6 18 B 89,1 19 B 83,7 20 B 88,5 Box, Hunter and Hunter, 1978 Estrutura dos Dados Suponha diferentes esquemas sob os quais os dados foram coletados: As unidades amostrais correspondem a observações ordenadas no tempo (funcionamento da máquina) Houve a atribuição aleatória dos tratamentos às unidades amostrais (DCA)

35 Comparação de Duas Populações Em Box et al. (1978) a significância da diferença amostral encontrada entre os dois métodos, A e B, é avaliada nos seguintes casos: 1. Sob premissas clássicas: Teste t de Student Teste Não Paramétrico (MannWhitney) 2. Uso de distribuição externa que respeita a série temporal: Amostras Adjacentes Sequenciais Amostras Adjacentes Disjuntas 3. Testes de Aleatorização (sob a suposição de aleatorização de tratamentos às u.e.)

36 Significância Estatística de um Resultado Amostral Finalidade: Adotar uma métrica (uma distribuição) que permita tomar decisão sobre uma evidência amostral 0,4 0,3 0,2 0,1 0, Variável Aleatória 1,3 estatística de teste Sob uma suposta distribuição, avaliar se o resultado amostral é raro ou muito provável

37 Construção de uma Distribuição de Referência que seja válida para o Cálculo de Níveis Descritivos Estudaremos diferentes cenários!

38 85,5 84,5 80,5 79,5 84,8 81,1 81,7 82,4 86,1 86,7 86,6 85,6 80,6 86,7 82,6 80,5 83,5 86,6 84, ,4 91,7 78, ,2 81,8 84,7 81,6 88,8 86,6 84,9 89,3 82,8 83,9 81,9 83,3 81,8 79,3 81,9 85,6 83,3 83,1 84,9 82,7 83,6 84, ,3 85, ,8 78,4 87,2 86,7 81,9 79, ,9 83,3 80,2 89,4 87,8 84, , ,6 82,8 86,2 79,5 81,4 79, ,1 84,8 83, ,4 82,2 85,9 88,4 84,7 84,4 90, ,6 84,4 84,5 86,5 80,3 84,6 88,9 86,2 79,7 82,6 79,7 82,4 85, , ,2 87,2 80,2 84, ,7 81,6 85, ,2 83,5 84,4 87,2 84,8 81,6 80,1 84,4 83,5 83,6 86,2 82,2 82,2 84,3 81,8 85,4 88,6 88,9 82,9 85,9 82, ,9 84,7 88,2 81, ,1 82,9 83, ,2 87,1 81,5 87,2 85,8 85, ,4 83,7 84,2 84,3 76,5 87,7 87,3 83,5 82,3 82,7 81, ,5 89,7 85,1 79,6 90, ,8 83,3 85,8 80,7 80,4 83,1 90,4 77,9 83,1 85,7 80, ,7 86,5 86,7 87,4 80,3 85, ,7 86,8 79,8 86,3 77,5 82,3 83, ,7 84,7 86,4 86,2 83,7 83,8 84,6 82,5 84,1 80,9 90,5 87, ,3 87,3 Dados Externos Informação adicional: Série passada de 210 observações consecutivas das respostas de produção sob o Método A. Como esta informação adicional pode ser utilizada, apropriadamente, na tomada de decisão sobre se a produção sob o Método B é maior que aquela sob o Método A?

39 Y_A Dados Externos Série Passada 92,5 Dispersão das observações "passadas" 90,0 87,5 85,0 82,5 80,0 77,5 75, Temp

40 Construção de uma Distribuição de Referência Cálculo de Níveis Descritivos Considere o conjunto de 210 observações do Método A Particione (seqüencialmente) as obs em conjuntos adjacentes de tamanho 10 Calcule as diferenças entre as médias dos conjuntos adjacentes para todas as possíveis seqüências Obtenha assim um conjunto de 191 diferenças, as quais são possíveis de ocorrer sob o método A Verifique se a diferença 1,3 é um valor pouco ou muito provável de ocorrer sob esta distribuição veja esquema a seguir!

41 OBS ,94 83,51 0,43 OBS ,33 84,42 1,24 OBS Obter uma lista de referência de 191diferenças entre médias de conjuntos adjacentes de 10 obs 84,06 84,70 0,15

42 Obs Média Obs Média Obs Média Obs Média Obs Média Obs Média 85,5 84,5 84,42 80,5 84,53 79,5 83,72 84,8 84,36 81,1 83,68 81,7 82,4 84,7 86,1 84,09 86,7 83,89 86,6 84,54 85,6 83,91 80,6 86,7 84,79 82,6 84,28 80,5 83,9 83,5 84,58 86,6 83,53 84, ,3 85,4 84,51 91,7 84,5 78,1 84, ,43 88,2 81,8 84,51 84,7 84,33 81,6 83,99 88,8 84,47 86,6 84,06 84,9 89,3 84,9 82,8 83,61 83,9 83,71 81,9 83,98 83,3 84,41 81,8 79,3 84,2 81,9 84,05 85,6 84,04 83,3 83,96 83,1 83,82 84,9 82,7 84,4 83,6 83,94 84,8 83, ,34 82,3 83,68 85, ,82 86,8 84,16 78,4 83,47 87,2 83,65 86,7 84,26 81,9 83,94 79,6 83, ,84 89,9 84,26 83,3 83,75 80,2 83,55 89,4 84,33 87,8 84,06 84,2 84, ,81 86,6 83, ,06 83,6 84,18 82,8 83,88 86,2 84,76 79,5 83,22 81,4 84,14 79,5 83, , ,01 84,1 83,28 84,8 84,15 83,3 83, ,58 85,4 84,38 82,2 83,69 85,9 83,92 88,4 84,15 84,7 83,58 84,4 84,66 90,8 83, ,23 86,6 83,88 84,4 83,74 84,5 84,72 86,5 84,35 80,3 84,08 84,6 84,41 88,9 84,44 86,2 84,78 79,7 83,99 82,6 83,85 79,7 84,11 82,4 84,32 85,6 84, ,09 83,5 83, , ,94 83,2 85,34 87,2 84,09 80,2 83,51 84,2 84, ,04 85,7 84,92 81,6 83,92 85,2 83, ,89 82,2 83,84 83,5 84,77 84,4 83,7 87,2 83,91 84,8 84,01 81,6 83,72 80,1 84,16 84,4 84,19 83,5 84,12 83,6 84,42 86,2 84,04 82,2 84,08 82, ,3 84,07 81,8 84,27 85,4 84,38 88,6 84,4 88,9 84,67 82,9 83,77 85,9 84,02 82,1 84, ,16 80,9 83,68 84,7 83,44 88,2 84,18 81,4 83, ,21 85,1 83,54 82,9 83,7 83,5 84, ,43 85,2 84,11 87,1 84,28 81,5 83,59 87,2 84,82 85,8 83,77 85,3 84, ,58 83,4 83,58 83,7 84,59 84,2 83,89 84,3 84,19 76,5 83,51 87,7 84,33 87,3 84,9 83,5 83,74 82,3 83,85 82,7 83,62 81,8 83, ,9 86,5 84,17 89,7 84,47 85,1 83,69 79,6 83,23 90,5 85, ,51 84,8 84,94 83,3 83,58 85,8 83,46 80,7 85,18 80,4 83,93 83,1 85,03 90,4 84,4 77,9 82,82 83,1 85,31 85,7 83,96 80,6 84, ,61 89,7 83,5 86,5 85,37 86,7 84,42 87,4 84,77 80,3 83,55 85,4 83, ,55 86,7 84,95 86,8 84,95 79,8 83,02 86,3 83,91 77,5 84,95 82,3 84,68 83,5 84, ,21 80,7 83,83 84,7 84,7 86,4 84,74 86,2 84,87 83,7 83,18 83,8 83,87 84,6 84,79 82,5 84,57 84,1 84,85 80,9 83,62 90,5 84,15 87,2 84, ,42 82,3 84,85 87,3 84,08 Cálculo das médias de conjuntos de 10 obs consecutivas.

43 0,36 0,32 1,09 0,43 0,52 0,21 0,87 1,32 1,33 0,36 1,11 1,3 1,81 0,93 0,12 0,64 0,36 0,75 0,67 0,58 1,02 0,13 1,01 0,37 0,21 0,39 0,74 0,03 0,29 0,38 0,98 0,75 0,91 0,22 1,87 0,44 0,43 0,64 0,2 0,66 0,17 1,24 0,17 0,37 0,04 0,23 0,15 0,17 0,16 0,6 0,97 0,02 0,96 0,12 0,93 0,72 0,08 0,78 0,8 0,02 0,98 0,15 0,13 0,54 0,5 0,21 0,79 0,3 0,08 0,51 0,81 0,38 0,34 1,01 0,67 0,29 0,26 0,71 0,55 0,78 0,49 0,1 0,68 0,05 1,15 0,58 0,82 0,53 0,3 1,07 0,3 0,9 1,01 0,33 0,3 0,01 0,68 1,46 0,79 0,78 0,61 0,66 0,76 0,11 0,95 0,4 1,25 1,04 0,42 0,17 1,06 0,27 1,35 0,3 0,61 0,13 0,13 1,37 1,13 0,74 0,52 0,21 0,88 1,25 0,67 1,07 0,24 0,12 0,97 0,79 1,4 0,29 0,2 0,68 0,66 0,11 0,18 0,12 0,68 1 0,46 0,43 0,37 0,45 0,11 0,01 1,47 1,38 0,62 0,4 0,33 1,33 0,9 0,03 0,45 0,87 2,48 0,8 0,54 0,1 0,18 1,01 1,04 0,43 0,3 0,51 1,33 1,94 1,24 0,97 1,39 0,29 0,9 0,64 0,82 0,61 0,57 0,76 0,86 1,53 0,5 0,95 0,63 1,1 1,2 0,64 0,42 0,94 0,16 1,1 0,53 Lista de referência de 191diferenças entre médias de conjuntos adjacentes de 10 obs Construir uma distribuição de referência para avaliação da significância da diferença observada!

44 Distribuição de Referência Diagrama de Pontos das 191diferenças entre médias de conjuntos adjacentes de 10 obs. Indicação dos pontos maiores (inclusive) que o valor da diferença observada igual a 1,3. Distribuição de Referência 1,8 1,2 0,6 0,0 Dif 0,6 1,2 1,8 2,4 Qual o nível de significância do valor 1,3?

45 Distribuição de Referência Distribuição de Referência 1,8 1,2 0,6 0,0 Dif 0,6 1,2 1,8 2,4 A diferença observada entre as médias das respostas de produção dos dois Métodos é significante ao nível de 9/191=0,047=4,7% há evidência amostral para concluir que a média de produção via o Método B é significativamente maior que aquela via o Método A.

46 Análise do Experimento Industrial Método p Testes Clássicos Teste "t" 0,195 Mann Whitney 0,236 t d s d s c d 1 n 1 1 n 2 1,3 1,47 0,88 ~ t ( n n 1 2 2) Distr. Referência Conjuntos Adjacentes 0,047 d 1,3 ~ distr. referência Compare os resultados e as premissas adotadas em cada caso.

47 Experimentos Comparativos Observações Correlacionadas Y y... n y n y... y 1 / n n j n E n n Y j j V Y 2 2 j j 2 i j i j ij j 1 j 1 i 1 j i 1 n n 2 2( n 1) V Y 1 1 n n modelo de autocorrelação de ordem 1 Testes t (sob premissas clássicas) não são válidos neste caso este teste não é robusto para fugas da suposição de independência entre as observações.

48 Y Y,...,, 2 Experimentos Comparativos Observações Correlacionadas Y n 1 : amostra de n observações da população P V Y iid 2 n autocorr 2 1 2( n 1) V Y 1 1 n n c 2( n 1) 1 1 n Fator de correção no erro padrão devido à estrutura de autocorrelação de ordem 1

49 Y(t) Análise do Experimento Industrial 92,5 Diagrama de Dispersão Série passada 90,0 87,5 85,0 82,5 80,0 77,5 75,0 75,0 77,5 80,0 82,5 85,0 Y(t1) 87,5 90,0 92,5 1 0,29 0,48 0, 70 2( n 1) ,29 c n 10 Ao incorporar a estrutura de autocorrelação de ordem 1 na análise (via os dados da distribuição externa) houve uma redução no erro padrão de 30% ganho em precisão significância do valor amostral 1,3 passou de p=0,195 para 0,047

50 Construção de uma Distribuição de Referência Externa Baseada na Distribuição t Uma outra alternativa de uso dos dados da série passada de observações

51 OBS Uso dos Dados Externos para Cálculo do Fator de Escala da Estatística t Obter k=10 diferenças entre médias de conjuntos adjacentes de 10 obs para todas as possíveis seqüências disjuntas de 20 observações Pule uma obs para tornar os conjuntos aproximadamente independentes Usar estes valores de referência para calcular o desvio padrão das diferenças entre médias Adotar o valor obtido como o fator de escala na estatística a seguir: t d s d ~ t( k 1) fator de escala d s 2 d Y B Y 1 k 1 A k d j d j 1 2

52 Obs Média Obs Média Obs Média Obs Média Obs Média Obs Média 85,5 84,5 84,42 80,5 84,53 79,5 83,72 84,8 84,36 81,1 83,68 81,7 82,4 84,7 86,1 84,09 86,7 83,89 86,6 84,54 85,6 83,91 80,6 86,7 84,79 82,6 84,28 80,5 83,9 83,5 84,58 86,6 83,53 84, ,3 85,4 84,51 91,7 84,5 78,1 84, ,43 88,2 81,8 84,51 84,7 84,33 81,6 83,99 88,8 84,47 86,6 84,06 84,9 89,3 84,9 82,8 83,61 83,9 83,71 81,9 83,98 83,3 84,41 81,8 79,3 84,2 81,9 84,05 85,6 84,04 83,3 83,96 83,1 83,82 84,9 82,7 84,4 83,6 83,94 84,8 83, ,34 82,3 83,68 85, ,82 86,8 84,16 78,4 83,47 87,2 83,65 86,7 84,26 81,9 83,94 79,6 83, ,84 89,9 84,26 83,3 83,75 80,2 83,55 89,4 84,33 87,8 84,06 84,2 84, ,81 86,6 83, ,06 83,6 84,18 82,8 83,88 86,2 84,76 79,5 83,22 81,4 84,14 79,5 83, , ,01 84,1 83,28 84,8 84,15 83,3 83, ,58 85,4 84,38 82,2 83,69 85,9 83,92 88,4 84,15 84,7 83,58 84,4 84,66 90,8 83, ,23 86,6 83,88 84,4 83,74 84,5 84,72 86,5 84,35 80,3 84,08 84,6 84,41 88,9 84,44 86,2 84,78 79,7 83,99 82,6 83,85 79,7 84,11 82,4 84,32 85,6 84, ,09 83,5 83, , ,94 83,2 85,34 87,2 84,09 80,2 83,51 84,2 84, ,04 85,7 84,92 81,6 83,92 85,2 83, ,89 82,2 83,84 83,5 84,77 84,4 83,7 87,2 83,91 84,8 84,01 81,6 83,72 80,1 84,16 84,4 84,19 83,5 84,12 83,6 84,42 86,2 84,04 82,2 84,08 82, ,3 84,07 81,8 84,27 85,4 84,38 88,6 84,4 88,9 84,67 82,9 83,77 85,9 84,02 82,1 84, ,16 80,9 83,68 84,7 83,44 88,2 84,18 81,4 83, ,21 85,1 83,54 82,9 83,7 83,5 84, ,43 85,2 84,11 87,1 84,28 81,5 83,59 87,2 84,82 85,8 83,77 85,3 84, ,58 83,4 83,58 83,7 84,59 84,2 83,89 84,3 84,19 76,5 83,51 87,7 84,33 87,3 84,9 83,5 83,74 82,3 83,85 82,7 83,62 81,8 83, ,9 86,5 84,17 89,7 84,47 85,1 83,69 79,6 83,23 90,5 85, ,51 84,8 84,94 83,3 83,58 85,8 83,46 80,7 85,18 80,4 83,93 83,1 85,03 90,4 84,4 77,9 82,82 83,1 85,31 85,7 83,96 80,6 84, ,61 89,7 83,5 86,5 85,37 86,7 84,42 87,4 84,77 80,3 83,55 85,4 83, ,55 86,7 84,95 86,8 84,95 79,8 83,02 86,3 83,91 77,5 84,95 82,3 84,68 83,5 84, ,21 80,7 83,83 84,7 84,7 86,4 84,74 86,2 84,87 83,7 83,18 83,8 83,87 84,6 84,79 82,5 84,57 84,1 84,85 80,9 83,62 90,5 84,15 87,2 84, ,42 82,3 84,85 87,3 84,08 Cálculo das 10 diferenças entre médias de conjuntos independentes de observações consecutivas

53 Análise do Experimento Industrial Média_A Média_B Dif(BA) 83,94 83,51 0,43 83,99 84,42 0,43 84,18 84,01 0,17 85,18 84,28 0,9 83,58 84,38 0,8 84,42 83,99 0,43 84,72 84,21 0,51 84,78 83,96 0,82 84,09 84,58 0,49 83,62 84,26 0,64 Experimento 84,24 85,54 1,3 2 s d d Y B Y A t 2 s d d s 2 2 0,43 0 0, ,64 0 d 1,3 0,36 2,17 10 ~ t 2 0,36 ( 10) p 0,028

54 Análise do Experimento Industrial Método p Testes Clássicos Teste "t" 0,195 Mann Whitney 0,236 Distr. Referência Conjuntos Adjacentes 0,047 Conj. Adj. Disjuntos 0,028 Pontos de Discussão: Utilidade de cada metodologia de teste Limitações Outras alternativas

55 Testes de Aleatorização Gary Oehlert (2010) Suponha que os tratamentos foram A B A_P B_P aleatorizados às n=20 observações (DCA) 89,7 84, ,4 86,1 Sob a hipótese 3 de 14 aleatorização, é possível 84,5 83,2 construir 9,5 uma distribuição 6 de referência com base 84,8 91,9 nos possíveis 12 resultados 20amostrais que poderiam 87,3 86,3 ter ocorrido: 16 das 2015 observações selecionar 79,7 79,3 aleatoriamente 2 10 para comporem 1 A e as restantes 85,1 82,6 para B ,7 89, ,7 83,7 Adote uma 7,5estatística de 7,5teste da não existência de 84,5 88,5 efeito de tratamento; 9,5 17 Calcule esta 95,5 estatística 114,5 para cada possível amostra gerada; Na distribuição de referência construída calcule o pvalor.