Delineamento e Análise Experimental Aula 4

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1 Aula 4 Castro Soares de Oliveira

2 ANOVA Significativa Quando a aplicação da análise de variância conduz à rejeição da hipótese nula, temos evidência de que existem diferenças entre as médias populacionais. Mas, entre que médias se registram essas diferenças?

3 ANOVA Significativa Quando a aplicação da análise de variância conduz à rejeição da hipótese nula, temos evidência de que existem diferenças entre as médias populacionais. Mas, entre que médias se registram essas diferenças? Tratamentos Qualitativos ANOVA Tratamentos Quantitativos Comparações Multiplas Análise de Regressão

4 Teste de Comparação Múltipla Quando a anova é significativa e o fator em estudo no experimento é uma variável qualitativa o procedimento apropriado é o das comparações entre as médias dos tratamentos através de testes de comparações múltiplas. Os testes de comparação múltipla permitem verificar entre que médias se registram diferenças, isto é, permitem investigar onde se encontram as diferenças possíveis entre I médias populacionais.

5 Teste de Comparação Múltipla Os tipos de experimentos para os quais os procedimentos de comparações múltiplas de médias são apropriados, são aqueles cujo objetivo é determinar os melhores tratamentos dentro de um conjunto qualitativo de tratamentos. Existem vários procedimentos que permitem fazer comparações múltiplas.

6 Teste de Comparação Múltipla A grande questão em qualquer discussão de procedimentos de comparações múltiplas é a questão da a probabilidade de erros Tipo I α = P [rejeitar H 0 H 0 é verdadeira] Ao se controlar de forma excessiva esse tipo de erro, aumenta-se a taxa de erro tipo II e diminui-se o poder do teste, sendo o teste, nesse caso, denominado conservativo ou conservador Ao se aumentar a taxa de erro tipo I, diminui-se a taxa de erro tipo II e o poder é aumentado, sendo considerado um teste poderoso ou liberal Os procedimentos de comparação múltipla são formulados de forma de controlar a taxa de erro tipo I.

7 Teste de Comparação Múltipla Existem dois tipos de testes de comparação múltipla: Comparação a priori ou estruturado que é definida pelo pesquisador antes de obter os dados Comparação a posteriori ou não-estruturada que é definida pelo pesquisdor depois de obter os dados

8 Constraste Definição Uma combinação linear de médias cujos coeficientes somam zero constitui um contraste de médias, denotado por em que n C = a i µ i i=1 n a i = 0 i=1

9 Constraste Exemplo Considere um experimento com 3 tratamentos, assim, temos µ 1, µ 2, µ 3. Podemos obter os seguintes contrastes: C 1 = µ 1 µ 2 C 2 = µ 1 + µ 2 2µ 3 C 3 = 1 2 (µ 3 + µ 2 ) µ 1

10 Constraste A variância de um contraste é dada por Var(C) = n i=1 a 2 i r QMErro Sejam dois contrastes: C 1 = n a i µ i C 2 = i=1 n b i µ i i=1 Sua covariância é dada por Cov(C 1, C 2 ) = n i=1 a i b i r QMErro

11 Teste t O teste t pode ser utilizado para testar contrastes A estatística do teste é dada por: t c = C VAR(C) t IJ I A região crítica de um teste de nível de significância α é dada por: t c > t α,ij I

12 Teste t (Exemplo) Tabela 1: Tabela de análise de variância para estudo do efeito da glicose na liberação de insulina FV GL SQ QM F c valor-p Tratamento 2 10,2967 5,1483 9,3054 0,0064 Erro 9 4,9794 0,5533 Total 11 15,2761

13 Teste t (Exemplo) Tabela 2: Valores médios do efeito da glicose na liberação de insulina Tratamento ȳ i. baixo 2,23 médio 3,44 alto 4,50

14 Teste t (Exemplo) Assim, podemos ter os seguintes contrastes: Ĉ 1 = m 1 m 2 = 2, 23 3, 44 = 1, 21 Ĉ 2 = m 1 m 3 = 2, 23 3, 44 = 2, 27 Ĉ 3 = m 2 m 3 = 3, 44 4, 50 = 1, 06 As variâncias dos contrastes são: var(ĉ1) = 12 + ( 1) 2 0, 5533 = 0,

15 Teste t (Exemplo) Na tabela abaixo verifica-se que apenas o C 2 tem valorp<0,05, desta forma apenas o tratamento baixo difere do tratamento alto. Constrantes Estimativa do Constraste valor-p C 1-1,21 0,1088 C 2-2,27 0,0051 C 3 1,06 0,1627

16 Teste de Tukey Tukey (1953) propôs um procedimento para testar hipóteses a partir de intervalos de confiança sobre as diferenças em todos pares de médias. A estratégia de Tukey consiste em definir a diferença mínima significativa (DMS). O teste de Tukey talvez seja o teste mais utilizado nos experimentos. Talvez isso aconteça pela sua praticidade e objetividade.

17 Procedimentos para aplicar o Teste de Tukey Calcular o diferença minima significativa (DMS) QMEerro DMS = q, r em que q é o valor tabelado em função do número de tratamentos I e do numero de graus de liberdade do erro r é o número de repetições respectivamente de todos os tratamentos

18 Procedimentos para aplicar o Teste de Tukey 1 Ordenar as médias em ordem decrescente 2 Calcular a DMS. 3 Colocar uma letra qualquer para a primeira média. Esta será a primeira média base 4 Obter o limite inferior (LI) fazendo a diferença entre cada média base e a DMS LI = X (1) DMS As médias que estiverem no intervalo entre a [X (1) ; LI] são consideradas iguais 5 Mudar a média base para a próxima média (sem saltar nenhuma) e repetir o Passo 3 e 4 até que a base seja a última média ou o intervalo contenha a última média.

19 Teste Tukey (Exemplo) No exemplo da insulina Tratamento Média repetições Alto 4,5 4 Médio 3,43 4 Baixo 2,23 4 Considerando α = 0, 05 temos DMS = 1, 47 Temos 4,5-1,47=3,03, assim as médias dos tratamento Alto e Médio podem ser consideradas iguais, mas as médias dos tratamentos Alto e Baixo são consideradas diferentes Temos 3,43-1,47=1,96, assim as médias dos tratamento Médio e Baixo podem ser consideradas iguais

20 Teste Tukey (Exemplo) Assim, o resultado do teste de Tukey é dados por: Médias seguidas de mesma letra não difere entre si ao nível nominal de m 5% de significância Tratamento Média Alto 4,5a Médio 3,43ab Baixo 2,23 b

21 Teste de Dunnett Dunnett (1955) propôs um procedimento para comparações múltiplas onde o interesse é o de comparar um grupo particular (muitas vezes o chamado grupo de controle) com cada um dos restantes grupo. A significância deste teste implicará apenas na conclusão de que os grupos tratados apresentam diferença com o grupo controle.

22 Procedimentos para aplicar o Teste de Dunnett Calcular o diferença minima significativa (DMS) DMS = D 2 QMEerro, r em que D é o valor tabelado por Dunnet em função I 1 graus de liberdade dos tratamentos envolvidos e do numero de graus de liberdade do erro r é o número de repetições respectivamente de todos os tratamentos

23 Procedimentos para aplicar o Teste de Dunnett Calcular as estimativas dos contrastes Ŷ 1 = ˆm 1 ˆm controle Ŷ 2 = ˆm 2 ˆm controle. =. Ŷ i = ˆm i ˆm controle Comparar o valor absoluto de cada estimativa do contraste com o valor DMS. Se Ŷ DMS o teste é significativo indicando que o grupo tratado difere do grupo controle. Se Ŷ < DMS então o grupo controle não difere do grupo tratado.

24 Teste de Dunnett (Exemplo) No exemplo da insulina considerar o tratamento baixo como controle Tratamento Média repetições Alto 4,5 4 Médio 3,43 4 Baixo 2,23 4 DMS = 1, 22 Ŷ 1 =4,5-2,23=2,27; como Ŷ1 > 1, 24 temos que as médias dos tratamentos Alto e Baixo são considerados diferentes Ŷ 3 =3,43-2,23=1,2, como Ŷ3 < 1, 22 temos que as médias dos tratamentos Médio e Baixo são considerados iguais

25 Teste de Scott-Knott Scott & Knott (1974) propuseram um procedimento que compara as médias dos tratamentos por conglomerados e sua significância é analisada por meio do da distribuição de χ 2 A grande vantagem em sua utilização é proveniente do fato de que nenhuma média pode pertencer a mais de um agrupamento, como ocorre nos anteriores, ou seja, o teste determina a constituição de grupos disjuntos, sempre que for encontrada significância na ANOVA.

26 Teste de Scott-Knott (Exemplo) Assim, o resultado do teste de Scott-Knott é dado por: Médias seguidas de mesma letra não difere entre si ao nível nominal de m 5% de significância Tratamento Média Alto 4,5a Médio 3,43a Baixo 2,23 b

27 Experimentos com tratamentos quantitativos Os tratamentos são denominados quantitativos quando podem ser ordenados segundo um critério quantitativos, por exemplo teor de cálcio, épocas de colheita, espaçamentos, teor de carotenóides, doses de hormônios Se os tratamentos em estudo no experimento forem quantitativos deve-se utilizar a análise de regressão quando a ANOVA rejeita a hipótese nula.

28 Experimentos com tratamentos quantitativos A regressão é uma técnica de análise que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis quantitativas para determinar um modelo matemático de forma que o efeito de uma possa ser previsto por meio de outra variável. Na análise de experimentos, o modelo matemático mais empregado para tentar explicar o efeito dos tratamentos na variável resposta é o modelo polinomial (um valor está em função do outro). Os polinômios são da forma Y = β 0 + β 1 X + β 2 X β n X n A variável X, ou variável independente, é uma variável não aleatória corresponde aos tratamentos e a variável Y, ou variável dependente, que é a variável resposta.

29 Análise de Regressão Polinômio do 1 o grau ou Regressão linear Y = β 0 + β 1 X Polinômio do 2 o grau ou Regressão quadrática Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 Polinômio do 3 o grau ou Regressão cúbica Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + β 3 X 3

30 Análise de Regressão

31 Passos para Análise de Regressão Definir os efeitos de regressão a serem testados. A cada efeito de regressão corresponde 1 grau de liberdade. Assim, é possível testar tantos efeitos de regressão quantos são os graus de liberdade para tratamentos; Determinar as Somas de Quadrados para cada um destes efeitos de regressão; No quadro da Análise de Variância, testar os efeitos de regressão utilizando o Quadrado Médio do Erro Experimental; Através do teste F, definir o grau do polinômio que melhor se ajusta às médias da característica observada

32 Passos para Análise de Regressão Determinar o grau de ajuste, através do Coeficiente de Determinação (R 2 ) R 2 = SQRegresso SQTratamento Obter as estimativas dos parâmetros do modelo de Regressão escolhido e apresentar os resultados em um gráfico

33 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Um experimento com coelhos avaliou diferentes níveis de substituição da proteína do farelo de soja pela proteína do feno de amoreira (0; 25; 50; 75 e 100%) no peso de coelhos. Para isto foi utilizado um delineamento inteiramente casualizado com 5 repetições. repetição Tratamento 0% 25% 50% 75% 100% 1 1,69 1,26 1,49 1,49 1,43 2 1,51 1,85 1,74 0,98 1,47 3 1,88 1,92 1,50 1,68 0,87 4 1,97 1,60 1,51 1,78 1,10 5 1,80 1,69 1,67 2,01 1,16

34 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5

35 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Assumindo α = 0, 05 temos: FV GL SQ QM F c valor-p Tratamento 4 0,9074 0,2268 3,49 0,0254 Erro 20 1,2970 0,0648 Total 24 2,2044 Como valor p < 0, 05, rejeita-se H 0, logo podemos concluir ao nível de 5% que o peso é diferente em pelo menos um dos níveis dos tratamentos.

36 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Análise de variância com decomposição da Soma de Quadrado de Tratamento em regressões.

37 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Análise de variância com decomposição da Soma de Quadrado de Tratamento em regressões. FV GL SQ QM F c valor-p Tratamento 4 0,9074 0,2268 3,49 0,0254 linear 1 0,7248 0, ,18 0,0032 quadrático 1 0,0769 0,0769 1,19 0,2892 cubico 1 0,0849 0,0849 1,31 0,2661 Desvio 1 0,0208 0,0208 0,32 0,5772 Residuals 20 1,2970 0,0649 Pela ANOVA verifica-se que apenas o modelo linear foi significativo(valor p < 0, 05).

38 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Assim, o ganho médio de peso (Y ) em função dos percentuais de substituição da proteína (X) é dada por: Ŷ = 1, 80 0, 005X r 2 = 0, 80 Pelas estimativas do modelo verifica-se: Se o nível se substituição de proteína for zero o peso médio será de 1,80kg Para cada 1% de substituição de proteína na ração o peso do animal cai 0,005kg 80% da variabilidade do peso pode ser explicado de substituição de proteína.

39 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Um experimento avaliou o efeito de diferentes doses de hcg no peso do útero ajustados para o peso vivo em camundongas. Foram utilizadas 30 camundongas, com 22 dias de idade, em que os animais foram divididos em 6 grupos Cada grupo recebeu respectivamente 0, 10, 20, 30, 40 e 50 UI de hcg, via intra-peritoneal, no volume de 0,2mL, duas vezes ao dia, com um intervalo de 12 horas entre as aplicações, durante um dia. Aproximadamente 24 horas após a última injeção as camundongas foram individualmente pesadas e eutanasiadas em seguida foram obtidos os pesos dos úteros.

40 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Rep Doses ,52 0,99 1,28 1,37 1,27 1,02 2 0,52 0,99 1,29 1,40 1,31 0,98 3 0,52 0,97 1,30 1,41 1,26 1,06 4 0,50 0,99 1,29 1,40 1,33 0,97 5 0,48 1,02 1,28 1,43 1,33 0,98

41 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5

42 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Assumindo α = 0, 05 temos: FV GL SQ QM F c valor-p Tratamento 5 2,6817 0, ,73 <0,0001 Residuo 24 0,0148 0,00062 Total 29 2,6965 Como valor p < 0, 05, rejeita-se H 0, logo podemos concluir ao nível de 5% que o peso é diferente em pelo menos uma das doses de HCg.

43 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Análise de variância com decomposição da Soma de Quadrado de Tratamento em regressões. FV GL SQ QM F c valor-p Tratamento 5 2,6817 0, ,73 <0,0001 linear 1 0,879 0, ,4128 <0,0001 quadrático 1 1, , ,0081 <0,0001 cubico 1 0, , ,9083 0,3501 Desvio 2 0, , ,1705 0,8442 Residuals 24 0,0148 0,00062 Pela ANOVA verifica-se que apenas o modelo linear e quadrático foram significativo(valor p < 0, 05). Como o r 2 = 0, 67 modelo quadrático é maior eu o r 2 = 0, 33 do modelo linear, os dados podem ser representados pelo modelo quadrático.

44 Experimentos com tratamentos quantitativos (Exemplo) Assim, o peso (Y ) em função das doses de HCG (X) é dado por: Ŷ = 0, 5 + 0, 06X 0, 001X 2 r 2 = 0, 67 Pelas estimativas do modelo verifica-se: Se a dose de HCg for zero o peso médio será de 0,5g O peso maximo está em torno da 30 de HCg. 67% da variabilidade do peso pode ser explicado pelas doses de HCg.