Testes de Hipóteses sobre a média: Várias Amostras
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- Bruno Fidalgo Benevides
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1 Testes de Hipóteses sobre a média: Várias Amostras Na aula de hoje veremos como comparar mais de duas populações, baseados em dados fornecidos por amostras dessas populações. A Análise de Variância (ANOVA) é uma técnica usada em Estatística para este fim e requer que a variável sob análise tenha distribuição normal. Uma versão não paramétrica para a comparação de várias populações é o teste de Kruskal- Wallis que também será apresentado na aula de hoje. 1
2 EXEMPLO 1: (ÁLCOOL E HABILIDADE DE DIRIGIR) Trinta e seis (36) pessoas participaram de um experimento para descobrir os efeitos do álcool na habilidade de dirigir. Elas foram aleatoriamente associadas a uma de três condições: placebo, pouco álcool e muito álcool. A bebida não-alcoólica parecia e tinha o mesmo gosto das demais. Os participantes foram pesados e tomaram a quantidade apropriada de bebida. Observe que temos uma situação de amostras independentes (interparticipantes), pois os grupos são diferentes. Uma hora após beber, os participantes dirigiram em um simulador durante 10 minutos e o número de erros que eles cometeram foi automaticamente registrado por um computador. Os dados obtidos estão na tabela a seguir. 2
3 Placebo Pouco Álcool Muito Álcool x = 5, 83 x = 6, 17 x = 10, 25 s = 2, 69 s = 2, 33 s = 3, 05 Há diferença significativa entre am médias dos diferentes grupos (placebo, pouco álcool e muito álcool)? Em caso afirmativo, a diferença está presente entre todos os grupos ou em apenas um em relação aos demais? 3
4 Análise Exploratória dos dados: a seguir apresenta-se um box-plot(gráfico caixa) dos resultados para cada grupo. 4
5 Na ANOVA a um fator com amostras independentes, os dados podem ser representados da seguinte forma cond. 1 cond cond. a y 11 y y 1a y 21 y y 2a. y n1 1 y n y na a Como as amostras são independentes, elas podem ter tamanhos diferentes. a representa o número de condições diferentes. n j representa o número de observações sob a j-ésima condição, j = 1, 2,..., a y ij representa a i-ésima observação sob a j- ésima condição, i = 1, 2,..., n j e j = 1, 2,..., a. 5
6 O nome em Estatística para um experimento com essa cofiguração é experimento a um fator completamente aleatorizado. No Bioestat a função apropriada para esse caso está em Estatísticas, Análise da Variância, ANOVA:um critério. 6
7 Um teste de hipóteses apropriado aqui é { H0 : µ 1 = µ 2 =... = µ a H 1 : pelo menos uma das médias é diferente das demais µ j corresponde à média do j-ésimo grupo. Neste exemplo temos três grupos tal que j = 1, 2, 3. A técnica que iremos trabalhar, Análise de Variância (ANOVA) requer que as amostras provenham de populações normais com variâncias iguais. O Bioestat tem testes que verificam a normalidade. A ANOVA busca por diferenças entre as médias dos grupos. Quando as médias são bem diferentes, dizemos que existe um alto grau de variação entre condições. Se não existirem diferenças entre as médias dos grupos, não existirá variação entre as condições. 7
8 Variância entre grupos: corresponde à variação devida às condições que definem os grupos. Variância intra-grupos: corresponde à variação dentro de cada grupo. Na ANOVA a um fator com amostras independentes a variação total é decomposta em duas parcelas correspondentes à variação entre grupos e à variação intra-grupos. SQ T ot }{{} variação total = SQ entre }{{} variação entre grupos + SQ dentro }{{} variação dentro dos grupos Se a hipótese nula de que todas as médias são iguais, isto é, de que não há variação entre grupos, é verdadeira, segue que a variação dentro dos grupos tende a ser igual à variação total. 8
9 Notação: SQ T ot : variação total, SQ entre : variação entre grupos e SQ dentro : variação intra grupos. QM T ot = SQ T ot : é uma média da variação total. N 1 N é o número total de observações no problema. No exemplo que estamos considerando N = 3 12 = 36. QM entre = SQ entre : é uma média da variação a 1 entre grupos, chamada quadrado médio entre grupos. a é o número de grupos (condições) no problema. No exemplo que estamos considerando a = 3. QM dentro = SQ dentro : é uma média da variação N a intra grupos, chamada quadrado médio intra grupos. 9
10 A estatística do teste realizado pela ANOVA é dada pela razão dos quadrados médios entre grupos e intra grupos, a saber, F = QM entre QM dentro. Se a hipótese nula é verdadeira, é possível mostrar que a estatística F tem uma distribuição F de Snedecor com a 1 e N a graus de liberdade no numerador e denominador, respectivamente. Se a hipótese nula é verdadeira, espera-se que a razão entre os quadrados médios entre e dentro dos grupos seja pequena. Em geral, rejeitaremos H 0 quando os valores amostrais de F forem grandes. 10
11 A Distribuição F de Snedecor A distribuição F está definida para valores positivos e apresenta assimetria positiva. A seguir veja um gráfico da densidade F com 4 e 2 graus de liberdade. 11
12 Usando um nível de significância α, a Região Crítica do teste da ANOVA será a cauda superior da distribuição F a 1,N a de área α. 12
13 Na ANOVA é comum apresentar os resultados usando uma tabela chamada tabela ANOVA. Esta tabela contém as seguintes informações: fontes de variação, graus de liberdade, quadrados médios e a razão F. fonte de variação SQ gl QM F entre grupos SQ entre a 1 QM entre F = QM entre QM dentro dentro dos grupos (residual) SQ dentro N a QM dentro total SQ T ot N 1 QM entre = SQentre a 1, QM Dentro = SQ dentro N a Se o valor de F for grande, H 0 será rejeitada. 13
14 Uma outra medida que também decorre da análise de variância é a chamada porcentagem da variação total explicada pelo fator sob consideração. Vimos que SQ T ot }{{} variação total = SQ entre }{{} variação entre grupos + SQ dentro }{{} variação dentro dos grupos Essa equação leva à seguinte definição R 2 = SQ entre SQ T ot Observe que R 2 está entre 0 e 1. Quanto maior for o valor de R 2, mais o fator explica a variação dos dados no problema. 14
15 O Bioestat tem a função ANOVA. No caso do exemplo apresentado devemos escolher: Estatísticas, Análise da Variância, ANOVA: um critério. O quadro a seguir mostra a saída do Bioestat para os dados do exemplo sob consideração. 15
16 Do quadro anterior podemos ver que o p-valor do teste ANOVA é muito pequeno (menor que 0,001), indicando que esses dados trazem evidência muito forte contra a hipótese nula de que as médias sob as diferentes condições são iguais. Observe que o valor da estatística de teste F também é grande. Logo, devemos rejeitar H 0 em favor da hipótese alternativa de que pelo menos uma das médias é diferente das demais. Se a hipótese nula, médias iguais, for rejeitada, significa que há evidência de que existem diferenças nas médias de tratamento. Observe que a hipótese alternativa é bastante vaga: pelo menos uma média é diferente das demais. A diferença existente não é especificada por H 1. 16
17 Dado que rejeitamos H 0, será importante saber, por exemplo, se as médias são duas a duas diferentes entre si, ou se uma delas é diferente das demais, ou outras possibilidades contempladas por H 1. Existem vários testes de comparação das médias duas a duas, no caso de rejeição de H 0 na ANOVA. Vamos apresentar aqui o teste de Tukey. 17
18 Comparações de pares de médias de tratamento Vamos ver a seguir o método de Tukey designado para este tipo de comparação: { H0 : µ i = µ k, i k H 1 : pelo menos um par de médias é desigual. Teste de Tukey (1953): Procedimento para o qual o nível de significância global é exatamente α, quando os tamanhos amostrais são iguais e no máximo α, quando os tamanhos são desiguais. Este procedimento também pode ser usado para construir intervalos de confiança sobre as diferenças de todos os pares de médias. Para estes intervalos, o nível de confiança simultâneo é 100(1 α)% para amostras de tamanhos iguais e pelo menos 100(1 α)% para amostras de tamanhos desiguais. 18
19 O procedimento de Tukey usa a distribuição da estatística de variação studentizada q = ȳmax ȳ min QM dentro /n, com ȳ max e ȳ min a maior e a menor entre as médias de tratamento. Para tamanhos amostrais iguais, o teste de Tukey declara que duas médias são significativamente diferentes se o valor absoluto da diferença amostral excede QMdentro T α = q α (a, N a) n. Valores de q α (a, N a) são tabulados em textos especializados de Estatística e também estão disponíveis em programas computacionais. 19
20 Atenção: É possível ocorrer a seguinte situação: (i) rejeita-se H 0 via ANOVA. (ii) não são encontradas diferenças significativas quando se comparam as médias duas a duas. Esta situação tem uma explicação, pois o teste F é um teste simultâneo de todos as comparações possíveis e não apenas das médias duas a duas. Se isso ococrrer significa que o contraste significativo não será uma comparação simples de duas médias. 20
21 Rodando as comparações, via teste de Tukey, dos pares de médias dos diferentes grupos para o problema sob estudo no Bioestat obtemos o seguinte quadro: 21
22 Pela saída no Bioestat podemos concluir que a média sob a condição muito álcool é significativamente diferente das outras duas médias, mas as médias sob as condições placebo e pouco álcool não são significativamente diferentes. Na saída do programa temos um resumo da tabela ANOVA, as médias amostrais em cada grupo e as linhas comparando os pares de médias duas a duas. ns representa não significativo. Assim, as médias sob placebo e pouco álcool não são significativamente diferentes. Observe também, pelo quadro anterior, que R 2 145, 167 = 0, 375 ou 37,5%. 145, ,
23 EXEMPLO 2: Um laboratório farmacêutico deseja investigar a bioatividade de uma nova droga. Um experimento a um fator completamente aleatorizado foi conduzido com três níveis de dosagem da droga, e os resultados obtidos estão na tabela a seguir. 20 g 30 g 40 g (a) Há evidências para indicar que os níveis de dosagem afetam a bioatividade? Use α = 0, 05. (b) Se a sua resposta foi afirmativa, faça comparações entre os pares de média. Que conclusões você pode tirar? 24
24 Saída do Bioestat: FV gl SQ QM F p-valor dose * Residuals Concluímos, ao nível de significância de 5% que há efeito de dosagem na bioatividade. A porcentagem da variação total explicada pela dosagem é dada por 0, 61 ou 61%. 450,7 450,7+288,2 25
25 (b) Vamos usar o prodedimento de Tukey para comparar as médias duas a duas. Saída do Bioestat: diferença p-valor Observa-se que a diferença existe entre a dosagem menor e a dosagem maior. Entre dosagens consecutivas, a diferença não é significativa. 26
26 Além disso, pelos efeitos estimados, concluímos que maior é a dosagem, maior será a bioatividade. 27
27 Amostras relacionadas: experimento intraparticipantes: Como fica? Em Estatística o nome usado para esse tipo de situação é Experimento a um fator em Blocos Completos Aleatorizados. No Bioestat usa-se a seguinte função para esse caso: Estatisticas, Análise da Variância, ANO- VA:dois critérios. Suponha agora que no experimento do exemplo anterior participam apenas 12 pessoas e que em intervalos de tempo espaçados elas sejam submetidas, em ordem aleatória, a cada uma das condições: placebo, pouco álcool e muito álcool. Ou seja, agora são as mesmas pessoas que são observadas sob cada condição. 28
28 Nesse caso as amostras não são independentes e além da variação entre grupos e dentro do grupos, passamos a poder medir uma variação inerente a cada participante (variação de linha, também chamada variação devido aos blocos). Observe que agora as amostras sob cada condição terão tamanhos iguais. Na ANOVA a um fator com amostras relacionadas(medidas repetidas), os dados podem ser representados da seguinte forma cond. 1 cond cond. a y 11 y y 1a y 21 y y 2a. y n1 y n2... y na Como as amostras são as mesmas, elas têm tamanhos iguais. 29
29 cond. 1 cond cond. a y 11 y y 1a y 21 y y 2a. y n1 y n2... y na a representa o número de condições diferentes. n representa o número de observações sob cada condição. N = an é o número total de observações. y ij representa a i-ésima observação sob a j- ésima condição, i = 1, 2,..., n e j = 1, 2,..., a. 30
30 Na ANOVA a um fator com amostras relacionadas a variação total é decomposta em três parcelas correspondentes à variação entre grupos, a variação inerente a cada participante (variação dos blocos) e a variação residual. SQ }{{ T ot } = SQ }{{ entre } + SQ }{{} Bl + SQ }{{ res } variação total variação entre grupos variação do indivíduo variação residual Notação: SQ T ot : variação total, SQ entre : variação entre grupos, SQ Bl - variação nos blocos (individual) e SQ dentro : variação residual (dentro de cada grupo). QM T ot = SQ T ot : é uma média da variação total. N 1 N é o número total de observações no problema. QM entre = SQ entre : é uma média da variação entre grupos, chamada a 1 quadrado médio entre grupos. a é o número de grupos (condições) no problema. QM Bl = SQ Bl n 1 : é uma média da variação dos blocos, chamada quadrado médio dos blocos. n é o número de observações (igual) sob cada condição. SQ dentro QM dentro = : é uma média da variação residual, chamada (a 1)(n 1) quadrado médio residual ou intra grupos. 31
31 A estatística do teste realizado pela ANOVA nesse caso é dada pela razão dos quadrados médios entre grupos e residual, a saber, F = QM entre QM dentro. Se a hipótese nula é verdadeira, é possível mostrar que a estatística F tem uma distribuição F de Snedecor com a 1 e (a 1)(n 1) graus de liberdade no numerador e denominador, respectivamente. Se a hipótese nula é verdadeira, espera-se que a razão entre os quadrados médios entre e dentro dos grupos seja pequena. Em geral, rejeitaremos H 0 quando os valores amostrais de F forem grandes. 32
32 A tabvela ANOVA correspondente a esse caso é dada por fonte de variação SQ gl QM F entre grupos SQ entre a 1 QM entre F = QM entre QM dentro blocos (individual) SQ Bl n 1 QM Bl dentro dos grupos (residual) SQ dentro (a 1)(n 1) QM dentro total SQ T ot N 1 QM entre = SQ entre a 1, QM Dentro = SQ dentro (a 1)(n 1) Se o valor de F for grande, H 0 será rejeitada. O Bioestat tem essa função. Estatísticas, Análise da Variância, ANOVA: dois critérios. 33
33 O quadro a seguir mostra a saída do Bioestat para os dados do exemplo sob consideração. Podemos perceber que o teste ANOVA rejeita H 0, pois o p-valor é muito pequeno. Logo, faz sentido realizar as comparações de médias duas a duas. 34
34 O quadro a seguir mostra a saída do Bioestat usando o procedimento de Tukey. 35
35 Cuidado: toda vez que as medidas forem repetidas para as mesmas unidades amostrais é fundamental rodar a ANOVA a dois critérios, pois caso contrário a variação dentro dos grupos poderá ficar inflacionada acarretando na não rejeição de H 0 um maior número de vezes por conta da variação residual inflacionada, ou seja, aumentando a chance de cometer o erro tipo II. Se as amostras forem relacionadas, ou seja, se for um experimento intra-participantes, rode o a ANOVA a dois critérios. 36
36 Vamos agora apresentar um método não-paramétrico para a análise de variância (ANOVA): O teste de Kruskal-Wallis Em situações nas quais a suposição de normalidade não é justificada, existe um procedimento alternativo ao teste F da ANOVA que não depende desta suposição. Um procedimento desse tipo foi desenvolvido por Kruskal e Wallis em Neste teste, H 0 corresponde à hipótese de que os a tratamentos (grupos ou condições) são idênticos versus a alternativa de que algum tratamento (grupo ou condição) gera observações que são maiores que as outras geradas pelos outros tratamentos (grupos ou condições). 37
37 Como este procedimento é designado para ser sensível para testar diferenças em médias, algumas vezes é conveniente pensar no teste de Kruskal-Wallis como um teste para a igualdade de médias de tratamento (grupo ou condição). Este teste é uma alternativa não-paramétrica à ANOVA usual. Passos no teste Kruskal-Wallis P1) Designe postos r ij às observações y ij em ordem crescente das observações. Em caso de empate, designe às observações empatadas a média dos postos correspondentes caso não houvesse empate. y ij representa a i-ésima observação do j-ésimo grupo. 38
38 P2) Calcule a soma dos postos para cada tratamento (grupo ou condição), a saber, r i. = n i r ij, i = 1, 2,..., a. j=1 P3) Calcule a estatística de teste H dada por H = 1 S 2 {N } [ a a ( R i. R.. ) 2 = 1 Ri. 2 S 2 n i=1 i i=1 ] N(N + 1)2 com n i o número de observações no i-ésimo tratamento (grupo), N o número total de replicações, e S 2 = 1 a N 1 i=1j=1 n (R ij R.. ) 2 = 1 N 1 a n i i=1j=1 R 2 ij 4 N(N + 1)2 4 Observe que S 2 é a variância amostral dos postos. Se não existem empates, S 2 = N(N + 1)/12 e a estatística de teste simplifica para H = 12 N(N + 1) a i=1 R 2 i. n i 3(N + 1). 39.
39 Quando o número de empates é moderado, haverá pouca diferença entre as duas expressões para H e a forma mais simples pode ser usada. Se os n i s são razoavelmente grandes, digamos n i 5, i, a distribuição de H é aproximadamente uma Qui-quadrado com a 1 graus de liberdade sob H 0. Portanto, a região crítica do teste a um nível α de significância, será dada por H χ 2 (1 α),a 1. O p-valor também pode ser usado. :) Calma: o Bioestat contém esse teste e você não precisará se preocupar em designar postos e calcular a estatística H. 40
40 Vamos rodar o teste proposto por Kruskal- Wallis no Bioestat. Estatísticas seguido de Análise da Variância seguido de Kruskal-Wallis. Indique as colunas contendo os dados e execute para obter Como podemos ver o p-valor é pequeno, indicando que os dados trazem evidência muito forte contra H 0. 41
41 Novamente, como H 0 é rejeitada, faz sentido em comparar os pares de médias duas a duas. No Bioestat há dois testes disponíveis: Dunn e Student-Newman-Keuls. Rodando o procedimento porposto por Dunn obtém-se 42
42 Referências bibliográficas: (1) Busssab e Morettin - Estatística Básica. Editora Saraiva (2) Triola. Introdução à Estatística. LTC. (3) Dancey e Reidy - Estatística sem Matemática para Psicologia - Penso 43
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