Aula 8. Teste Binomial a uma proporção p

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1 Aula 8. Teste Binomial a uma proporção p Métodos Estadísticos 2008 Universidade de Averio Profª Gladys Castillo Jordán Teste Binomial a uma Proporção p Seja p ˆ = X n a proporção de indivíduos com uma certa característica de interesse numa amostra aleatória de dimensão n, e p a proporção de indivíduos com essa característica na população : p = p 0 vs. H 1 : p p 0 : p = p 0 vs. H 1 : p < p 0 : p = p 0 vs. H 1 : p > p 0 teste bilateral teste unilateral (inferior) teste unilateral (superior) Estatística do Teste Exacto: se n <30 Estatística do Teste Aproximado (com base no TLC): se n>>30 2 1

2 Procedimentos Existem 3 procedimentos para realizar um teste de hipótese ao nível de significância α : 1. Com base na região crítica RC Rejeitar H se o valor t 0 obs encontra-se na RC (t obs - o valor da estatística do teste para os dados observados) 2. Através do p-value Rejeitar se p-value α 3. Através de intervalos de confiança (válido apenas para testes bilaterais) Rejeitar H se o valor do parâmetro especificado em 0 não pertencer ao intervalo de confiança 3 Procedimento usando RC 1. Identificar o parâmetro de interesse e especificar e H 1 2. Escolher uma estatística de teste, T, com distribuição conhecida (admitindo que é verdadeira) 3. Identificar a região de rejeição RC 4. Calcular t obs - o valor que T assume para os dados observados 5. Tomar decisão: rejeitar se o valor t obs encontra-se na RC 6. Concluir 4 2

3 TH para uma Proporção p Teste baseado na Região Crítica. Amostras Grandes Teste Paramétrico 1. Identificar o parâmetro de interesse e especificar as hipóteses e H 1 Parâmetro de interesse - p, nível de significância - α 2. Escolher uma estatística do teste T com distribuição conhecida admitindo que é verdadeira Estatística para Teste Aproximado pelo TLC: (n>>30) 3. Identificar a região crítica RC se H 4. Calcular t obs (valor de T para 1 : p p 0 RC α = { x : x z 1-α/2 } os dados observados) se H 1 : p< p 0 RC α = { x : x < z α } se H 1 : p> p 0 RC α = { x : x > z 1-α } onde z α é o quantil de ordem α da distribuicão N(0, 1) 5. Decidir: rejeitar se o valor t obs encontra-se na RC 6. Concluir 5 TH para uma Proporção p Teste Não Paramétrico Teste baseado na Região Crítica. Amostras pequenas 1. Identificar o parâmetro de interesse e especificar as hipóteses e H 1 Parâmetro de interesse - p, nível de significância - α 2. Escolher uma estatística do teste T com distribuição conhecida admitindo que é verdadeira Estatística para Teste Exacto: (n < 30) 3. Identificar a região crítica RC 4. Calcular t obs (valor de T para os dados observados) 5. Decidir: rejeitar se o valor t obs encontra-se na RC 6. Concluir 6 3

4 Teste Binomial para uma Proporção Exemplo 5.2, pag 205 A empresa onde o Rocha trabalha lançou recentemente no mercado uma dieta de emagrecimento e pretende fazer o controlo do peso dos seus seguidores. Para tal procedeu-se à recolha dos pesos de 16 indivíduos escolhidos aleatoriamente entre os seus seguidores. Pretende-se averiguar se a proporção de seguidores com idades superiores a 60 anos é superior a 0.3. os dados encontram-se no ficheiro EstudoDieta.sav X - número de seguidores com idades superiores a 60 anos X ~ Binomial( n,p) p proporção de seguidores com idades superiores a 60 anos Para testar se a proporção de seguidores com idades superior a 60 anos é superior a 0.3 podemos implementar um teste Binomial para a proporção p: : p = 0.3 vs. H 1 : p > 0.3 teste unilateral (superior) Este teste está disponível no SPSS no menu: Analyze / Nonparametric Tests / Binomial 7 Procedimento usando SPSS Analyze NonParametric Tests Binomial Exemplo 5.2, pag 205 Quando a dicotomia é definida através de Cut point o SPSS define como 1º grupo aquele que é formado pelas observações inferiores ou iguais a esse valor (pessoas menores de 60) ATENÇÃO: neste caso devemos testar o inverso: se a proporção de seguidores com idade <=60 é inferior a 0.7 : p = 0.7 vs. H 1 : p <

5 Procedimento usando SPSS Analyze NonParametric Tests Binomial : p = 0.7 vs. H 1 : p < 0.7 Exemplo 5.2, pag 205 O valor do p-value unilateral é de se nível de significância de 10%: p-value = > 0.1 (α) não se rejeita se nível de significância de 5%: p-value = > 0.05 (α) não se rejeita se nível de significância de 1%: p-value = > 0.01 (α) não se rejeita Podemos concluir que, aos níveis de significância usuais, a proporção de indivíduos com mais de 60 anos não é superior a 30% 9 Teste Binomial para uma Proporção Exemplo 5.3, pag 207 Pretende-se agora averiguar se a proporção de seguidores do sexo feminino é significativamente diferente da de seguidores do sexo masculino : p = 0.5 vs. H 1 : p 0.5 teste bilateral se proporção a testar é 0.5 Quando a dicotomia é definida através de Get from Data o SPSS define como 1º grupo aquele a que pertence a primeira observação do ficheiro de dados. A proporção em teste será a correspondente a este grupo. 10 5

6 Procedimento usando SPSS Analyze NonParametric Tests Binomial : p = 0.5 vs. H 1 : p 0.5 Exemplo 5.3, pag 207 O valor do p-value bilateral é de se nível de significância de 10%: p-value = > 0.1 (α) não se rejeita se nível de significância de 5%: p-value = > 0.05 (α) não se rejeita se nível de significância de 5%: p-value = > 0.05 (α) não se rejeita Podemos concluir que, aos níveis de significância usuais, não há razões para duvidar que os sexos estejam em igual proporção, já que o p-value é muito elevado (0.804) 11 Referências Livro: Grande Maratona de Estatística no SPSS Andreia Hall, Cláudia Neves e António Pereira Capítulo Teste Binomial Acetatos: Testes de Hipóteses II Andreia Hall URL: acetato