Teste Mann-Whitney. Contrapartida não-paramétrica para. Teste-t para amostras independentes

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1 Teste Mann-Whitney Contrapartida não-paramétrica para Teste-t para amostras independentes

2 Teste Mann-Whitney pequenas amostras independentes 1. Testes para Duas Populações, X e Y, Independentes. Corresponde ao Teste-t para valores médios 3. Pressupostos Amostras Aleatórias Independentes (dimensões n 1 e n ) Populações Contínuas 4. Aproximação Normal se n i 10 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 111

3 Teste Mann-Whitney pequenas amostras independentes H 0 : X e Y têm distribuição idêntica H 1 : As distribuições de X e Y diferem na Localização T 1 = Soma das Ordens das Observações da amostra 1 na amostra conjunta de dimensão n=n 1 + n T = Soma das Ordens das Observações da amostra na amostra conjunta de dimensão n=n 1 + n Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 11

4 Teste Mann-Whitney pequenas amostras independentes n 1 (n 1 + 1) U 1 = n 1 n + - T 1 n (n + 1) U = n 1 n + - T TPC: Mostre que U1 + U = n1 n Sugestão: Comece por justificar que é válida a igualdade T1 + T = (n1+n )(n1+n +1)/ Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 113

5 Teste Mann-Whitney procedimento 1. Atribuir Ordens para as n=n 1 + n Observações Amostrais Se n 1 n, considera-se o índice 1 para a menor dimensão (n 1 ) Menor Ordem = 1, Maior Ordem = n Valores Iguais (ligações) são subsituídos pela respectiva média das ordens.. Somar as Ordens, T i, i=1,, para cada Amostra A distribuição exacta da ET, U, pode ser calculada Tabela 8. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 114

6 Teste Mann-Whitney pequenas amostras independentes Procedimento: 1. Assumir que n 1 n (inverter as amostras se necessário). Determinar U 1 e U 3. U := min (U 1,U ) 4. Usar os valores da Tabela 8 para testar H 0 vs H 1 Teste Bilateral H 1 : As duas populações, X e Y, diferem na localização Rejeitar H 0 ao nível α se o valor observado de U, u, for tal que p-value = P[U u ] α Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 115

7 Teste Mann-Whitney pequenas amostras independentes Procedimento: 1. Assumir que n 1 n (inverter as amostras se necessário). Determinar U 1 e U 3. Usar os valores da Tabela 8 para testar H 0 vs H 1 Teste Unilateral H 1 : A população 1 (X) está localizada à direita da população (Y) Rejeitar H 0 ao nível α se o valor observado de U 1, u 1, for tal que p-value=p[u u 1 ] α, com U = U 1 Teste Unilateral Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 116 H 1 : A população 1 (X) está localizada à esquerda da população (Y) Rejeitar H 0 ao nível α se o valor observado de U, u, for tal que p-value=p[u u ] α, com U = U

8 Teste Mann-Whitney grandes amostras independentes Aproximação à Normal µ U = n 1 n σ U = n 1 n (n 1 + n + 1) 1 Z := U - µ U σ U Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 117

9 Teste Mann-Whitney grandes amostras independentes H 0 : X e Y têm distribuição idêntica n (n + 1) Determine U = n 1 n + - T Teste Bilateral H 1 : As distribuições de X e Y diferem na Localização Rejeitar H o se Z Z α/ α / α / Z α/ := Φ- 1 (1- α/), Φ (.) f.d. da N(0,1) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 118 z α / z α /

10 Teste Mann-Whitney grandes amostras independentes H 0 : X e Y têm distribuição idêntica n (n + 1) Determinar U = n 1 n + - T Teste Unilateral H 1 : A população 1 (X) está localizada à direita da população (Y) Teste Unilateral H 1 : A população 1 (X) está localizada à esquerda da população (Y) Rejeitar H 0 se Z z α Rejeitar H 0 se Z -z α z α α Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 119 α z α

11 Teste Mann-Whitney Exemplo Suponha que é um gestor de produção e está interessado em investigar se as taxas de produção de fábricas são iguais. Para a fábrica 1, as taxas (% de capacidade) são 71, 8, 77, 9, 88. Para a fábrica, as taxas são 85, 8, 94, 97. Terão as taxas de produção das fábricas a mesma distribução de probabilidade ao nível de.10? H0: Distribuição Idêntica Ha: Localização Diferente α =.10 n1 = 4 n = 5 Pontos críticos: Estatística de Teste : Decisão: Conclusão: Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos ºAno/ºSem (6 ECTS) 10